張海濤 ，汪維剛*，汪桂蓮，汪方圓，陳方杰，李 歡

（1.合肥幼兒師范高等?？茖W?；A(chǔ)部，安徽合肥230011；2.安徽省桐城市龍河中學，安徽桐城 231400；3.云南大學軟件學院，云南昆明650091；4.桐城師范高等?？茖W校理工系，安徽桐城231402）

非線性薛定諤方程已經(jīng)被廣泛應用于現(xiàn)代光通信技術(shù)中[1]。如何求解非線性薛定諤方程是一個重要課題，近來許多學者在非線性問題方面做了大量工作[2-10]，求解一類非線性問題的方法不斷改進，包括平均法、邊界層校正法、匹配法和多重尺度法等等，經(jīng)過改進的廣義變分迭代方法也是其中一種有效的新方法。本課題組利用微分不等式等方法研究了一類非線性問題[11-16]。本文中討論與近代物理有關(guān)的一個非線性擾動薛定諤方程，利用非線性理論和改進的廣義泛函變分迭代方法以及用求精確解和近似解相結(jié)合的技巧，得到相應方程的耦合解的漸近解。

一類廣義非線性薛定諤擾動耦合模型：

其中u(x,t)、v(x,t)為對應系統(tǒng)的物理場函數(shù)，ai、bj(i=1,2,3;j=1,2)為對應物理量的加權(quán)參數(shù)，f、g為物理場函數(shù)的擾動項，hi(i=1,2,3)為場函數(shù)的初始函數(shù)，它們是在相應的變化范圍內(nèi)的充分光滑的函數(shù)。

為求得廣義非線性薛定諤擾動耦合模型(1)～(3)的近似解，首先考慮如下對應的無擾動情形下的最簡單的耦合系統(tǒng)

并滿足初始條件(3)的解。顯然，(4)式、(5)式的解為

其中Ci(i=1,2,3)為任意函數(shù)。再由條件(3)，可決定Ci(i=1,2,3)為

于是問題(3)～(5)的解為

其次，因非線性耦合模型(1)～(3)一般不能得到有限項初等函數(shù)形式的精確解，所以，用廣義變分迭代方法來求得非線性擾動薛定諤擾動耦合模型(1)～(3)解的近似表示式。

在行波變換z=x+ct下引入泛函：

式中 uˉ、vˉ分別為 u、v的限制變量，λ 為待定函數(shù)。將(8)式進行變分運算

在(9)式中，令δ F=0，可得到λ應滿足

由(10)式，不難得到：

由(8)、(11)式構(gòu)造如下漸近解的廣義迭代表達式：

（12）、（13）式中 n=1,2,…，選取初始迭代u0(z)為非擾動方程(1)的一個孤子精確解，即并由迭代關(guān)系(12)式可得到序列{un(z)}。由f的假設(shè)條件，可以證明級數(shù)致地成立。 設(shè)u(z)=nli→m∞un(z)，再對(12)式兩邊取極限n→∞，即可證明u=u(z)就是擾動非線性方程(1)的解。亦可發(fā)現(xiàn)解連續(xù)地依賴于F，故解具有穩(wěn)定性。

又考慮到小參數(shù)的擾動影響，對原先模型作了一個較簡單的修正：

又因為廣義非線性薛定諤擾動耦合模型的ε為正的小參數(shù)，所以可以用攝動理論以及不動點定理證明。非線性薛定諤擾動耦合模型的第n次攝動漸近解有如下的估計式：

ε微小的變化所帶來的變化是可求的。

從以上穩(wěn)定解求解過程可知，漸近解是可求的，參變數(shù)的微小變化所帶來的變化也是可求的，因而本系統(tǒng)是在穩(wěn)定中漸近變化的，也是可控的。本文中的精確解和漸近解相結(jié)合的處理方法也可應用于理論物理、生化問題等方面相關(guān)的研究。

[1]李幫慶，馬玉蘭，徐美萍，等.耦合Schr?dinger系統(tǒng)的周期振蕩折疊孤子[J].物理學報,2011,60(6)：060203.

[2]石蘭芳,莫嘉琪.用廣義變分迭代理論求一類相對轉(zhuǎn)動動力學方程的解[J].物理學報,2013,52(4)：040203.

[3]石蘭芳,林萬濤,林一驊,等.一類非線性方程類孤波的近似解法[J].物理學報,2013,62(1)：010201.

[4]馬松華，方建平.聯(lián)立薛定諤系統(tǒng)新精確解及其所描述的孤子脈沖和時間孤子[J].物理學報,2006,6(11):5611.

[5]de JAGER E M,JIANG F R.The theory of singular perturbation[M].Amsterdam:North-Holland Publishing,1996：52-59.

[6]BARBU L,MOROSANU G.Singularly perturbed boundaryvalue problems[M].Basel:Birkhauserm Verlag AG,2007：72-79.

[7]MO J Q.Homotopiv mapping solving method for gain fluency of a laser pulse amplifier[J].Science in China,SerG,2009,52(7)：1007-1010.

[8]MO J Q,LIN S R.The homotopic mapping solution for the solitary wave for a generalized nonlinear evolution equation[J].Chinese Physics B,2009,20(9)：3628-3631.

[9]MO J Q.Solution of travelling wave for nonlinear disturbed long-wave system[J].Commun Theor Phys,2011,55(3)：387-390.

[10]MO J Q,CHEN X F.Homotopic mapping method of solitary wave solutions for generalized complex Burgers equation[J].Chinese Physics B,2010,21(10)：100203.

[11]汪維剛,林萬濤,石蘭芳,等.非線性擾動時滯長波系統(tǒng)孤波近似解[J].物理學報,2014,63(11):110204.

[12]WANG W G,SHI J R,SHI L F,et al.The singularly perturbed solution of nonlinear nonlocal equation for higher order[J].J Nankai Univ,2014,47(1):13-18.

[13]WANG W G,SHI L F,XU Y H,et al.Generalized solution of the singularly perturbed boundary value problems for semilinear elliptic equation of higher order with two parameters[J].J Nankai Univ,2014,47(2):47-81.

[14]石蘭芳，汪維剛，莫嘉琪.高維擾動破裂孤子方程行波解的漸近解法[J].應用數(shù)學,2014,27(2):317-321.

[15]石蘭芳,朱敏,周先春,等.一類非線性發(fā)展方程孤立子行波解[J].物理學報,2014,63(13):130201.

[16]MO J Q,WANG W G,CHEN X F,et al.The shock wave solutions for singularly perturbed time delay nonlinear boundary value problems with two papameters[J].Math Appl,2014,27(3):470-475.