任勇生， 張玉環(huán)， 時(shí)玉艷

(山東科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院， 山東 青島 266590)

引 言

將復(fù)合材料用于直升機(jī)尾傳動(dòng)軸[1]以及汽車(chē)傳動(dòng)軸的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[2]，不僅可以有效地減輕重量，同時(shí)還能夠降低噪聲，提高傳動(dòng)系統(tǒng)的抗振性能。為了最大限度地發(fā)揮復(fù)合材料在先進(jìn)動(dòng)力系統(tǒng)傳動(dòng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的重要作用，對(duì)復(fù)合材料軸的動(dòng)力學(xué)特性做出精確分析和預(yù)測(cè)是十分必要的。

為了獲得復(fù)合材料軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的渦動(dòng)頻率和臨界轉(zhuǎn)速，近年來(lái)，人們采用線性理論針對(duì)復(fù)合材料軸進(jìn)行廣泛的動(dòng)力學(xué)特性研究。在線性理論框架下的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模主要是基于經(jīng)典梁理論[3-4]、Timoshenko梁理論[5-11]和圓柱殼理論[12-13]。

復(fù)合材料軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)包含兩類(lèi)阻尼，一是不旋轉(zhuǎn)部件阻尼(如轉(zhuǎn)子支承的阻尼)，稱(chēng)之為非旋轉(zhuǎn)阻尼或外阻，二是旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸阻尼，稱(chēng)之為旋轉(zhuǎn)阻尼或材料內(nèi)阻(注：這里使用材料內(nèi)阻以區(qū)別于摩擦內(nèi)阻等其他類(lèi)型的內(nèi)阻)。材料內(nèi)阻對(duì)旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性的影響不僅與復(fù)合材料自身的阻尼特性有關(guān)，而且還與旋轉(zhuǎn)速度密切相關(guān)[14-15]。由于復(fù)合材料相比金屬材料具有更強(qiáng)的阻尼特性，在超臨界旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下，復(fù)合材料軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)受到材料內(nèi)阻的影響，更容易產(chǎn)生失穩(wěn)問(wèn)題，由此引發(fā)的大振幅振動(dòng)，往往會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重的后果。因此，為了精確地預(yù)測(cè)和優(yōu)化旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的動(dòng)力學(xué)特性，有必要考慮結(jié)構(gòu)非線性和材料內(nèi)阻的影響。

Hosseini等[16-17]采用多尺度法研究具有曲率和慣性非線性的旋轉(zhuǎn)軸的自由振動(dòng)與主共振；Shahgholi等[18-20]研究可伸長(zhǎng)的不對(duì)稱(chēng)旋轉(zhuǎn)軸的非線性自由振動(dòng)、內(nèi)共振、組合共振與亞諧共振以及Hopf分叉。Mirtalaie等[21]研究可伸長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)軸的軸向-橫向-扭轉(zhuǎn)耦合非線性自由振動(dòng)。Mahmoudi 等[22]研究可伸長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)軸通過(guò)臨界轉(zhuǎn)速的非線性響應(yīng)特性。

但在上述研究中，僅考慮了外阻的影響[16-20,22]。一些涉及內(nèi)阻對(duì)轉(zhuǎn)子非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)影響的報(bào)道主要有：Kurnik[23]分析旋轉(zhuǎn)幾何非線性軸由于摩擦內(nèi)阻產(chǎn)生的自激振動(dòng)；Shaw等[24]和Luczko[25]研究材料內(nèi)阻對(duì)各向同性黏彈性平衡轉(zhuǎn)軸穩(wěn)定性與自激振動(dòng)分叉特性的影響；Hosseini等[26]研究具有材料內(nèi)阻的不可伸長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)軸的非線性動(dòng)力穩(wěn)定性與分叉。

復(fù)合材料軸的阻尼來(lái)源于材料內(nèi)部的能量耗散。Saravanos 等[27]提出一個(gè)預(yù)測(cè)各向異性復(fù)合材料空心梁阻尼分析的有限元模型，研究復(fù)合材料梁或者葉片的阻尼特性。Sino等[28]基于簡(jiǎn)化的均勻梁有限元模型(SHBT)，研究帶有剛盤(pán)和彈性支承的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的動(dòng)力學(xué)特性以及材料內(nèi)阻的影響，其中采用黏彈性材料本構(gòu)關(guān)系描述復(fù)合材料阻尼特性。Ren等[29]基于變分漸進(jìn)法建立考慮材料內(nèi)阻影響的復(fù)合材料薄壁軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，其中，采用單層-截面-軸多尺度方法對(duì)復(fù)合材料阻尼進(jìn)行建模。然而，上述研究由于均未考慮非線性因素的影響，僅適合于對(duì)旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸進(jìn)行線性振動(dòng)分析。

本文建立考慮材料內(nèi)阻影響的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的非線性自由振動(dòng)方程。復(fù)合材料軸簡(jiǎn)化為兩端簡(jiǎn)支的軸向不可伸長(zhǎng)復(fù)合材料空心梁，它具有非線性曲率和慣性，但不考慮剪切變形的影響。復(fù)合材料阻尼來(lái)源于材料的黏彈性特性。從基本的復(fù)合材料應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系和應(yīng)變-位移關(guān)系出發(fā)，在導(dǎo)出復(fù)合材料軸的應(yīng)變能、動(dòng)能和阻尼耗散能的基礎(chǔ)上，采用擴(kuò)展的Hamilton原理建立運(yùn)動(dòng)微分方程。建模過(guò)程對(duì)復(fù)合材料軸的壁厚(薄壁或厚壁)不做任何假設(shè)。采用Galerkin法對(duì)彎曲振動(dòng)非線性偏微分方程組進(jìn)行離散化，采用多尺度法導(dǎo)出軸的彎曲自由振動(dòng)響應(yīng)分析表達(dá)式,研究纖維鋪層角、鋪層方式、長(zhǎng)徑比、外阻和材料內(nèi)阻參數(shù)對(duì)旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸固有頻率的影響。

1 運(yùn)動(dòng)方程

圖1(a)表示長(zhǎng)度為L(zhǎng)的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸，軸的兩端簡(jiǎn)支，直角坐標(biāo)系(X,Y,Z)為慣性坐標(biāo)系，X軸沿著未變形軸的中心線；(X0,Y0,Z0)為固連在軸上的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，這兩個(gè)坐標(biāo)系具有共同的原點(diǎn)O，OX和OX0在任何時(shí)間都是重合的；(x,y,z)為局部坐標(biāo)系，x，y和z是過(guò)軸中心線x點(diǎn)處的橫截面形心的坐標(biāo)軸。變形軸上x(chóng)點(diǎn)沿X，Y和Z方向的位移分別為u(x,t)，v(x,t)和w(x,t)，扭轉(zhuǎn)角為φ(x,t)。假定復(fù)合材料軸繞X以定常角速度Ω旋轉(zhuǎn)；復(fù)合材料軸為細(xì)長(zhǎng)的，剪切變形可以忽略不計(jì)；支承O是固定的，而支承O′沿X方向不受約束，所以復(fù)合材料軸的中心線是不可伸長(zhǎng)的；除了復(fù)合材料本身的阻尼特性，也同時(shí)考慮外阻尼的影響。

圖1 旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸Fig.1 The rotating composite shaft

在不計(jì)剪切變形的情況，可以得到柱坐標(biāo)表示的應(yīng)力-應(yīng)變方程

(1)

方程(1)寫(xiě)成矩陣形式如下

(2)

其中

(3)

如果考慮復(fù)合材料的黏彈性特性，則應(yīng)力矢量可以分解為彈性應(yīng)力σe和耗散應(yīng)力σd,方程(2)可改寫(xiě)為

(4)

柱坐標(biāo)下的應(yīng)變-位移方程為[30]

(5)

式中e為沿軸的中心線軸向應(yīng)變，ρi(i=1,2,3)為軸的曲率，可以表示為[31]

(6)

式中 “′”表示對(duì)x求偏導(dǎo)。

旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的動(dòng)能表示如下[32]

(7)

式中ω1，ω2和ω3分別表示坐標(biāo)系(x, y, z)相對(duì)于(X, Y, Z)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，可以表示為

(8)

式中ψ=φ+Ωt,ψy和ψz分別表示軸的橫截面繞z和y軸的轉(zhuǎn)角，φ表示橫截面繞x軸的扭轉(zhuǎn)角。m和I分別表示單位長(zhǎng)度的質(zhì)量和截面慣性矩，分別為

(9)

式中N表示復(fù)合材料的層數(shù)，ρ(k)為第k層的密度，rk和rk+1分別為第k層的內(nèi)徑和外徑。

ψz和ψy可分別表示如下[31]

(10)

旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的彈性勢(shì)能為

(11)

其中，在柱坐標(biāo)下的微體積元dV=rdrdαdx，r和α分別表示極角和極徑。

e可以表示為

(12)

彈性勢(shì)能的變分

(13)

將式(1)～(5)代入式(13)，可得

D66ρ1δρ1+D11ρ2δρ2+ρ3δρ3dx

(14)

其中,

(15)

由于旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的支承O′在x軸方向是可運(yùn)動(dòng)的，所以，沿軸向不可伸長(zhǎng)假設(shè)成立，即應(yīng)變e=0，由此可得

?

(16)

于是，方程(14)簡(jiǎn)化為

(17)

旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸阻尼耗散力的虛功

(18)

簡(jiǎn)諧穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)下的黏彈性復(fù)合材料耗散應(yīng)力為

(19)

經(jīng)過(guò)與式(17)類(lèi)似的推導(dǎo)，可得

(20)

其中,

(21)

(22)

如果假設(shè)橫向位移v和w是一階無(wú)窮小量，則軸向位移u為二階無(wú)窮小量。將式(10)代入曲率表達(dá)式(6)，展成泰勒級(jí)數(shù)，并只保留前3階無(wú)窮小量，得[33]

(23)

同理，將式(10)代入角速度方程(8)，得

(24)

擴(kuò)展的Hamilton原理表示如下[34]

w′2dx+δWdt=0

(25)

式中λ為拉格朗日乘子。

將式(7)，(17)和(20)代入方程(25)，并且利用式(16)，可建立復(fù)合材料軸的彎-彎-扭耦合非線性振動(dòng)方程，具體表達(dá)式見(jiàn)附錄A。

(26)

導(dǎo)出無(wú)量綱形式的運(yùn)動(dòng)方程

4v″v′v?+w(4)w′v′+w′v″w?+3w″v′w?+w″2v″+v″3+v(4)v′2+v(4)+

(27)

(28)

注意，為簡(jiǎn)潔起見(jiàn)，方程(27)和(28)中的變量v,w和x上方的橫杠均已去掉。

2 非線性偏微分方程的離散化

為了研究旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的動(dòng)力學(xué)特性，首先將彎-彎耦合非線性偏微分方程組(27)和(28)化為常微分方程組進(jìn)行數(shù)值積分。取單模態(tài)作近似處理，采用Galerkin法進(jìn)行離散化。

在具有各種不同的邊界條件的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸中，只有具有簡(jiǎn)支邊界條件的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸，它的正反進(jìn)動(dòng)的模態(tài)是相同的，而且就是不旋轉(zhuǎn)簡(jiǎn)支梁的彎曲模態(tài)[17]。

于是，簡(jiǎn)支復(fù)合材料軸的彎曲位移v(x,t)和w(x,t)可近似表示為

(29)

式中n=1,2，…。

將式(29)代入運(yùn)動(dòng)方程(27)和(28)，化簡(jiǎn)得彎-彎耦合非線性常微分方程組運(yùn)動(dòng)方程

(30)

(31)

3 非線性自由振動(dòng)的多尺度法求解

(32)

(33)

令

(34)

式中T0=t,T2=ε2t。

考慮到

(35)

則將式(34)代入方程(32)和(33)，并分別令方程兩端ε同次冪的系數(shù)相等，得

O(ε)：

(36)

O(ε3)：

(37)

(38)

方程(36)的解具有如下形式：

V1=F1(T2)eiωfT0+F2(T2)eiωbT0+

W1=-iF1(T2)eiωfT0+iF2(T2)eiωbT0+

(39)

式中ωf和ωb分別為正進(jìn)動(dòng)和反進(jìn)動(dòng)線性固有頻率；F1(T2)和F2(T2)為待定的復(fù)函數(shù)。

將式(39)代入方程(37)和(38)，得：

P1eiωfT0+Q1eiωbT0+cc

(40)

P2eiωfT0+Q2eiωbT0+cc

(41)

其中cc表示復(fù)共軛；P1，P2，Q1，Q2的表達(dá)式見(jiàn)附錄B。

設(shè)

(42)

將式(42)代入方程(40)和(41)，分別令eiωfT0和eiωbT0的系數(shù)相等，得：

(43)

(44)

利用非齊次方程組(43)和(44)對(duì)應(yīng)的齊次方程組有非零解的充要條件，可得定解條件為：

(45)

(46)

其中,

(47)

設(shè)

(48)

式中ai(T2)，θi(T2)(i=1,2)分別為振幅和相位角。

將式(48)代入方程(45)和(46)，分離實(shí)部和虛部，得

(49)

在上式中，令

(50)

則方程(49)的解可以寫(xiě)為

(51)

式中Ci(i=1,2,3,4)表示積分常數(shù)，可由初始條件確定。

令

Af=C1eB1T0,Ab=C2eB2T0,

(52)

將式(51)和(52)代入表達(dá)式(48)，得

(53)

(54)

將式(53)和(54)代入(39)，得自由振動(dòng)響應(yīng)

(55)

上述方程給出具有非線性曲率和慣性的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的自由振動(dòng)響應(yīng)的分析表達(dá)式，其中包含了第n階模態(tài)下的正進(jìn)動(dòng)和反進(jìn)動(dòng)固有振動(dòng)響應(yīng)的成分。 由于考慮阻尼(外阻和材料內(nèi)阻)以及非線性的影響，所以，旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的自由振動(dòng)頻率既依賴(lài)于時(shí)間又依賴(lài)于振幅。

4 數(shù)值結(jié)果與討論

為了對(duì)旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的非線性自由振動(dòng)特性進(jìn)行研究，數(shù)值算例取復(fù)合材料軸的平均半徑為0.176 m，厚度0.010 16 m，采用角鋪設(shè)[±θ]8的鋪層方式，長(zhǎng)度L根據(jù)長(zhǎng)徑比確定。復(fù)合材料力學(xué)參數(shù)如表1所示。

表1 材料力學(xué)特性[27]

此外，從方程(30)和(31)中略去所有的非線性項(xiàng)，對(duì)所得到線性方程組進(jìn)行特征值分析，進(jìn)而可以求解得到臨界轉(zhuǎn)速與失穩(wěn)閾，詳細(xì)過(guò)程見(jiàn)文獻(xiàn)[36]。

圖2 角鋪設(shè)[±θ]8復(fù)合材料軸的中點(diǎn)位移時(shí)間響應(yīng)圖(多尺度法)Fig.2 Time history of angle-ply laminated shaft midpoint displacement(multiple scales method)

產(chǎn)生上述結(jié)果的原因在是，與鋪層角0°，30°和60°對(duì)應(yīng)的第一階失穩(wěn)閾分別為950，809和596r/min，而給定的轉(zhuǎn)速809r/min分別小于、等于和大于鋪層角為0°，30°和60°的復(fù)合材料軸的失穩(wěn)閾，在這種情形下，材料內(nèi)阻分別大于0，等于0和小于0，于是就導(dǎo)致上述3種不同振動(dòng)響應(yīng)的發(fā)生。需要強(qiáng)調(diào)的是，自激振動(dòng)的發(fā)生正是旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的材料內(nèi)阻失穩(wěn)的結(jié)果。失穩(wěn)閾的大小與材料內(nèi)阻的大小成反比。既然纖維橫向的阻尼能力要遠(yuǎn)高于纖維縱向的阻尼能力(如表1所示)，所以，鋪層角越大，即纖維越靠近軸的橫向鋪設(shè)，沿此方向上阻尼也越大，因此，產(chǎn)生失穩(wěn)的轉(zhuǎn)速也就越小，即轉(zhuǎn)子系統(tǒng)也越容易發(fā)生失穩(wěn)。在后面的分析中將會(huì)看到，自激振動(dòng)是否發(fā)生也與長(zhǎng)徑比和鋪層方式等參數(shù)的選擇有關(guān)。

為了檢驗(yàn)基于多尺度法得到的上述結(jié)果，采用4階Runge-Kutta法進(jìn)行數(shù)值積分，計(jì)算結(jié)果如圖3所示。比較圖2與圖3可以看出，對(duì)于衰減振動(dòng)和等幅振動(dòng)，多尺度法與數(shù)值積分結(jié)果，兩者符合得很好；在自激振動(dòng)情況下，盡管多尺度法無(wú)法描述非線性剛度對(duì)振幅的限制作用，但是仍然可以對(duì)自激振動(dòng)的發(fā)生與發(fā)展規(guī)律給出正確的預(yù)測(cè)。

圖3 角鋪設(shè)[±θ]8復(fù)合材料軸的中點(diǎn)位移時(shí)間響應(yīng)圖(數(shù)值積分法)Fig.3 Time history of angle-ply laminated shaft midpoint displacement(numerical simulation)

4.1 外阻內(nèi)阻的情形

為了研究時(shí)間的影響，旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的非線性固有頻率定義如下

Forward Nonlinear Natural Frequency(FNNF)

(56)

Backward Nonlinear Natural Frequency(BNNF)

(57)

圖4 FNNF 和BNNF 隨時(shí)間變化曲線(長(zhǎng)徑比20，轉(zhuǎn)速Fig.4 Parameters FNNF and BNNF vs. time(L/d=20,

圖5 FNNF 和BNNF 隨時(shí)間變化曲線(鋪層方式[±30°]8，轉(zhuǎn)速Fig.5 Parameters FNNF and BNNF vs. time(stacking sequences[±30°]8,Ω=809

圖6 FNNF 和BNNF 隨時(shí)間變化曲線(長(zhǎng)徑比30，轉(zhuǎn)速Fig.6 Parameters FNNF and BNNF vs. time(L/d=30,Ω=391

圖7 FNNF 和BNNF 隨時(shí)間變化曲線(長(zhǎng)徑比30，鋪層方式Fig.7 Parameters FNNF and BNNF vs. time(L/d=30, stacking

為了研究轉(zhuǎn)速連續(xù)變化以及其他的系統(tǒng)參數(shù)對(duì)固有頻率的影響，給定時(shí)間T0=1，定義旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的非線性固有頻率如下

FNNF

(58)

BNNF

(59)

(60)

圖8表示具有角鋪設(shè)[±θ]8的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的FNNF 和BNNF 隨轉(zhuǎn)速變化曲線。其中顯示出鋪層角分別取θ=0°，30°，60°時(shí)的結(jié)果。圖8表明，由于旋轉(zhuǎn)陀螺效應(yīng)，固有頻率曲線分叉為上下兩支，上支隨固有頻率增加而增加，下支隨固有頻率增加而減少，這與線性系統(tǒng)固有頻率隨轉(zhuǎn)速的變化特征是相同的。在角鋪設(shè)[±θ]8情況下，對(duì)于任何轉(zhuǎn)速Ω，F(xiàn)NNF 和BNNF隨著鋪層角的增大而減小。這是由于當(dāng)纖維鋪設(shè)角沿軸向鋪層時(shí)(θ=0°)，由于纖維的縱向剛度最大，所以軸的彎曲剛度也最大。

圖8 FNNF 和BNNF 隨轉(zhuǎn)速變化曲線(長(zhǎng)徑比20，轉(zhuǎn)速Fig.8 Parameters FNNF and BNNF vs. rotating speed(L/d=20, Ω=809

圖9表示角鋪設(shè)[±30°]8旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的FNNF 和BNNF 隨轉(zhuǎn)速變化曲線。其中顯示出長(zhǎng)徑比分別取18, 20和30時(shí)的影響。結(jié)果表明，在相同的轉(zhuǎn)速下，F(xiàn)NNF 和BNNF 隨長(zhǎng)徑比的增大而減小。

4.2 外阻內(nèi)阻的情形

圖9 FNNF 和BNNF 隨時(shí)間變化曲線(鋪層方式Fig.9 Parameters FNNF and BNNF vs. rotating speed (stacking

圖10 FNNF 和BNNF 隨時(shí)間變化曲線(長(zhǎng)徑比30，轉(zhuǎn)速Fig.10 Parameters FNNF and BNNF vs. rotating speed (L/d=30, Ω=391

圖11 FNNF 和BNNF 隨時(shí)間變化曲線(長(zhǎng)徑比20，轉(zhuǎn)速809 r/min，鋪層方式Fig.11 Parameters FNNF and BNNF vs. time(L/d=20, Ω=809 r/min，stacking

圖12 FNNF 和BNNF 隨時(shí)間變化曲線(鋪層方式[±30°]8，轉(zhuǎn)速809 r/min，長(zhǎng)徑比為18，20和Fig.12 Parameters FNNF and BNNF vs. time(stacking sequences[±30°]8,Ω=809 r/min，L/d=18,20 and 30,

圖13 FNNF 和BNNF 隨時(shí)間變化曲線(長(zhǎng)徑比30， 轉(zhuǎn)速鋪層方式分別為：[0°]16，[90°2 /0°12 /45°/-45°] 和 [±60°]8)Fig.13 Parameters FNNF and BNNF vs. time(L/d=30,Ω=391 stacking sequences: [0°]16,[90°2 /0°12 /45°/-45°] and [±60°]8)

圖14 FNNF 和BNNF 隨轉(zhuǎn)速變化曲線(長(zhǎng)徑比Fig.14 Parameters FNNF and BNNF vs. rotating speed(L/d=20,

圖15 FNNF 和BNNF 隨時(shí)間變化曲線(鋪層方式Fig.15 Parameters FNNF and BNNF vs. rotating speed(L/d=20, stacking

圖16 FNNF 和BNNF 隨轉(zhuǎn)速變化曲線(長(zhǎng)徑比Fig.16 Parameters FNNF and BNNF vs. rotating speed(L/d=30,

圖14～16分別表示在給定時(shí)間(T0=1)情況下，鋪層角、長(zhǎng)徑比和鋪層方式等參數(shù)對(duì)FNNF 和BNNF 隨轉(zhuǎn)速變化曲線的影響。與不考慮材料內(nèi)阻的結(jié)果相比(見(jiàn)圖8～10)，材料內(nèi)阻將會(huì)導(dǎo)致同樣轉(zhuǎn)速下的固有頻率減小。

4.3 外阻內(nèi)阻的情形

(61)

FNNF:

(62)

BNNF:

(63)

其中,

(64)

積分常數(shù)Ci(i=1,…,4)由給定的初始條件確定。

圖19表示FNNF 和BNNF 隨鋪層角變化曲線，結(jié)果表明，旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的非線性固有頻率隨著鋪層角的增加而增加，在給定鋪層角的情況下，非線性固有頻率隨著初始位移的增加而減小。

圖17 FNNF 和BNNF 隨轉(zhuǎn)速變化曲線(長(zhǎng)徑比20，鋪層方式[±30°]8)Fig.17 Parameters FNNF and BNNF vs. rotating speed(L/d=20, stacking sequences[±30°]8).

圖18 FNNF 和BNNF 隨轉(zhuǎn)速變化曲線(長(zhǎng)徑比30，鋪層方式[90°2 /0°12 /45°/-45°])Fig.18 Parameters FNNF and BNNF vs. rotating speed(L/d=30,stacking sequences[90°2 /0°12 /45°/-45°])

圖19 FNNF 和BNNF 隨鋪層角變化曲線(長(zhǎng)徑比20，鋪層方式[±θ]8，轉(zhuǎn)速1200 r/min)Fig.19 Parameters FNNF and BNNF vs. ply angle (L/d=20, stacking sequences[±θ]8,Ω=1200 r/min).

5 結(jié) 論

研究了考慮材料內(nèi)阻的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的非線性自由振動(dòng)?；谳S向不可伸長(zhǎng)假定，引入曲率非線性和慣性非線性的影響；復(fù)合材料阻尼特性基于黏彈性本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行描述。采用多尺度法導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸非線性自由振動(dòng)響應(yīng)的分析解，通過(guò)對(duì)鋪層角、長(zhǎng)徑比、鋪層方式和旋轉(zhuǎn)速度進(jìn)行參變分析，研究?jī)?nèi)阻對(duì)旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的非線性自由振動(dòng)特性的影響。主要結(jié)論如下：

(1) 考慮阻尼(外阻和材料內(nèi)阻)的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸非線性自由振動(dòng)固有頻率，不僅與初始條件有關(guān)，同時(shí)也是隨時(shí)間變化的。

(5) 鋪層角和鋪層方式以及軸的長(zhǎng)徑比的變化，會(huì)影響復(fù)合材料軸的阻尼特性和振動(dòng)穩(wěn)定性，從而改變非線性固有頻率隨時(shí)間的演變特征。

(6) 由于旋轉(zhuǎn)陀螺效應(yīng)，非線性固有頻率隨轉(zhuǎn)速變化曲線出現(xiàn)分支現(xiàn)象，即FNNF和BNNF隨著轉(zhuǎn)速的增加分別增加和減小，鋪層角或者長(zhǎng)徑比的減小都會(huì)使得非線性固有頻率增加。而材料內(nèi)阻會(huì)導(dǎo)致非線性固有頻率減小。

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