佘 緯，夏永波

(中南民族大學 數(shù)學與統(tǒng)計學學院，武漢 430074)

水文設計值是各種水利工程建設的依據(jù)，它是通過現(xiàn)有的水文資料進行水文頻率參數(shù)估計從而推求出來的.在中國廣泛采用的理論頻率分布線型是P-Ⅲ型分布，因此P-Ⅲ型分布的參數(shù)估計吸引了很多學者的注意.多年來，水文工作者們對水文頻率參數(shù)估計問題做了大量的研究工作，提出了適線法、矩法、權函數(shù)法、概率權重矩法和線性矩法等.適線法(配線法)一直是我國估計水文頻率曲線參數(shù)的主要方法，分為目估適線法和優(yōu)化適線法兩類.目估適線法又稱經驗適線法，是尋找一組參數(shù)，使這組參數(shù)所決定的理論曲線與經驗點據(jù)擬合最優(yōu)[1].但是使用不同的適線準則和不同的經驗頻率計算公式得到的結果差異很大，計算結果對個別異常點十分敏感，從而導致所配曲線受少數(shù)異常點控制，時常偏離大多數(shù)經驗點的分布，只有一個積累了豐富經驗的工程師，才有可能用經驗適線方法做出精確的計算，但是水文頻率計算作為一門科學，不能永遠停留在憑經驗計算上.計算機優(yōu)化適線法采用智能算法對參數(shù)進行迭代尋優(yōu)，參數(shù)估計精度高，因此是現(xiàn)今廣泛使用的水文頻率參數(shù)估計方法.矩法屬于單參估計，不能全面確定P-Ⅲ型頻率曲線的參數(shù)估計問題[2].權函數(shù)法的計算精度相對于矩法有了提高，但其計算復雜[3].概率權重矩法和線性矩法避免了計算中的高次方，在無偏性和有效性方面都優(yōu)于一般的矩法和權函數(shù)法[4]，但是矩法、權函數(shù)法、概率權重矩法和線性矩法都是計算步驟固定的沒有自適應能力的參數(shù)估計方法，對于不同的樣本，其參數(shù)估計精度不同[5].因為優(yōu)化適線法所表現(xiàn)出的優(yōu)點，其成為了國內外學者們研究的熱點，文獻[6]將采用SCEM-UA優(yōu)化算法的適線法和矩法、權函數(shù)法、概率權重矩法進行了比較，驗證了優(yōu)化適線法的優(yōu)勢；文獻[7]研究發(fā)現(xiàn)，當參數(shù)數(shù)目較多且取值范圍較大時，PSO算法比SCE算法更高效；文獻[8]將PSO和GA算法相結合，設計了混合粒子群算法來進行水文頻率參數(shù)估計；文獻[9]討論了粒子群初始化對PSO算法性能的影響；文獻[10]將PSO算法的局部搜索中增加了新的更新機制，從而提高了算法的性能；文獻[11]通過構造新的慣性權重和加速系數(shù)對PSO算法進行了改進；文獻[12]采用精英保留策略增強了遺傳算法尋優(yōu)的精度.本文深入研究了PSO和GA兩種算法，提出了并行交叉遺傳粒子群算法(PCGA-PSO)，并將其用于水文頻率參數(shù)估計.

1 P-Ⅲ型分布

P-Ⅲ型分布的概率密度可以表示為：

(1)

其中a0表示水文變量的最小值，α和β為兩個重要的參數(shù).Γ(α)是伽馬函數(shù)，可以表示為：

(2)

因為水文變量不可能為負值，所以a0≥0；一般情況下，水文變量不可能太大或太小，所以根據(jù)水文工作者的經驗，取α>1,β>0.式(1)的幾個數(shù)字特征可以表示為：

(3)

(4)

(5)

式(3)描述了水文隨機變量的數(shù)學期望E(x).CV為變差系數(shù)，CS為離差系數(shù)，分別用式(4)、(5)進行描述.從式(3)～(5)可以看出，若已知E(x)、CV和CS，便可以求得式(1)中三個重要參數(shù)a0，α和β，經推導得到：

(6)

(7)

(8)

根據(jù)水文頻率的實際數(shù)據(jù)和實際分析經驗，對變差系數(shù)和離差系數(shù)的取值，有如下約束：

(9)

其中kmin=xmin/E(x)，xmin為水文變量的最小值.

在水文頻率計算中，一般需求出指定頻率p所對應的設計值xp，這要通過對密度曲線進行積分，求出等于或大于xp的累積頻率p值，即：

(10)

2 適線法步驟

適線法的步驟如下.

步驟1：由估算的E(x)計算kmin，再根據(jù)式(9)決定CV和CS的取值范圍；

步驟2：選擇適線方法；

步驟3：根據(jù)式(11)或式(12)表示的適線準則進行適線；

(11)

(12)

其中，Δxi為實際水文數(shù)據(jù)點和理論頻率曲線之間的偏差，δ1為離差絕對值和，δ2為離差平方和.

步驟6：將a0，α和β代入式(10)，求得相應于xp的累積頻率p值.

3 并行交叉遺傳粒子群算法

基于GA和PSO算法的優(yōu)缺點，本文提出了PCGA-PSO算法，該算法在初始種群的產生與編碼、GA和PSO的執(zhí)行方式和數(shù)據(jù)融合、PSO算法的慣性權重等方面進行了改進和設計.

3.1 初始種群的產生和編碼

PCGA-PSO算法采用十進制編碼，設初始種群的取值范圍為[a，b]，其產生初始種群的步驟如下：

(i) 將區(qū)間[a,b]劃分為M個小區(qū)間；

(ii) 在每個小區(qū)間隨機產生兩個數(shù)，分別記為Qi，Pi，i=1,2,…,M；

(iii) 將Q1,Q2,…，QM作為GA算法的初始種群，P1,P2,…，PM作為PSO算法的初始種群.

3.2 GA和PSO的執(zhí)行方式和數(shù)據(jù)融合

在PCGA-PSO算法的執(zhí)行階段，令GA和PSO算法并行執(zhí)行，每隔5代進行一次數(shù)據(jù)融合，充分發(fā)揮GA全局搜索能力強和PSO局部搜索能力強的優(yōu)點，其具體執(zhí)行步驟如下：

(1)令GA算法以Q1,Q2,…，QM為初始種群開始執(zhí)行，PSO算法以P1,P2,…，PM為初始種群開始執(zhí)行；

(2)執(zhí)行5代之后，分別計算兩種算法得到的新種群對應的適應度值；若滿足算法的終止條件，則算法終止；否則，繼續(xù)下面的步驟；

(3)對兩種算法得到的新種群，按照其適應度值降序排序，GA算法的新種群排序之后可記為：R1,R2,…，RM,PSO算法的新種群排序之后可記為：S1,S2,…，SM；

(4) 將SM-k+1,SM-k+2,…，SM和R1,R2,…，Rk進行交換，交換之后，令SM-k+1,SM-k+2,…，SM,Rk+1,Rk+2,…，RM作為GA算法的新種群，令S1,S2,…，SM-k,R1,R2,…，Rk作為PSO算法的新種群，k取1到M/2之間的隨機整數(shù)；

(5)轉到步驟(2)執(zhí)行.

3.3 PCGA-PSO算法的慣性權重

PSO算法的慣性權重體現(xiàn)了粒子繼承先前速度的能力，較大的慣性權重有利于全局搜索，較小的慣性權重則有利于局部搜索.本文實現(xiàn)的是并行交叉GA-PSO算法，在其中的PSO算法部分，根據(jù)下列步驟設置慣性權重：

(1)設置初始的慣性權重為：

(13)

根據(jù)經驗設置初始慣性權重ωstart=0.9，迭代最大次數(shù)時的慣性權重ωend=0.4，k為當前迭代次數(shù)，Tmax為最大迭代次數(shù).

(2)若最佳適應度值連續(xù)3代不變，則令ω(k)=ωstart=0.9，令其向更廣的范圍探索，若連續(xù)3代探索之后，其最佳適應度值仍然不變，則令ω(k)=ωend=0.4，令其深度探索，若最佳適應度值在變化，則采用步驟(1)中的慣性權重；

(3)反復執(zhí)行步驟(1)、(2)直至算法終止.

3.4 PCGA-PSO算法性能分析

根據(jù)3.1、3.2和3.3描述的PCGA-PSO算法，總結其性能特點如下：

(1)PCGA-PSO算法所采用的初始種群產生和編碼方法，可以保證初始種群覆蓋整個定義域；

(2)PCGA-PSO算法所采用的GA和PSO的并行交叉執(zhí)行方式，一方面兼顧了算法的局部搜索能力和全局搜索能力，另一方面保證了數(shù)據(jù)的交叉融合；

(3)對PSO算法慣性權重的設置保證了PSO算法不會陷入局部最優(yōu)，令其兼顧廣度和深度的搜索；

為了驗證PCGA-PSO算法的性能，本文使用某水文站的年徑流量數(shù)據(jù)，用PCGA-PSO算法對其進行水文頻率分析.

4 實驗與結果分析

表1 某水文站24年年徑流量Tab.1 Annual runoff data of a hydrologic station(24 years)

MethodC︵VC︵Sδ2矩法0.604261.362111729.9371權函數(shù)法0.610961.83847158.5226概率權重矩法0.282871.08555899.5163線性矩法0.307311.08693663.2752GA0.339761.09311106.4348PSO0.341521.0611708.8713PCGA-PSO0.351211.0713212.3691

圖1為利用PCGA-PSO算法得到的水文站的水文頻率曲線，可以看出基于PCGA-PSO算法的優(yōu)化適線法可以很好地擬合實測數(shù)據(jù).

圖1 基于PCGA-PSO算法的水文頻率曲線Fig.1 Hydrologic frequency curve based on PCGA-PSO algorithm

5 結論

本文提出的PCGA-PSO算法對傳統(tǒng)算法在3個方面進行了改進.首先，種群的初始化覆蓋了個體取值的整個定義域；其次，并行交叉的GA和PSO算法執(zhí)行方式兼顧了局部搜索和全局搜索，同時還實現(xiàn)了數(shù)據(jù)融合；最后，PSO算法的慣性權重的取值保證了算法可以及時跳出局部最優(yōu)，提高其收斂速度.實驗表明：PCGA-PSO算法可以有效地進行水文頻率參數(shù)估計，并為水文數(shù)據(jù)擬合理論頻率曲線，且該算法較傳統(tǒng)的數(shù)學方法和優(yōu)化適線法精確度更高.

參 考 文 獻

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