馬 騰， 杜敬濤， 許得水， 代 路， 張 赟

(1.哈爾濱工程大學(xué)動(dòng)力與能源工程學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001；2.武漢第二船舶設(shè)計(jì)研究所熱能動(dòng)力技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 湖北 武漢 430205)

引 言

輸流管路廣泛存在于船舶與海洋工程、石油化工、生物工程、航空航天、核工業(yè)等諸多領(lǐng)域。流固耦合問題是引起管路振動(dòng)過大以及疲勞斷裂的重要因素，全面理解輸流管路耦合振動(dòng)特性是正確設(shè)計(jì)相關(guān)復(fù)雜管路系統(tǒng)的前提和基礎(chǔ)。為此，國內(nèi)外眾多學(xué)者針對(duì)輸流管路耦合振動(dòng)特性分析開展了大量的研究[1-3]，針對(duì)輸流管路動(dòng)力學(xué)特性分析提出了各種建模分析方法，例如：分離變量法、有限元法、傳遞矩陣法、微分求積法等。

梁波等[4]采用有限元法建立了簡(jiǎn)支條件下管路系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性分析模型，研究了流體流速、質(zhì)量比等參數(shù)對(duì)固有頻率的影響；金基鐸等[5]通過數(shù)值模擬的方法探討了脈動(dòng)流作用下兩端固定支承管路系統(tǒng)的參數(shù)共振問題；Panda和Kar[6]對(duì)脈動(dòng)流作用下兩端鉸支管路系統(tǒng)的內(nèi)共振參數(shù)問題進(jìn)行了分析。上述研究多是針對(duì)懸臂、鉸支、固定等理想邊界條件，從工程角度，管路系統(tǒng)支承難以做到嚴(yán)格的剛性情況，邊界支承方式更加傾向于彈性支承，為此，彈性支承邊界管路耦合振動(dòng)受到更多的關(guān)注。Noah和Hopkin[7]以一端固定，一端有線性彈簧和扭轉(zhuǎn)彈簧支承的管路系統(tǒng)為模型，對(duì)系統(tǒng)的失穩(wěn)形式進(jìn)行了研究。馬小強(qiáng)等[8]采用傳遞矩陣法對(duì)置于彈性地基上，中間有彈性支承的管路系統(tǒng)模型進(jìn)行了穩(wěn)定性分析。Chellapilla和Simha[9]針對(duì)雙參數(shù)彈性地基輸流管路，分析了失穩(wěn)臨界流速問題。包日東等[10]采用微分求積法對(duì)彈性支承的輸流管路進(jìn)行了研究，分析了不同系統(tǒng)參數(shù)對(duì)于管路系統(tǒng)固有頻率及穩(wěn)定性的影響。

對(duì)于固定、鉸支、自由等經(jīng)典邊界下的管路振動(dòng)系統(tǒng)四階線性常微分方程而言，通?？梢缘玫焦逃姓駝?dòng)特性分析的系統(tǒng)超越特征方程，但是，當(dāng)邊界條件改變時(shí)，需要對(duì)問題進(jìn)行重新推導(dǎo)，對(duì)于彈性邊界約束模型，求解則更為困難。最近，杜敬濤等[11-13]提出了一套改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)方法進(jìn)行任意彈性邊界板殼結(jié)構(gòu)面內(nèi)與彎曲振動(dòng)分析，數(shù)值結(jié)果對(duì)所提出方法的有效性與可靠性進(jìn)行了充分驗(yàn)證。本文針對(duì)輸流管路耦合振動(dòng)問題，將所提出的改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)方法拓展至管路流固耦合振動(dòng)特性分析。管路橫向振動(dòng)位移場(chǎng)采用標(biāo)準(zhǔn)的傅里葉級(jí)數(shù)和邊界光滑函數(shù)組合展開，進(jìn)而精確地滿足輸流管路耦合振動(dòng)方程與彈性邊界條件，通過聯(lián)立控制方程和邊界條件得到系統(tǒng)特征方程，所有的模態(tài)參數(shù)可以通過求解一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的矩陣特征值問題而統(tǒng)一得到。隨后，通過給出數(shù)值算例對(duì)所建立模型的正確性和有效性進(jìn)行了驗(yàn)證，在此基礎(chǔ)上，討論分析了邊界約束剛度對(duì)耦合振動(dòng)特性的影響規(guī)律。

1 輸流管路耦合振動(dòng)方程與彈性支承邊界

考慮如圖1所示的細(xì)長(zhǎng)輸流管路耦合振動(dòng)問題，通過在兩端邊界引入4種約束彈簧實(shí)現(xiàn)對(duì)邊界條件的模擬，任意經(jīng)典邊界條件及其組合可以通過設(shè)置約束剛度系數(shù)得到。忽略非線性項(xiàng)及摩擦力的管路系統(tǒng)橫向振動(dòng)微分方程為

(1)

式中 前4項(xiàng)項(xiàng)分別為系統(tǒng)慣性力、流體的離心力、流體作用的陀螺力和彈性恢復(fù)力[14]；W為管路橫向振動(dòng)位移函數(shù)；M為單位長(zhǎng)度流體的質(zhì)量；m為單位長(zhǎng)度管路的質(zhì)量；U=const(定常流)為流體流速；E為彈性模量；μ為黏彈性系數(shù)；I為管路截面的慣性矩。

圖1 復(fù)雜邊界支承管路系統(tǒng)振動(dòng)分析模型Fig．1 The vibration analysis model of pipeline system with arbitrary elastic boundary supports

利用彈性邊界約束所對(duì)應(yīng)的力平衡和位移協(xié)調(diào)關(guān)系，可以得到邊界條件方程為

(2)

為了使運(yùn)動(dòng)微分方程不受單位影響而具有廣義性，引入如下定義無量綱條件

(3)

管路系統(tǒng)橫向振動(dòng)無量綱撓度響應(yīng)表達(dá)式為

w(x,t)=w(x)ejwt

(4)

式中w(x)為管路系統(tǒng)橫向振動(dòng)的無量綱撓度分布函數(shù)，ejωt為簡(jiǎn)諧時(shí)間因子，ω為無量綱固有頻率。為了后續(xù)計(jì)算方便，取Ω=jω。由于黏彈性系數(shù)μ的數(shù)值非常小，對(duì)于結(jié)果的影響微乎其微，后文推導(dǎo)計(jì)算中暫時(shí)忽略該項(xiàng)。

利用上述無量綱定義，對(duì)方程(1)進(jìn)行簡(jiǎn)化，得到無量綱化后的振動(dòng)微分方程

(5)

相應(yīng)的彈性邊界條件式(2)變換為

(6)

2 改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)展開與求解

對(duì)于經(jīng)典邊界條件下管路橫向振動(dòng)無量綱撓度通?？梢圆捎酶道锶~級(jí)數(shù)法展開

(7)

式中λn=nπ?？梢园l(fā)現(xiàn)，該經(jīng)典形式的1階導(dǎo)數(shù)和3階導(dǎo)數(shù)在管路兩端將恒為零，然而，對(duì)于彈性邊界約束，由式(6)可知，力平衡關(guān)系中該項(xiàng)并不應(yīng)該恒為零。為了克服經(jīng)典傅里葉級(jí)數(shù)展開微分在管路兩端的不連續(xù)，在該式基礎(chǔ)上進(jìn)一步引入邊界光滑函數(shù)，從而使得橫向位移函數(shù)在整個(gè)求解域內(nèi)[0, 1]足夠光滑[12, 15]，此處，在原撓度方程的基礎(chǔ)上增加4個(gè)輔助函數(shù)，即

(8)

式中ζ1(x),ζ2(x),ζ3(x),ζ4(x)為4個(gè)輔助函數(shù)。通過輔助函數(shù)的構(gòu)造，位移函數(shù)在端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)，3階導(dǎo)數(shù)將不再會(huì)恒等于零，從而具備表示復(fù)雜約束下邊界情況的能力，進(jìn)一步改善解的收斂性和精確性。此處，輔助函數(shù)構(gòu)造為:

以x=0和x=1兩端支承邊界條件上的輔助函數(shù)為例，容易證明

?4(1) = 1

而在邊界上所有的其他1階和3階導(dǎo)數(shù)均等于零，從而成功地克服了振動(dòng)位移在求解域內(nèi)展開為傅里葉級(jí)數(shù)過程中在x=0和x=1邊界上的不連續(xù)性。這里需要指出，邊界光滑輔助函數(shù)的構(gòu)造形式并不唯一，只要能夠解決邊界條件的求導(dǎo)失效問題即可。本文選取如上輔助函數(shù)簡(jiǎn)單形式，方便后續(xù)推導(dǎo)和計(jì)算。

將所構(gòu)造的位移方程(8)代入方程(5)，并對(duì)左右兩端分別乘以2cosλmx后在0到1上積分，化簡(jiǎn)后可寫成如下形式

(10)

其中：

(11a)

(11b)

(11c)

(11d)

(11e)

其他方程中系數(shù)的表達(dá)式同理可得下面以第二項(xiàng)為例給出計(jì)算結(jié)果：

(12a)

(12b)

(12c)

(12d)

(12e)

將系數(shù)矩陣寫成矩陣形式，同樣以第二項(xiàng)為例：

Q2=2βu·

(13)

(14)

同理可以得到Q1，P1，Q3，P3，Q4，P4各項(xiàng)矩陣的形式。

管路系統(tǒng)的振動(dòng)方程可寫成如下形式

Ω2(Q1A+P1B)+Ω(Q2A+P2B)+

(Q3+Q4)A+(P3+P4)B=0

(15)

將位移方程(8)帶入邊界條件(6)中，可得：

(16a)

(16b)

(16c)

(16d)

進(jìn)一步寫為矩陣形式

HA=FB

(17)

式中

(18)

(19)

(20)

(21)

從而得到所構(gòu)建改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)中標(biāo)準(zhǔn)級(jí)數(shù)系數(shù)與邊界光滑函數(shù)系數(shù)之間的約束關(guān)系矩陣表達(dá)式為

F-1HA=B

(22)

將式(22)代入式(15)中得到

(K+ΩC+Ω2M)A=0

(23)

其中:

K=(Q3+Q4)+(P3+P4)F-1H

C=Q2+P2F-1H

M=Q1+P1F-1H

通過采用狀態(tài)空間法可以對(duì)式(23)進(jìn)行特征值問題求解，由于流體作用的原因，導(dǎo)致ω為復(fù)數(shù)，ω=Ω/j，其中ω的實(shí)部代表管路耦合振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率，虛部代表指數(shù)衰減。

3 數(shù)值結(jié)果與分析

本節(jié)中，將采用MATLAB對(duì)上述理論模型進(jìn)行編程仿真，由于流體作用導(dǎo)致阻尼項(xiàng)的存在，應(yīng)用狀態(tài)空間法來求解管路系統(tǒng)的固有頻率及特征模態(tài)方程。將首先驗(yàn)證本文方法在復(fù)雜邊界條件管路系統(tǒng)振動(dòng)特性方面的準(zhǔn)確性和可靠性，在此基礎(chǔ)上，討論分析邊界約束剛度變化對(duì)管路耦合振動(dòng)固有特性的影響規(guī)律。

3.1 不同邊界支承下管路系統(tǒng)固有頻率的計(jì)算

表1 不同流速下兩端鉸支時(shí)前4階固有頻率的結(jié)果

Tab.1 Results of the first four natural frequencies of pinned-pinned pipe with different flow velocities

流速ω1ω2ω3ω4u=09.869639.478588.8270157.9160精確解[16]9.869639.478488.8264157.9137微分求積法[17]9.871639.486388.8442157.9454u=19.309739.022588.3984157.5009u=27.453637.632287.1050156.2520u=32.783135.229984.9233154.1579u=3.535(失穩(wěn)臨界流速)033.473083.3769152.6838u=4031.632381.8084151.1982u=5026.358477.6825147.3410u=6017.137672.4090142.5384u=710.108310.108365.7240136.7179u=810.676910.676857.0092129.7664u=910.020410.020443.9360121.4954u=10027.795127.7951111.5560

圖2 兩端鉸支下前4階固有頻率隨流速的變化關(guān)系Fig.2 Relationship between the first four orders of natural frequencies and flow velocities of pinned-pinned pipe

前4階固有頻率隨流速的變化關(guān)系如圖2所示。在穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)，隨著流速增加，固有頻率隨之降低，當(dāng)流速u=3.535時(shí)，第1階固有頻率ω1=0，此時(shí)的流速uc稱為失穩(wěn)臨界流速；當(dāng)流速u=6.465時(shí)，第1階固有頻率與第2階固有頻率發(fā)生耦合；當(dāng)u=9.616時(shí)，第2階固有頻率與第3階固有頻率發(fā)生耦合；當(dāng)u=12.73時(shí)，第3階固有頻率與第4階固有頻率出發(fā)生耦合。

當(dāng)邊界條件為固定支承時(shí)，各邊界支承的剛度系數(shù)分別為k0= 1010，K0=1010，k1=1010，K1=1010，得到不同流速下前4階固有頻率，結(jié)果如表2所示。

表2 不同流速下兩端固定時(shí)前4階固有頻率的結(jié)果

Tab.2 Results of the first four natural frequencies of clamped-clamped pipe with different flow velocities

流速ω1ω2ω3ω4u=022.373361.6728120.9034199.8594精確解[16]22.373361.6728120.9034199.8594微分求積法[17]22.377861.6852120.9276199.8995u=122.020761.3318120.5508199.5020u=220.945060.3047119.4906198.4282u=319.085158.5784117.7157196.6333u=416.307856.1271115.2131194.1093u=512.295252.9050111.9623190.8437u=65.658648.8263107.9316186.8187u=6.465(失穩(wěn)臨界流速)046.5948105.7788184.6817u=7043.7139103.0717182.0091u=8037.107197.3017176.3790u=92.163926.773790.4760169.8761u=1018.960918.960982.2932162.4205

圖3 兩端固定下前4階固有頻率隨流速的變化關(guān)系Fig.3 Relationship between the first four natural frequencies and flow velocities of clamped-clamped pipe

前4階固有頻率隨流速的變化關(guān)系如圖3所示。在穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)，隨著流速增加，固有頻率隨之降低，當(dāng)流速u=6.465時(shí)，第1階固有頻率ω1=0，此時(shí)的流速uc稱為失穩(wěn)臨界流速；當(dāng)流速u=9.495時(shí)，第1階固有頻率與第2階固有頻率發(fā)生耦合；當(dāng)u=12.3時(shí)，第2階固有頻率和第3階固有頻率發(fā)生耦合。

當(dāng)邊界條件為懸臂支承時(shí)，各邊界支承的剛度系數(shù)分別為k0=1010，K0=1010，k1=0，K1=0，得到不同流速下前4階固有頻率，結(jié)果如表3所示。

表3 不同流速下懸臂支承時(shí)前4階固有頻率的結(jié)果

Tab.3 Results of the first four natural frequencies of cantilevered pipe with different flow velocities

流速ω1ω2ω3ω4u=03.516022.034561.6976120.9035精確解[16]3.516022.034561.6972120.9109微分求積法[17]3.516722.038961.7096120.9260u=13.323721.765961.3597120.5553u=22.691220.956160.3421119.5085u=31.227319.592558.6320117.7557u=3.273(失穩(wěn)臨界流速)019.121258.0419117.1529u=4017.650156.2043115.2836u=5015.067853.0126112.0708u=63.0263111.838848.9649108.0833u=75.781411.018943.8451103.2667u=87.429013.283236.940197.5285u=99.001520.953625.533090.6957u=104.756221.032328.553782.3931

前4階固有頻率隨流速的變化關(guān)系圖如圖4所示。在穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)，隨著流速增加，固有頻率隨之降低，當(dāng)流速u=3.273時(shí)，第1階固有頻率ω1=0，此時(shí)的流速uc稱為失穩(wěn)臨界流速。

圖4 懸臂支承下前4階固有頻率隨流速的變化關(guān)系Fig.4 Relationship between the first four natural frequencies and flow velocities of cantilevered pipe

文獻(xiàn)[16-17]中給出了兩端鉸支，兩端固定，懸臂支承條件下，流速為0時(shí)前4階固有頻率的精確解和微分求積法的結(jié)果，同時(shí)給出不同邊界條件下，前4階固有頻率隨流速的變化情況。通過上述結(jié)果對(duì)比，可以驗(yàn)證本文方法的正確性；同時(shí)對(duì)比數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，相比于微分求積法，改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)法得到的結(jié)果更加精確。后續(xù)工作中，進(jìn)一步結(jié)合模態(tài)測(cè)試與識(shí)別技術(shù)，可以將本文所建立模型應(yīng)用于實(shí)際管路系統(tǒng)特性分析。

3.2 復(fù)雜約束對(duì)管路系統(tǒng)振動(dòng)特性影響

3.2.1 自由狀態(tài)到兩端鉸支

為了分析管路系統(tǒng)從自由狀態(tài)到兩端鉸支時(shí)的振動(dòng)特性，通過改變不同的彈簧剛度系數(shù)來模擬不同的邊界支承，控制2個(gè)扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)K0=0，K1=0，2個(gè)支承剛度系數(shù)k0，k1從0變到1010。選取前2階固有頻率進(jìn)行分析，圖5，6分別為第1階固有頻率，第2階固有頻率隨剛度系數(shù)k0，k1的變化關(guān)系。

圖5 第1階固有頻率隨支承剛度系數(shù)的變化關(guān)系Fig.5 Relationship between the first natural frequency and bearing stiffness coefficient

圖6 第2階固有頻率隨支承剛度系數(shù)的變化關(guān)系Fig.6 Relationship between the second-order natural frequency and bearing stiffness coefficient

可以看出，當(dāng)2個(gè)扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)K0=0，K1=0時(shí)，管路系統(tǒng)的固有頻率隨支承剛度系數(shù)k0，k1的增加而增大，彈性支承剛度系數(shù)在大約0～1000的范圍內(nèi)時(shí)，固有頻率隨剛度系數(shù)的變化比較明顯，即可以定義為影響固有頻率變化的敏感區(qū)域；當(dāng)彈性剛度系數(shù)大于1000以上時(shí)，固有頻率的變化則相對(duì)微小。同時(shí)左右兩端的彈性支承剛度系數(shù)k0，k1對(duì)系統(tǒng)的影響是近似相等的。因此給出在剛度變化敏感范圍內(nèi)固有頻率隨剛度系數(shù)、流速的變化情況，以第1階固有頻率為例，如圖7所示。可以發(fā)現(xiàn)隨著彈性支承剛度系數(shù)的增大，第1階固有頻率隨之增大，隨著流速增大，第1階固有頻率逐漸減小，直到達(dá)到失穩(wěn)臨界流速時(shí)，第1階固有頻率ω1=0；但失穩(wěn)臨界流速不隨剛度系數(shù)的變化而發(fā)生改變。

圖7 第1階固有頻率隨支承剛度系數(shù)和流速變化情況Fig.7 Relationship among the first natural frequency, bearing stiffness coefficient and flow velocities

3.2.2 兩端鉸支到兩端固定

為了分析管路系統(tǒng)從兩端鉸支到兩端固定時(shí)的振動(dòng)特性，令2個(gè)彈性支承剛度系數(shù)k0=1010，k1=1010。2個(gè)扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)K0，K1從0變到1010。以第1階固有頻率為例進(jìn)行分析，圖8為第1階固有頻率隨扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)K0，K1的變化情況。

圖8 第1階固有頻率隨扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)的變化關(guān)系Fig.8 Relationship between the first natural frequency and torsional stiffness coefficient

圖9 第1階固有頻率隨扭轉(zhuǎn)剛度和流速變化情況Fig.9 Relationship among the first natural frequency, torsional stiffness coefficient and flow velocities

可以看出，當(dāng)2個(gè)支承剛度系數(shù)k0=1010，k1=1010時(shí)，管路系統(tǒng)的固有頻率隨扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)K0，K1的增加而增大，當(dāng)扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)在大約0-1000的范圍內(nèi)時(shí)，隨著扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)的變化，管路系統(tǒng)固有頻率的變化很明顯；當(dāng)扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)增大到1000以上時(shí)，固有頻率的變化很微小。同時(shí)可以看出K0，K1對(duì)固有頻率的影響是近似相等的。給出敏感區(qū)域內(nèi)固有頻率隨扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)和流速的變化情況，以第1階固有頻率為例，如圖9所示。可以發(fā)現(xiàn)隨著扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)的增大，第1階固有頻率隨之增大；隨著流速增大，第1階固有頻率隨之減??；同時(shí)可以看出，隨著流速增大到一定程度，當(dāng)扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)較小時(shí)，會(huì)出現(xiàn)失穩(wěn)的情況；隨著扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)的增大，失穩(wěn)臨界流速也會(huì)隨之增大。因此，在一定范圍內(nèi)，增大扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)會(huì)有利于管路系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3.2.3 彈性支承剛度和扭轉(zhuǎn)剛度同時(shí)變化

通過上文分析可知，無論是支承剛度還是扭轉(zhuǎn)剛度，管路左右兩側(cè)的支承條件對(duì)系統(tǒng)特性的影響是近似相等的，為了研究邊界支承更普遍的情況，取支承剛度系數(shù)k0=k1=k，扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)K0=K1=K。圖10為管路系統(tǒng)第1階固有頻率隨剛度系數(shù)的變化情況。

圖10 第1階固有頻率隨支承和扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)的變化情況Fig.10 Relationship among the first natural frequency, bearing stiffness coefficient and torsional stiffness coefficient

可以看出固有頻率隨剛度系數(shù)的增加而增大，當(dāng)剛度系數(shù)增大到一定程度后，固有頻率變化很小。同時(shí)可以看出，對(duì)于管路系統(tǒng)的固有頻率，在頻率較低時(shí)，彈性支承剛度系數(shù)k要比扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)K的影響大。

4 結(jié) 論

本文采用一種改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)方法獲得了任意彈性邊界支承輸流管路耦合振動(dòng)系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)預(yù)報(bào)的精確解。通過在管路系統(tǒng)兩端引入邊界約束彈簧，任意邊界條件及其組合可以設(shè)置相應(yīng)的剛度系數(shù)而統(tǒng)一得到。管路橫向振動(dòng)位移采用標(biāo)準(zhǔn)傅里葉級(jí)數(shù)附件邊界光滑函數(shù)進(jìn)行構(gòu)建，從而使得彈性邊界約束方程所需要的1階和3階位移導(dǎo)數(shù)在整個(gè)求解域內(nèi)足夠光滑，聯(lián)立輸流管路耦合振動(dòng)方程和邊界條件方程，獲得輸流管路模態(tài)特性分析的系統(tǒng)矩陣方程。

在數(shù)值算例中，應(yīng)用MATLAB語言編程仿真，計(jì)算了不同彈性邊界支承下管路系統(tǒng)的固有頻率。與精確解和解析解的對(duì)比充分驗(yàn)證了本文方法的可靠性和有效性。相比文獻(xiàn)中其他方法，本文模型統(tǒng)一考慮邊界約束剛度設(shè)置，當(dāng)邊界約束剛度發(fā)生改變時(shí)，無需對(duì)理論模型或程序進(jìn)行重新修改，進(jìn)行相應(yīng)設(shè)置邊界剛度系數(shù)即可。在此基礎(chǔ)上，計(jì)算分析了不同流速、邊界支承剛度等重要參數(shù)對(duì)管路系統(tǒng)固有頻率的影響規(guī)律。結(jié)果表明，管路系統(tǒng)由自由狀態(tài)變?yōu)閮啥算q支、再由兩端鉸支變?yōu)閮啥斯潭ǖ倪^程中，當(dāng)流速達(dá)到失穩(wěn)臨界流速之前，即穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)，管路系統(tǒng)的固有頻率隨流速的增大而減??；當(dāng)?shù)?階固有頻率ω1變?yōu)?時(shí)，此時(shí)的流速uc稱之為失穩(wěn)臨界流速；當(dāng)流速u增大到一定值時(shí)，第1階固有頻率ω1開始增大；當(dāng)流速u達(dá)到某一定值后，第1階固有頻率ω1和第2階固有頻率ω2發(fā)生耦合。同時(shí)發(fā)現(xiàn)，管路系統(tǒng)的邊界支承剛度系數(shù)對(duì)固有頻率的影響存在一個(gè)敏感區(qū)域，剛度系數(shù)大約為0～1000左右。當(dāng)剛度系數(shù)越過此區(qū)域時(shí)，將不再具有顯著影響；在敏感區(qū)域內(nèi)，固有頻率會(huì)隨著彈簧剛度系數(shù)的增大而增大；在固有頻率較低時(shí)，相比于扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)的影響，支承剛度系數(shù)對(duì)管路系統(tǒng)固有頻率的影響更大。同時(shí)當(dāng)管路系統(tǒng)由自由狀態(tài)變到兩端鉸支的過程中，彈簧剛度系數(shù)的變化將不會(huì)影響到管路系統(tǒng)的失穩(wěn)臨界流速；而當(dāng)邊界條件由兩端鉸支到兩端固定的過程中，失穩(wěn)臨界流速將會(huì)隨著扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)的增大而增大。因此，在一定范圍內(nèi)，增大扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)會(huì)有利于管路系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

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