周水興，嚴成俊

(重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400074)

0 引 言

隨著高速公路、高速鐵路的大量修建，出現(xiàn)了諸多空心薄壁橋墩。國內(nèi)外針對高墩穩(wěn)定問題已開展大量研究，主要側(cè)重于高墩特征值、極限承載力和施工缺陷對穩(wěn)定的影響分析[1-4]，圍繞空心薄壁墩局部屈曲與板厚關(guān)系的研究相對較少?？招亩帐怯杀“褰M成的板殼構(gòu)件，工程設(shè)計中除需滿足橋墩承載力、整體穩(wěn)定外，還應(yīng)考慮薄板的局部穩(wěn)定問題。彭元誠[5]針對龍?zhí)逗哟髽?78 m空心薄壁墩，推導(dǎo)了不同約束條件下滿足混凝土薄壁局部穩(wěn)定的最小寬厚比。

筆者基于沿中心壓桿均勻分布的自重與桿端集中力具有相同穩(wěn)定系數(shù)的條件，推導(dǎo)了考慮自重和桿端集中力共同作用下的中心壓桿臨界荷載計算公式，在此基礎(chǔ)上根據(jù)薄壁空心墩優(yōu)先發(fā)生整體失穩(wěn)破壞的破壞形式，以橋墩整體穩(wěn)定應(yīng)力小于壁板臨界應(yīng)力作為控制條件，推導(dǎo)了等截面橋墩受壓壁板應(yīng)滿足的臨界寬厚比(臨界厚度)計算公式，通過算例和有限元分析驗證筆者推導(dǎo)公式的正確性。

1 等截面中心壓桿臨界荷載計算公式

表1為下端固結(jié)、上端自由與上端鉸接兩種邊界條件下，等截面中心壓桿在均布荷載和桿頂集中荷載單獨作用下的臨界荷載[6-7]。

表1 不同荷載單獨作用時的失穩(wěn)荷載Table 1 Failure load under different load alone

當(dāng)均布荷載和集中荷載共同作用時，相應(yīng)的臨界荷載可用貝塞爾函數(shù)求解：

(1)

式中：m為桿件自重與歐拉荷載的比值，m=ql/PE；U為對應(yīng)貝塞爾方程的最小根，查貝塞爾函數(shù)表可得。

由于式(1)計算臨界荷載較為復(fù)雜，筆者將沿桿件長度均勻分布的自重荷載ql等效為一作用在桿件頂端的集中力P1，施加在桿頂?shù)募辛镻2。

記P1=ψql，利用P1與(ql)具有相同的穩(wěn)定系數(shù)，有P1λq=PE，(ql)λq=(ql)cr，則有(ψql)λq=ψ(ql)cr，得ψ=PE/(ql)cr。利用表1臨界荷載值，不難得到下端固結(jié)上端自由時ψ=0.314，下端固結(jié)上端鉸接時ψ=0.383。

對于工程中常見的橋墩構(gòu)造，同時受到P1和P2的共同作用，因此有必要進一步考察其共同作用下的臨界荷載。在彈性穩(wěn)定分析中，穩(wěn)定系數(shù)λ常按λ(P1+P2)計算。

設(shè)等效集中力P1和P2同時作用至桿件失穩(wěn)時，P2的臨界荷載為Pcr，桿件失穩(wěn)時，有

(P1+P2)λ=PE

令P2=φql，則上式可表示為

(2)

(3)

為驗證上述算法的正確性，以下端固結(jié)上端自由為例進行計算，并采用ANSYS建立有限元模型進行驗證。橋墩截面如圖1，截面參數(shù)為：b=6.5 m，c=3.5 m，t=0.6 m，tc=0.6 m，橋墩高度l取為55 m進行驗算。橋墩材料為C40混凝土，其彈性模量為E=3.25×104MPa，泊松比為ν=0.2，質(zhì)量密度為ρ=2 500 kg/m3。

圖1 橋墩橫截面Fig. 1 Pier cross section

根據(jù)橋墩截面參數(shù)有

I=[6.5×3.53-(6.2-2×0.6)×(3.5-2×0.6)3]/12=17.85(m4)

A=6.5×3.5-(6.5-2×0.6)×(3.5-2×0.6)=

10.56(m2)

q=2 500×10.56×10=264 000(kN/m)

將φ=5、10和l=65、75、85、95代入式(3)計算各墩高下的臨界荷載，并與有限元模型對比，結(jié)果如表2和表3。根據(jù)計算結(jié)果的分析可以得出：將自重等效為墩頂集中荷載進行臨界荷載的計算是可行的，且公式計算值與有限元分析的結(jié)果吻合度較好，誤差在工程可接受的范圍5%以內(nèi)。

表2 下端固結(jié)上端自由臨界荷載對比Table 2 Contrast comparison of critical loads with lower end consolidated and upper end free

表3 下端固結(jié)上端水平約束臨界荷載對比Table 3 Contrasting critical load of Lower end consolidation and Upper horizontal constraint

根據(jù)臨界荷載可得相應(yīng)的臨界應(yīng)力為

(4)

實際工程中，薄壁空心墩多為混凝土結(jié)構(gòu)，在材料進入彈塑性階段后，需要對公式中的彈性模量進行修正，用切線模量ET代替彈性模量E。令t=ET/E，彈塑性階段臨界應(yīng)力為

(5)

2 薄壁空心墩極限寬厚比公式

與實體墩相比，薄壁空心墩以較少的材料獲得較大的截面抵抗慣性矩，充分發(fā)揮材料的力學(xué)性能，滿足墩柱整體穩(wěn)定與剛度要求。薄壁空心墩既存在整體穩(wěn)定問題，又存在壁板局部穩(wěn)定問題。壁板的局部穩(wěn)定可以通過限制板的寬厚比，以局部屈曲容許應(yīng)力高于整體穩(wěn)定應(yīng)力來得到保證。

薄壁空心墩壁板的局部穩(wěn)定可根據(jù)彈性薄板受均布壓力屈曲得出。縱向壓力作用下，薄板離開平面位置而發(fā)生屈曲導(dǎo)致局部失穩(wěn)。僅有一個方向受壓薄板屈曲，如圖2。

圖2 薄板屈曲Fig. 2 Sheet buckling

兩端受均布壓力作用的薄板彈性翹曲方程為

(6)

對四邊簡支的邊界條件，板的屈曲撓度可用式(7)的雙級數(shù)來表示：

(7)

式中：m、n分別為板屈曲時沿x軸和y的半波數(shù)，m、n=1，2，3，…。

將撓度曲線代入式(6)，整理后可得到彈性屈曲的臨界荷載為

(8)

式(8)進一步表示為

(9)

可以證明，k關(guān)于自然數(shù)域m的最小值為4[8]，由此得

(10)

混凝土薄壁結(jié)構(gòu)一般發(fā)生彈塑性失穩(wěn)，當(dāng)用橋墩整個截面計算臨界應(yīng)力，并考慮混凝土的彈塑性時，式(10)改寫為[9]

(11)

根據(jù)薄壁空心墩整體失穩(wěn)先于局部失穩(wěn)破壞，即局部應(yīng)力與整體應(yīng)力有σc≥σcr的關(guān)系：

(12)

由式(12)可得薄壁空心墩受壓壁板的極限寬厚比為

(13)

將混凝土材料泊松比ν=0.2、τ=0.5代入式(13)，得寬厚比限值計算公式為

(14)

由式(14)進一步得到薄壁橋墩極限厚度計算式：

(15)

利用式(15)可計算已知板寬時的薄壁空心墩臨界厚度。由于板厚的改變會影響到截面回轉(zhuǎn)半徑i和構(gòu)件長細比λ1，因此需要循環(huán)迭代來求解壁厚t，相應(yīng)計算流程見圖3。

圖3 極限厚度求解流程Fig. 3 Limit thickness solving flowchart

3 算例驗證

某空心薄壁墩高55 m，C40混凝土，彈性模量E=3.25×104MPa，重力密度為ρ=25 kN/m3。橋墩橫截面外形尺寸為6.5 m×3.5 m，順橋向壁厚tc=0.60 m(確保受壓板的荷載主要沿著短邊傳播，即受壓板為單向板)，橫橋向壁厚為t，橫截面如圖4。

圖4 薄壁空心墩截面(單位：cm)Fig. 4 Cross-section of thin-walled hollow pier

以下端固結(jié)上端自由為例，計算橋墩僅在自重作用下橫橋向壁板的極限厚度t。第1次試算時取t=20 cm，有

A=6.5×3.5-(6.5-2×0.6)(3.5-2×0.2)=

6.32(m2)

I=[6.5×3.53-(6.5-2×0.6)(3.5-2×

0.2)3]/12=10.066(m4)

43.582

將上述參數(shù)代入式(15)，得板厚t為

將t=0.131 m作為第2次試算的初值，重復(fù)上述計算過程，直到極限厚度t不再發(fā)生變化為止，最終得到t=0.124 m。

為分析不同墩高下臨界厚度變化規(guī)律，分別選取橋墩高度為65、75、85和95 m，計算結(jié)果如表4。

為進一步驗證文中公式的正確性，利用ANSYS的SHELL63單元建立有限元模型，計算各種墩高下的臨界厚度，相應(yīng)結(jié)果如表5。

表4 下端固結(jié)上端自由在橋墩自重作用下的結(jié)果Table 4 Result of pier under pier self-weight with lower end consolidation and top free

表5 下端固結(jié)上端自由的橋墩臨界厚度Table 5 Critical thickness of pier with lower end consolidation and top free

經(jīng)試算最終得t=0.057 m。同理可計算出下端固結(jié)、上端鉸接邊界條件，由橋墩自重與墩頂集中力共同作用下橋墩臨界厚度，如表6。由表6可得：① 隨著橋墩高度的增加，極限厚度減小，這可以從臨界荷載的計算公式PE=π2EI/(μl)2得到解釋，隨著橋墩高度的增大臨界荷載相應(yīng)減小，臨界應(yīng)力也隨之減小，導(dǎo)致極限厚度也減小，寬厚比限值增大；② 按推導(dǎo)公式得到的計算值均小于有限元結(jié)果，是由于公式計算時考慮了混凝土的彈塑性，有限元分析中混凝土為彈性材料；③ 在橋墩自重與集中力共同作用下，隨著集中力P2增大，理論計算值與有限元結(jié)果間的誤差減小，當(dāng)集中力P2與自重之比達到5倍時，兩者誤差在1 cm以內(nèi)，表明集中荷載越大，自重對穩(wěn)定的影響越??；④ 公式計算結(jié)果與有限元結(jié)果隨著墩高增加而趨于減小。

表6 下端固結(jié)上端鉸接的橋墩臨界厚度Table 6 Pier critical thickness of bottom fixed and top hinged

4 結(jié) 語

筆者將橋墩自重等效為墩頂集中荷載，推導(dǎo)了自重與集中力共同作用下的臨界荷載計算公式?；跇蚨照w穩(wěn)定應(yīng)力小于壁板臨界應(yīng)力為控制條件，推導(dǎo)了橋墩受壓壁板應(yīng)滿足的臨界寬厚比(臨界厚度)計算公式，通過算例驗證了公式正確性，可為橋墩構(gòu)造設(shè)計提供參考。但筆者未考慮初始缺陷、橫向風(fēng)荷載等對橋墩壁厚的影響，及地震作用的影響，為此，需要開展進一步的研究。

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