費(fèi)經(jīng)泰，陳 喆

（安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽安慶246133)

行人流問(wèn)題的研究最早起源于交通流，近些年在研究行人流問(wèn)題過(guò)程中，許多微觀仿真模型被提出來(lái)，如社會(huì)力模型、元胞自動(dòng)機(jī)模型、格子氣模型等。其中格子氣模型憑借模型簡(jiǎn)單、容易編程、適于大規(guī)模計(jì)算等優(yōu)點(diǎn)，成為研究行人流問(wèn)題的重要模型。1999年Nagatani研究小組首先將格子氣模型引入到行人流模擬中，接著他們建立了一個(gè)二維偏斜隨機(jī)行走格子氣模型來(lái)仿真開(kāi)放邊界下地鐵隧道內(nèi)交匯人流的運(yùn)動(dòng)，結(jié)果表明當(dāng)行人密度超過(guò)臨界值以后將會(huì)發(fā)生阻塞相變，隨后又研究了在周期邊界條件下正方形網(wǎng)格上行人交通中的相變現(xiàn)象，并進(jìn)一步討論了開(kāi)放邊界條件下行人流在十字路口發(fā)生的阻塞相變[1]。2004年Kirchner首先引入多速擴(kuò)展元胞自動(dòng)機(jī)模型并發(fā)現(xiàn)最大速度vmax=3時(shí)與實(shí)測(cè)行人流基本圖相吻合[2]。姜銳等提出了在隨機(jī)順序更新下最大速度擴(kuò)展格子氣模型，即在一個(gè)離散時(shí)間步內(nèi)行人能走多個(gè)格子[3]。郝慶一等把元胞自動(dòng)機(jī)中并行更新規(guī)則引入到格子氣模型，發(fā)現(xiàn)不同于隨機(jī)順序更新規(guī)則的基本圖[4]。本文在擴(kuò)展格子氣模型[3]的基礎(chǔ)上，提出并行更新的最大速度擴(kuò)展格子氣模型。

1 模型描述

格子氣模型把行人移動(dòng)的寬W，長(zhǎng)L的矩形通道劃分為W×L個(gè)網(wǎng)格，記每個(gè)網(wǎng)格長(zhǎng)度為單位1，每個(gè)格點(diǎn)只允許一個(gè)人占據(jù)，行人根據(jù)一定的概率選擇向緊鄰的左側(cè)、前方、右側(cè)的格點(diǎn)移動(dòng)，但不允許后退。通道上下邊界為墻壁，行人不能穿越墻壁，左右采用周期性邊界條件，行人到達(dá)右邊界后，從左邊界處重新進(jìn)入。為了分析方便，設(shè)定通道長(zhǎng)度方向?yàn)閄軸方向，通道寬度方向?yàn)閅軸方向[5]，這樣每個(gè)行人的位置都可以用二維坐標(biāo)(x,y)來(lái)表示。圖1給出了行人在格子上遇到的所有可能情形。其中叉號(hào)表示相應(yīng)的位置被行人占據(jù)或上下邊界，其中Pt,y，Pt,-y，Pt,x分別表示目標(biāo)行人到最近左邊鄰居、右邊鄰居、前面鄰居位子的轉(zhuǎn)移概率，這里不考慮行人后退情況。對(duì)于行人在格子上所處的情形，相應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率分別如下，

其中參數(shù)D表示偏向前的移動(dòng)趨勢(shì)強(qiáng)度。當(dāng)D=0時(shí)，對(duì)應(yīng)的就是不帶后退的偏隨機(jī)行走模型，當(dāng)D=1時(shí)，前方若為空，行人只向前移動(dòng)，不會(huì)考慮向兩側(cè)移動(dòng)。

圖1 行人在格子上遇到的所有可能情形

文獻(xiàn)[3]中提出的最大速度擴(kuò)展格子氣模型采用了隨機(jī)順序更新的規(guī)則，為了更好地符合行人移動(dòng)實(shí)際情形，本文采用并行更新方式來(lái)研究最大速度擴(kuò)展格子氣模型。

初始時(shí)刻N(yùn)個(gè)行人隨機(jī)分布在通道內(nèi)，密度ρ=N/(WL)，這里流率定義為每個(gè)時(shí)間步內(nèi)通過(guò)右邊界處的平均人數(shù)再除以寬度W。從時(shí)間步t到t+1，記每個(gè)行人n∈{1,2,…,N}的最大速度為s=vmax(n)，即行人在這個(gè)時(shí)間步內(nèi)最多能走s個(gè)格子，同時(shí)把行人的行走過(guò)程劃分為s步來(lái)完成，則第i(i=1,2,…,s)步內(nèi)更新規(guī)則如下：

(1)當(dāng)i=1時(shí)，記每個(gè)行人n的位置為，并按照?qǐng)D1所示的8種情形計(jì)算向前方、右方、左方格點(diǎn)轉(zhuǎn)移的概率，記更新后行人的位置為其中對(duì)于行人位置的沖突：當(dāng)兩個(gè)或三個(gè)行人在某一時(shí)刻試圖移到同一空位時(shí)，按概率隨

機(jī)選擇其中一人移動(dòng)到那個(gè)目標(biāo)空位，其余人保持不動(dòng)[4]。

(2)當(dāng)i=2,3,…,s時(shí)，每個(gè)行人n的位置為關(guān)系：

(i)若，則表示行人在第i-1步內(nèi)沒(méi)有移動(dòng)（周圍沒(méi)有可移動(dòng)的格點(diǎn)或行人之間沖突導(dǎo)致），則這個(gè)行人就在這個(gè)時(shí)間步t內(nèi)停止更新，這樣做是避免出現(xiàn)行人在一個(gè)時(shí)間步內(nèi)出現(xiàn)“又走又停”的現(xiàn)象[3]。

(ii)若，則表示行人在第i-1步內(nèi)成功移動(dòng)到前方格點(diǎn)，此時(shí)行人仍按照?qǐng)D1所示的8種情形來(lái)計(jì)算移動(dòng)概率。

(iv)若，則表示行人在第i-1步內(nèi)成功移動(dòng)到左方格點(diǎn)，此時(shí)情形討論同(iii)（只需將情形(iii)中的右方格點(diǎn)改為左方格點(diǎn)，并交換Pt,y和Pt,-y值）。

根據(jù)上述4種情況計(jì)算行人轉(zhuǎn)移概率，并記更新后的位置為Ti(+n)1(t)=(x(in+)1(t),yi(+n)1(t))。其中行人位置的沖突處理同i=1情形。這里通過(guò)修改格子氣模型的基本概率，令Pt,y=0或Pt,-y=0，則行人向左（右）方移動(dòng)的概率為零，這樣可以避免行人在移動(dòng)過(guò)程中出現(xiàn)“乒乓行為”[3]，即行人路徑上出現(xiàn)重疊（如行人在向右側(cè)行走后在下一步又向左側(cè)行走）。當(dāng)更新完s步后，該時(shí)間步t結(jié)束，進(jìn)入下一個(gè)時(shí)間步t+1更新。

2 模擬結(jié)果及討論

仿真參數(shù)選取模型尺寸大小W×L=100×100，模擬的總時(shí)間T=15000，其中取后5 000個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)用來(lái)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)和計(jì)算流率。

2.1 參數(shù)D對(duì)基本圖的影響

圖2表示D＜1基本圖，從圖2(a)和圖2(b)中可以看出擴(kuò)展后模型的流率高于vmax=1的流率。隨著D的增大，擴(kuò)展格子氣模型保持了文獻(xiàn)[4]中提到的并行格子氣模型的特點(diǎn)：密度—流率曲線在臨界密度處出現(xiàn)了拐點(diǎn)，它的右分支(擁擠分支)變成了下凸曲線。其中在圖2(c)和圖2(d)中，隨著D(D＞0.5)的增大，當(dāng)密度ρ大于臨界密度后，流率會(huì)出現(xiàn)突降，說(shuō)明行人從自由流狀態(tài)向擁擠流狀態(tài)的轉(zhuǎn)變過(guò)程中發(fā)生了相變。由于擴(kuò)展格子氣模型vmax＞1，從而在一個(gè)時(shí)間步內(nèi)，行人之間相互作用范圍擴(kuò)大，不僅限于前左右的鄰居。根據(jù)模型的規(guī)則，行人在一個(gè)時(shí)間步內(nèi)能走vmax個(gè)格子，從而很容易造成堵塞，流率突降。

圖2 不同參數(shù)D基本圖

圖3 表示參數(shù)D=1的基本圖，基本圖由兩條分支組成，上分支由初始分布為均勻狀態(tài)模擬得到，下分支是由初始分布為隨機(jī)狀態(tài)模擬得到的[4]。通過(guò)觀察基本圖可以發(fā)現(xiàn)，vmax＞1格子氣模型與vmax=1的格子氣模型有很大的不同，當(dāng)vmax=1時(shí)，流率曲線出現(xiàn)了兩個(gè)擁擠分支，而vmax＞1的格子氣模型呈現(xiàn)出交通流基本圖中典型的反λ形狀，原因是最大速度擴(kuò)展格子氣模型在模擬過(guò)程中不能維持初始均勻分布狀態(tài)[4]。同時(shí)從圖中可以看出，在臨界密度附近形成亞穩(wěn)態(tài)區(qū)域(0.3±0.05≤ρ≤0.5±0.05)，在這個(gè)密度范圍內(nèi)，行人的流率和分布狀態(tài)是不穩(wěn)定的，這也解釋了圖2中基本圖出現(xiàn)流率突降現(xiàn)象的原因。

圖3 參數(shù)D=1基本圖

2.2 最大速度vmax對(duì)基本圖的影響

圖4 (c)顯示了在參數(shù)vmax=3下，密度—流率曲線的臨界密度ρ≈0.35，符合文獻(xiàn)[3]中提到的實(shí)測(cè)行人流的臨界密度ρ≈0.34。從圖4中可以看出，隨著vmax的增大，最大流率對(duì)應(yīng)的臨界密度不斷減小。在圖4(a)和圖4(b)中，流率隨vmax的增大而增大。圖4(c)和圖4(d)出現(xiàn)了行人流中“快即是慢”的現(xiàn)象，如圖4(d)，當(dāng)密度0.35≤ρ≤0.55時(shí)，最大速度vmax=5時(shí)的流率反而小于vmax=2,3時(shí)的流率，而在其他的密度區(qū)域上恰好相反。原因是這一段密度區(qū)域是上面提到的亞穩(wěn)態(tài)區(qū)域，行人流率不穩(wěn)定。當(dāng)密度ρ≤0.35時(shí)，行人處于自由流的狀態(tài)，最大速度越大，流率越大，當(dāng)密度ρ≥0.55時(shí)，行人分布從亞穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變成高密度擁擠狀態(tài)，此時(shí)速度對(duì)流率的大小又起著較大的影響，所以最大速度越大，流率也越大。

圖4 不同參數(shù)vmax基本圖

3 總結(jié)

本文在原有的最大速度擴(kuò)展格子氣模型的基礎(chǔ)上采用并行更新的方式，通過(guò)仿真模擬得到了行人流基本圖，并得到以下結(jié)論：擴(kuò)展后vmax＞1格子氣模型在流率上有很大的提高，最大流率所對(duì)應(yīng)的臨界密度小于原模型，從而更接近實(shí)際情況?；緢D中流率曲線在從自由流分支向擁擠流分支轉(zhuǎn)變過(guò)程中發(fā)生了相變，流率突降，同時(shí)出現(xiàn)了行人流中“快即是慢”的現(xiàn)象，即最大速度越大，反而流率越小。當(dāng)參數(shù)D=1，行人流基本圖呈現(xiàn)出和車輛交通流基本圖類似的典型的反λ形狀。在今后工作中，將進(jìn)一步改進(jìn)模型，如將模型與博弈論、行人移動(dòng)路徑的選擇等問(wèn)題相結(jié)合，以更好地模擬實(shí)際行人流。

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