謝 洋，于紀(jì)言

(南京理工大學(xué) 智能彈藥技術(shù)國防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室， 南京 210094)

地磁場(chǎng)是地球的天然磁場(chǎng)，可利用捷聯(lián)在彈體內(nèi)的地磁傳感器對(duì)其進(jìn)行姿態(tài)解算。高旋彈丸的滾轉(zhuǎn)角測(cè)量環(huán)境為：高發(fā)射過載、高轉(zhuǎn)速、小體積。目前，常用的陀螺傳感器無法應(yīng)用于該惡劣的測(cè)量環(huán)境中。相反，地磁傳感器具有高靈敏度、小體積、抗高發(fā)射過載和解算誤差不隨時(shí)間累積等優(yōu)點(diǎn)。因此，地磁傳感器能夠完美應(yīng)用于高旋彈丸的滾轉(zhuǎn)角解算[1-3]。

彈體滾轉(zhuǎn)角是炮彈導(dǎo)航信息中的重要信息之一，高旋彈丸滾轉(zhuǎn)角解算精度依賴于磁測(cè)量數(shù)據(jù)精度和滾轉(zhuǎn)角解算方法。在磁測(cè)數(shù)據(jù)處理方面，Changey S.等[4]采用擴(kuò)展卡爾曼濾波方法對(duì)磁測(cè)量數(shù)據(jù)處理，該方法預(yù)測(cè)精度高達(dá)毫弧度。Huang Yu等[5]提出了雙通道追蹤微分濾波器方法(TD)，該方法能夠有效抑制隨機(jī)噪聲干擾。Jiangliang Zhu等[6]使用積分比率法解算彈體姿態(tài)角，與極值比值法相比，姿態(tài)角的解算誤差降低90%左右。彈體姿態(tài)角解算方法包括零交叉法、三軸正交法和極值比值法。Thomas Harkins等[7-8]采用雙軸非正交地磁傳感器解算得到彈體滾轉(zhuǎn)角。Xiang Chao等[9]將三種彈體姿態(tài)角解算方法進(jìn)行了對(duì)比分析，仿真結(jié)果表明三種方法具有相同的解算精度，但是有不同的更新頻率。

雖然濾波算法對(duì)磁測(cè)量數(shù)據(jù)處理后，能保證一定的解算精度，但是濾波算法復(fù)雜、計(jì)算時(shí)間長、需要處理的地磁數(shù)據(jù)量大。然而炮彈空間有限，彈載計(jì)算能力不足，使用濾波算法無法滿足彈上實(shí)時(shí)處理磁測(cè)量數(shù)據(jù)的要求。Xiang Chao等人解算彈體姿態(tài)角的方法，雖然能應(yīng)用于工程實(shí)踐，但是只有在特殊點(diǎn)位置才能解算出彈體滾轉(zhuǎn)角，無法在任意時(shí)刻解算彈體滾轉(zhuǎn)角。

基于以上問題，本文提出了差商法解算彈體滾轉(zhuǎn)角，該方法不僅原理簡(jiǎn)單、計(jì)算量小、不需要提前校正地磁傳感器、在一個(gè)滾轉(zhuǎn)周期的任意位置都能進(jìn)行解算，而且該方法對(duì)傳感器刻度因子誤差和固定偏差具有很強(qiáng)的魯棒性，僅需要單軸的硬件濾波信號(hào)就能解算彈體滾轉(zhuǎn)角。

1 傳統(tǒng)二維平面滾轉(zhuǎn)角解算方法

1.1 彈體坐標(biāo)變換

采用地磁測(cè)量彈丸滾轉(zhuǎn)角時(shí)，捷聯(lián)于彈體內(nèi)部的地磁傳感器敏感方向與彈體坐標(biāo)軸方向一致，并利用測(cè)量所得的地磁信息進(jìn)行彈體姿態(tài)解算。坐標(biāo)軸定義如圖1所示。

圖1中坐標(biāo)系osxyz為彈體坐標(biāo)系，坐標(biāo)系ox1y1z1為發(fā)射坐標(biāo)系，坐標(biāo)系osx2y2z2為彈軸坐標(biāo)系，θ、φ、γ分別為彈體俯仰角、偏航角和滾轉(zhuǎn)角。

發(fā)射坐標(biāo)系和彈軸坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(1)

(2)

彈軸坐標(biāo)系和彈體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(3)

1.2 傳統(tǒng)滾轉(zhuǎn)角解算模型

在彈體的滾轉(zhuǎn)平面內(nèi)，地磁矢量在彈徑平面的分矢量為Bc，其分矢量在彈軸坐標(biāo)系中的量測(cè)值為By2和Bz2，在彈體坐標(biāo)系中的量測(cè)值為by和bz，如圖2所示。則彈體滾轉(zhuǎn)角的計(jì)算公式為：

(4)

式中by和bz為地磁傳感器敏感軸的測(cè)量量，By2和Bz2由公式和計(jì)算得到。

2 差商法解算彈體滾轉(zhuǎn)角

2.1 地磁傳感器y軸輸出模型

在圖2中，γB為地磁場(chǎng)分矢量Bc與y2軸方向的夾角，在旋轉(zhuǎn)彈丸飛行過程中，γB隨著彈體俯仰角和偏航角的變化而變化。與旋轉(zhuǎn)彈丸的滾轉(zhuǎn)速率相比，俯仰角速率和偏航角速率相對(duì)較小。因此，假設(shè)在彈丸的一個(gè)滾轉(zhuǎn)周期內(nèi)，彈丸的俯仰角和偏航角保持不變，同時(shí)γB也保持不變。根據(jù)GPS測(cè)量數(shù)據(jù)或者先驗(yàn)彈道數(shù)據(jù)，獲取彈體俯仰角和偏航角，根據(jù)公式得到γB的表達(dá)式

γB=arctan(P)

(5)

其中，

(6)

彈丸滾轉(zhuǎn)一周，地磁傳感器y軸方向的地磁分量大小的表達(dá)式為

by=Bccos(γ-γB)

(7)

在彈載磁測(cè)量環(huán)境下，磁場(chǎng)測(cè)量誤差包括磁場(chǎng)敏感方向刻度因子誤差、傳感器的固定偏差和測(cè)量噪聲帶來的隨機(jī)偏差[10]。當(dāng)只考慮前兩種測(cè)量誤差時(shí)，將公式改寫為

by=kyBccos(γ-γB)+bs

(8)

式(8)中，ky表示地磁傳感器y軸方向的刻度因子誤差，bs表示地磁傳感器的固定偏差。

2.2 滾轉(zhuǎn)角解算模型

在彈丸滾轉(zhuǎn)過程中，地磁傳感器y軸測(cè)量輸出量如圖 3所示，在第i個(gè)滾轉(zhuǎn)周期的t1時(shí)刻，假設(shè)彈體滾轉(zhuǎn)角為γ。在t1時(shí)刻之前取兩點(diǎn)，分別記為t2時(shí)刻和t3時(shí)刻。其中，t2時(shí)刻與t1時(shí)刻滾轉(zhuǎn)角相差Δγ1，t3時(shí)刻與t1時(shí)刻滾轉(zhuǎn)角相差Δγ2。在t1、t2、t3時(shí)刻，地磁傳感器y軸測(cè)量輸出量分別記為by1、by2、by3，其表達(dá)式為

(9)

為了消除磁場(chǎng)敏感方向刻度因子誤差和傳感器固定偏差對(duì)滾轉(zhuǎn)角解算帶來的影響，將t1時(shí)刻的測(cè)量值分別減去t2和t3時(shí)刻的測(cè)量值，然后將兩個(gè)差值作商。得到下列公式

(10)

γ=arctan(Q)+γB

(11)

其中：

(12)

由式(11)和式(12)可知，t1時(shí)刻的滾轉(zhuǎn)角γ只與M、γB、Δγ1、Δγ2相關(guān)，與磁場(chǎng)敏感方向刻度因子和傳感器固定偏差無關(guān)。一個(gè)M值對(duì)應(yīng)兩個(gè)數(shù)學(xué)解，然而滾轉(zhuǎn)角卻為唯一解。因此，使用以下方法判定滾轉(zhuǎn)角的解：

當(dāng)by1>0且Q>0時(shí)，γ-γB=arctan(Q)；

當(dāng)by1>0且Q<0時(shí)，γ-γB=arctan(Q)；

當(dāng)by1<0且Q>0時(shí)，γ-γB=arctan(Q)-π；

當(dāng)by1<0且Q<0時(shí)，γ-γB=arctan(Q)+π；

在滾轉(zhuǎn)角的求解過程中，量測(cè)值by受到一定的干擾，在by過零點(diǎn)附近，測(cè)量值與實(shí)際值會(huì)出現(xiàn)異號(hào)的情況，如果使用上述方法判定彈體滾轉(zhuǎn)角的值，解算結(jié)果與真實(shí)值可能存在π的誤差。為了避免這種情況的產(chǎn)生，首先將第i個(gè)滾轉(zhuǎn)角的值與第i-1個(gè)滾轉(zhuǎn)角的值相減，得到滾轉(zhuǎn)角的差值α=|γi-γi-1|。如果其差值α∈(2π/3,4π/3)，則判定第i個(gè)滾轉(zhuǎn)角值為異常點(diǎn)。然后通過下面方法補(bǔ)償?shù)玫綇楏w滾轉(zhuǎn)角：

如果by1>0且Q>0時(shí)，則γ-γB=arctan(Q)-π；

如果by1>0且Q<0時(shí)，則γ-γB=arctan(Q)+π；

如果by1<0且Q>0時(shí)，則γ-γB=arctan(Q)+π；

如果by1<0且Q<0時(shí)，則γ-γB=arctan(Q)-π；

2.3 滾轉(zhuǎn)角間隔Δγ分析

(13)

(14)

3 仿真分析

3.1 最佳滾轉(zhuǎn)角間隔Δγ分析

在使用公式解算彈體滾轉(zhuǎn)角γ之前，需要提前選取滾轉(zhuǎn)角間隔Δγ。為了得到最佳的解算結(jié)果，要選取最佳滾轉(zhuǎn)角間隔Δγ。當(dāng)俯仰角和偏航角一定，在一個(gè)滾轉(zhuǎn)周期(γ∈[0,2π))內(nèi)，使計(jì)算式Δb=by1-by2取得最大值的滾轉(zhuǎn)角間隔Δγ稱為最佳的滾轉(zhuǎn)角間隔。

仿真試驗(yàn)中，以南京某地(E118.78°,N32.05°)為中心，以北偏東45°為發(fā)射方向，發(fā)射系磁場(chǎng)三分量H=[28 323; 24 043; 24 523]，取俯仰角為45°、偏航角為-5°。在一個(gè)滾轉(zhuǎn)周期(γ∈[0,2π))內(nèi)，仿真計(jì)算最佳滾轉(zhuǎn)角間隔Δγ，仿真結(jié)果如圖 4所示。從圖4可以看出：1) 在一個(gè)滾轉(zhuǎn)周期內(nèi)，Δb在γB和γB+π處取得最大值，在γB±π/2處取得最小值。2) Δb取得最大值時(shí)，滾轉(zhuǎn)角間隔Δγ的值為π；Δb取得最小值時(shí)，滾轉(zhuǎn)角間隔Δγ的值為π/2或3π/2。3) 當(dāng)滾轉(zhuǎn)角γ∈(γB-π/2,γB+π/2)和(γB+π/2,γB+3π/2)時(shí)，使得Δb取最大值的滾轉(zhuǎn)角間隔Δγ從3π/2降至π/2。

綜上所述，在γ=γB±π/2處，為了使Δb能夠取得最大值，分別取最佳滾轉(zhuǎn)角間隔Δγ1=π/2、Δγ2=3π/2作為公式中的兩個(gè)滾轉(zhuǎn)角間隔。

3.2 磁場(chǎng)敏感方向刻度因子產(chǎn)生的解算誤差分析

在磁場(chǎng)敏感方向刻度因子產(chǎn)生的解算誤差仿真實(shí)驗(yàn)中，發(fā)射系磁場(chǎng)三分量、俯仰角和偏航角均與3.1節(jié)相同。傳感器y軸方向的刻度因子分別取0.95、0.85、0.75、0.65，傳感器z軸方向的刻度因子取1。分別使用差商法解算滾轉(zhuǎn)角和傳統(tǒng)二維滾轉(zhuǎn)角解算方法解算彈體滾轉(zhuǎn)角γ，將解算結(jié)果與彈體滾轉(zhuǎn)角的真實(shí)結(jié)果γt相減，得到任意時(shí)刻因刻度因子產(chǎn)生的滾轉(zhuǎn)角解算誤差εk，其表達(dá)式為

εk=γ-γt

(15)

圖5和圖6分別為采用差商法和傳統(tǒng)方法，使用含傳感器刻度因子誤差的地磁測(cè)量數(shù)據(jù)，解算彈體滾轉(zhuǎn)角的解算誤差。表 1列出了因傳感器刻度因子引起的最大滾轉(zhuǎn)角解算誤差。結(jié)合圖5、圖6和表1可以看出：1) 隨著傳感器刻度因子變小，傳統(tǒng)方法解算彈體滾轉(zhuǎn)角的解算精度變差，差商法解算精度不變。2) 傳統(tǒng)方法解算彈體滾轉(zhuǎn)角精度在1°以上，差商法解算彈體滾轉(zhuǎn)角的解算誤差為5.684 3e-14°，此解算誤差可為計(jì)算機(jī)的計(jì)算截?cái)嗾`差。

ky傳統(tǒng)方法差商法0.6512.247°5.684 3e-14°0.758.213°5.684 3e-14°0.854.651°5.684 3e-14°0.951.469°5.684 3e-14°

由仿真結(jié)果表明，與傳統(tǒng)二維平面解算滾轉(zhuǎn)角方法相比，由刻度因子產(chǎn)生的磁測(cè)量誤差對(duì)差商法解算彈體滾轉(zhuǎn)角的影響很小，差商法具有很強(qiáng)的魯棒性。

3.3 傳感器的固定偏差產(chǎn)生的解算誤差分析

傳感器固定偏差給測(cè)量值帶來一定的誤差，在滾轉(zhuǎn)角解算仿真實(shí)驗(yàn)中，發(fā)射系磁場(chǎng)三分量、俯仰角和偏航角均與3.1節(jié)相同。傳感器y軸方向的固定偏差分別取1 500 nT、500 nT、-500 nT、-1 500 nT，傳感器z軸方向的固定偏差為0 nT。分別使用差商法解算滾轉(zhuǎn)角和傳統(tǒng)二維平面方法解算滾轉(zhuǎn)角γ，將解算結(jié)果與真實(shí)彈體滾轉(zhuǎn)角γt相減，得到任意時(shí)刻因傳感器固定偏差產(chǎn)生的滾轉(zhuǎn)角解算誤差εb，其表達(dá)式為

εb=γ-γt

(16)

圖7和圖8分別為采用差商法和傳統(tǒng)方法，使用含傳感器固定偏差的地磁測(cè)量數(shù)據(jù)，解算彈體滾轉(zhuǎn)角的解算誤差。表2列出了因傳感器固定偏差引起的最大滾轉(zhuǎn)角解算誤差。結(jié)合圖7、圖8和表2可以看出：1) 傳感器的固定偏差越大，傳統(tǒng)方法的解算精度越差，其解算精度與固定偏差的正負(fù)無關(guān)，只與固定偏差的大小相關(guān)。2) 差商法解算彈體滾轉(zhuǎn)角的精度與固定偏差的大小和正負(fù)均無關(guān)。3) 傳統(tǒng)方法解算彈體滾轉(zhuǎn)角精度在4°以上，差商法解算彈體滾轉(zhuǎn)角的解算誤差為5.684 3e-14°。

由仿真結(jié)果表明，與傳統(tǒng)二維平面解算滾轉(zhuǎn)角方法相比，由傳感器固定偏差產(chǎn)生的磁測(cè)量誤差對(duì)差商法解算彈體滾轉(zhuǎn)角的影響很小，差商法具有很強(qiáng)的魯棒性。

Kb/nT傳統(tǒng)方法差商法1 5006.180°5.684 3e-14°5004.019°5.684 3e-14°-5004.019°5.684 3e-14°-1 5006.180°5.684 3e-14°

3.4 滾轉(zhuǎn)角間隔Δγ 的誤差對(duì)解算結(jié)果的影響

4 結(jié)論

本文介紹了傳統(tǒng)二維平面滾轉(zhuǎn)角解算原理和差商法解算彈體滾轉(zhuǎn)角原理。首先，對(duì)最佳滾轉(zhuǎn)角間隔的選取進(jìn)行了仿真分析，然后分別對(duì)傳感器刻度因子誤差和傳感器固定偏差對(duì)彈體滾轉(zhuǎn)角的解算誤差進(jìn)行了分析，通過對(duì)比兩種方法對(duì)滾轉(zhuǎn)角解算造成的影響，得到以下結(jié)論：

1) 利用差商法解算彈體滾轉(zhuǎn)角，其滾轉(zhuǎn)角解算誤差約為1×10-13°，小于1°；當(dāng)滾轉(zhuǎn)角間隔為π/2或3π/2時(shí)，能使解算誤差達(dá)到最小。

2) 利用差商法對(duì)刻度因子誤差和固定偏差引起的解算誤差具有很強(qiáng)的魯棒性。隨著滾轉(zhuǎn)角間隔Δγ誤差εΔγ的增大，最大彈體滾轉(zhuǎn)角解算誤差εγ也隨之增大。

3) 本文旨在提高旋轉(zhuǎn)彈丸磁測(cè)滾轉(zhuǎn)角解算精度，當(dāng)?shù)卮艂鞲衅鞔嬖谝欢ǖ目潭纫蜃诱`差和固定偏差時(shí)，差商法解算彈體滾轉(zhuǎn)角具有很強(qiáng)的魯棒性。除了傳感器的刻度因子誤差和固定偏差需要考慮外，傳感器的測(cè)量噪聲對(duì)此方法的解算精度造成的影響有待進(jìn)一步研究。

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