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(1.中北大學 機電工程學院，太原 030051；2.太原學院 數(shù)學系，太原 030001)

1 引 言

航空發(fā)動機中存在氣流導向的靜葉和對外做功的動葉。當動靜葉相對轉(zhuǎn)動時，上游葉片的尾流會使下游葉片的氣動力產(chǎn)生周期性振蕩[1,2]，迫使下游葉片強迫振動，如圖1所示。這是導致航空發(fā)動機葉片疲勞破壞的重要原因。近年來的一些研究發(fā)現(xiàn)，周期變化的尾流甚至可以改變動葉的顫振特性[3-7]。因此，研究上游尾流激勵下葉片的氣動彈性振動對航空發(fā)動機的設(shè)計有十分重要的意義。

圖1 上游尾流激勵的葉片

Fig.1 Blade under incoming wake

計算流體力學(CFD)和計算結(jié)構(gòu)力學(CSM)耦合的求解方法是研究葉片氣動彈性振動的主要方法，但其計算效率極低，對計算設(shè)備要求很高，很難在日常工程研究中應(yīng)用[8-11]。建立葉片氣動彈性振動精確高效的研究方法已成為航空發(fā)動機設(shè)計中亟待解決的問題。

氣動力降階模型(aerodynamic ROM)是描述葉片氣動力和擾動之間相互關(guān)系的簡化數(shù)學模型。其通過模型辨識，從已知的氣動試驗數(shù)據(jù)或仿真數(shù)據(jù)中識別降階模型的主要參數(shù)，建立擾動和氣動力之間的函數(shù)關(guān)系。氣動力降階模型的數(shù)學形式簡單，在氣動彈性振動時不需要進行整個流場的氣動重分析，所以計算量小、計算速度快，廣泛應(yīng)用于葉片顫振邊界的預測[8-17]。Silva[8]提出了基于Volterra級數(shù)的非線性氣動力降階模型。張偉偉等[12-14,16]基于Volterra級數(shù)降階模型研究了葉柵的顫振性能。Ekici等[15]用諧波平衡方法研究了葉片顫振，認為該方法的結(jié)果與勢流理論的結(jié)果符合較好。

現(xiàn)有氣動力降階模型的研究主要集中在葉片顫振方面，沒有涉及更為常見的上游尾流激勵的葉片氣動彈性振動問題。本文建立了基于Volterra級數(shù)的尾流激勵的葉片氣動力降階模型，并通過二維葉片的算例驗證該降階模型方法的可行性。

2 尾流激勵的葉片氣動力降階模型

Volterra級數(shù)可以用來描述任意復雜時變系統(tǒng)輸入和輸出之間的關(guān)系。對于均勻采樣的線性時變系統(tǒng)Ψ，可以用一階離散格式的Volterra級數(shù)表示為[8]

(1)

Volterra級數(shù)模型中的核函數(shù)可以用原系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)加以辨識，辨識方法包括脈沖信號法、階躍信號法以及白噪聲信號法等[8,12-15,16-18]。對核函數(shù)辨識的具體方法可參考系統(tǒng)辨識相關(guān)理論[18]。

葉片氣動力系統(tǒng)是一個弱非線性系統(tǒng)，可以用一個定常的非線性解和若干個非定常線性解的疊加表示。為此，可以用一階Volterra級數(shù)降階模型表示尾流激勵和葉片氣動力之間的相互關(guān)系。

本文建立基于一階Volterra級數(shù)的尾流激勵葉片氣動力降階模型。為方便介紹，以二維葉片為例說明本文方法。尾流激勵的葉片流場系統(tǒng)如圖2所示。上游葉片以速度w沿著y向移動，上游尾流的移動導致下游葉片氣動力的周期性振蕩。在這一氣動力系統(tǒng)中，輸入為時變尾流的進口總壓p和進氣角β，輸出為葉片氣動力，包括升力CL、力矩CM和阻力CD，如圖2所示。為簡化問題，本文只考慮升力和力矩，則該系統(tǒng)可以表示為

{CL(t),CM(t)}=Ψ{p(y,t),β(y,t)}

(2)

(3)

將式(3)按照一階離散格式的Volterra級數(shù)展開，得到尾流激勵的葉片氣動力降階模型為

圖2 尾流激勵的葉片氣動力系統(tǒng)

Fig.2 Blade aerodynamic system under wake excitation

(4)

3 尾流激勵葉片的算例

按照前述方法，建立圖1下游葉片的氣動力降階模型。穩(wěn)態(tài)進口總壓120.5 kPa，穩(wěn)態(tài)進氣角30°，尾流以10 m/s的速度沿著進口y向移動。取下游中間葉片的氣動升力和力矩為輸出，下游進口最下方點的總壓和進氣角為輸入。用流場CFD模型分別計算總壓和進氣角階躍信號下，中間葉片的氣動升力和力矩，用階躍信號法辨識降階模型的核函數(shù)?？倝旱碾A躍信號為1 kPa，進氣角的階躍信號為3°。核函數(shù)的辨識結(jié)果如圖3所示。將辨識得到的核函數(shù)代入式(4)，得到尾流激勵的葉片氣動力降階模型，可以用來預測任意尾流激勵下葉片氣動力響應(yīng)。

圖3 總壓和進氣角變化引起葉片氣動力變化的核函數(shù)

Fig.3 Kernels of the aerodynamic forces of the blade due to total pressure and flow direction disturbances

圖4和圖5給出了一組真實尾流數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)減去了穩(wěn)態(tài)值。用所建立的氣動力降階模型計算這組尾流下葉片的氣動力，結(jié)果如圖6和圖7所示，該組數(shù)據(jù)也減去了穩(wěn)態(tài)值。為方便比較，圖中給出了在這組尾流下CFD模型計算得到的葉片氣動力?？梢钥闯?，降階模型計算出的氣動力與CFD模型的結(jié)果基本一致，振幅和頻率完全相同。說明該降階模型的方法能夠預測尾流對葉片氣動力的影響。需要指出的是，該降階模型的計算時間少于1 s，而CFD模型的計算時間大于24 h。該方法非常適合需要反復迭代的葉片結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計。

從圖6和圖7可以看出,降階模型的結(jié)果整體偏離均值，這與降階模型核函數(shù)的精度有關(guān)。雖然流場是弱非線性系統(tǒng)，但穩(wěn)態(tài)值和識別信號的選擇會對降階模型核函數(shù)的精度有一定的影響。圖8 給出了用不同穩(wěn)態(tài)總壓(111.3 kPa,118 kPa和120.5 kPa)和識別信號(1 kPa，2 kPa和3 kPa)的核函數(shù)計算得到的葉片升力?？梢钥闯?，雖然用不同核函數(shù)計算得到的氣動力基本相同，但精度存在差異，需要進一步研究。

圖4 尾流進口總壓隨時間的變化規(guī)律

Fig.4 Time -history of total pressure of a wake

圖5 尾流進氣角隨時間的變化規(guī)律

Fig.5 Time -history of inflow direction of a wake

將本文建立的氣動力降階模型和已有的自振激勵的氣動力降階模型[8-17]耦合，得到尾流和自振激勵的葉片氣動力降階模型，

(5)

圖6 尾流作用下葉片氣動力矩的時間變化規(guī)律

Fig.6 Time -history of blade moment due to wake

圖7 尾流作用下葉片氣動力升力的時間變化規(guī)律

Fig.7 Time -history of blade lift due to wake

圖8 穩(wěn)態(tài)總壓和識別信號對核函數(shù)精度的影響

Fig.8 Influence of the steady total pressure and identification signals on the accuracy of the kernels

將式(5)的氣動力代入葉片結(jié)構(gòu)振動方程，計算葉片振動位移，如圖9所示。可以看出，葉片的振動頻率與氣動力的頻率一致，說明在尾流的激勵下葉片出現(xiàn)了受迫振動；葉片結(jié)構(gòu)振幅在逐漸收窄，說明初始突加載荷的影響正在逐漸消失，葉片-流場耦合系統(tǒng)穩(wěn)定，不會發(fā)生顫振。

為方便比較，圖9也給出了用CFD模型和結(jié)構(gòu)振動方程耦合求解得到的葉片振動位移?？梢钥闯?該位移與降階模型的結(jié)果基本一致；隨著時間的增大，采用氣動力降階模型計算得到的位移誤差增大。結(jié)合圖6和圖7的結(jié)果可知，這是由于氣動力降階模型存在一定的誤差，而誤差隨著時間的推移正在逐漸積累。因此，應(yīng)當進一步提高氣動力降階模型的精度。

圖9 葉片y向位移的時間變化規(guī)律

Fig.9 Time -history of heave of the blade

4 結(jié) 論

氣動力降階模型是一種高效的氣動彈性振動分析方法，現(xiàn)有的氣動力降階模型的研究主要集中在葉片顫振方面，沒有涉及上游尾流激勵的葉片振動問題。本文基于一階離散格式的多輸入多輸出Volterra級數(shù)，建立了尾流激勵的葉片氣動力降階模型，用于預測上游尾流引起的葉片氣動力。

用流場進口的總壓和進氣角表示上游尾流，并根據(jù)尾流的時變是由于上下游葉片的相對轉(zhuǎn)動，用行波法將尾流輸入簡化為進口上一個點的總壓和進氣角，并用階躍信號法識別了核函數(shù)。

通過提出的方法建立了一個描述二維葉片氣動力和上游尾流關(guān)系的降階模型，并計算了一組真實尾流下葉片的氣動力。與CFD的結(jié)果對比表明,該降階模型的結(jié)果與CFD的結(jié)果基本一致，振幅和頻率完全相同，說明本文的方法可行。

另外，氣動力降階模型計算時間少于1 s，而采用CFD模型的計算時間大于24 h。所以，本文的尾流激勵的葉片氣動力降階模型非常適用于需要反復迭代的葉片結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計。

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