劉佳玥，李翠香

(河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河北石家莊050024)

期權(quán)是一種金融衍生產(chǎn)品，它賦予了持有者在未來某一時(shí)間可以以事先約定好的價(jià)格買入或者賣出標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利。交易者和投機(jī)者發(fā)現(xiàn)，在許多情形下交易期權(quán)比直接交易標(biāo)的資產(chǎn)更方便，因此，近年來期權(quán)的定價(jià)問題成為國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)家及金融學(xué)家的研究熱點(diǎn)[1-2]。1973年，Black等[3]第一次提出了期權(quán)定價(jià)的B-S模型，并進(jìn)一步得出了歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格公式。但是，B-S模型中的一些假設(shè)并不能完全反映實(shí)際市場(chǎng)中的某些現(xiàn)象，為了期權(quán)的定價(jià)模型更加貼合實(shí)際市場(chǎng)，許多學(xué)者將紅利率、漂移率和波動(dòng)率假設(shè)為關(guān)于t的確定函數(shù)，以此對(duì)B-S模型進(jìn)行了擴(kuò)展。李素麗等研究了具有時(shí)變參數(shù)的歐式回望期權(quán)的定價(jià)[4]，倪琪研究了具有時(shí)變參數(shù)的單邊離散平方障礙期權(quán)的定價(jià)[5]。乘積期權(quán)是以兩個(gè)資產(chǎn)的乘積作為標(biāo)的物執(zhí)行的期權(quán)。乘積期權(quán)在金融市場(chǎng)中應(yīng)用廣泛，但是目前關(guān)于乘積期權(quán)的定價(jià)研究較少，2014年，Zhang得到了漂移率和波動(dòng)率為常數(shù)時(shí)歐式乘積期權(quán)的定價(jià)公式[6]，本文將進(jìn)一步研究時(shí)變參數(shù)下乘積期權(quán)的定價(jià)及應(yīng)用。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)乘積期權(quán)的兩個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格分別為S1(t),S2(t)，則執(zhí)行價(jià)格為K的看漲看跌乘積期權(quán)在到期日T的收益分別為

本文設(shè)為帶有域流{ Ft}的概率測(cè)度空間，其中Ω為樣本集合，F(xiàn)為Ω生成的σ域，Q為風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度，{ }Ft為本文所涉及的隨機(jī)過程所生成的域流。假設(shè)乘積期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格Si(t)服從如下隨機(jī)微分方程：

其中μi(t),σi(t)均是關(guān)于時(shí)間t的確定連續(xù)函數(shù)，Wi(t)(i=1,2)為Q下相關(guān)系數(shù)為ρ的布朗運(yùn)動(dòng)。

2 時(shí)變參數(shù)下乘積期權(quán)的定價(jià)

先介紹幾個(gè)相關(guān)的引理。

引理1 若隨機(jī)變量X是測(cè)度Q下期望為μ，方差為σ2的正態(tài)分布變量，即X～N(μ,σ2)，則

其中N(·)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積函數(shù)。

由此引理1得證。

引理2(Ito's引理)[7]設(shè)Xi(t)(i=1,2,···,n)是具有如下隨機(jī)微分形式的Ito's過程，

dXi(t)= μi(t)dt+ σi(t)dWi(t),i=1,2,···,n,其中Wi(t)為布朗運(yùn)動(dòng)，若n元函數(shù)f(x1,x2,···,xn)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則

引理3 假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格Si(t)(i=1,2)服從(1)

式，則

證明 由引理2可知

對(duì)上式兩邊由t到T積分得lnSi(T)=lnSi(t)+

整理得Si(T)=Si(t)·由此引理3得證。

通過以上引理可以推導(dǎo)出時(shí)變參數(shù)下乘積期權(quán)的價(jià)格公式。

定理1 設(shè)乘積期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)S1(t),S2(t)服從(1)式，無風(fēng)險(xiǎn)利率r(t)為t的確定連續(xù)函數(shù)，則到期日為T，執(zhí)行價(jià)格為K的看漲乘積期權(quán)在t時(shí)刻的價(jià)格為c(S1(t),S2(t))=

則由引理1得

結(jié)合(4)式、(7)式和(8)式，定理1得證。

定理2 在定理1的條件下，看跌乘積期權(quán)在t時(shí)刻的價(jià)格為

證明過程與定理1類似。

推 論 1 當(dāng) μi(t)=μi,σi(t)=σi，利 率r(t)=r均為常數(shù)時(shí)，乘積期權(quán)在t時(shí)刻的價(jià)格為

證明 把μi(t)=μi,σi(t)=σi,r(t)=r代入定理1和定理2可得推論1。

注1 推論1正是文獻(xiàn)[6]中的結(jié)果。

3 應(yīng)用

乘積期權(quán)有兩個(gè)主要的應(yīng)用，一個(gè)是外股本幣期權(quán)，另一個(gè)是公司收入期權(quán)。

應(yīng)用1 外股本幣期權(quán)

外股本幣期權(quán)是用本國(guó)貨幣作為執(zhí)行價(jià)格的外國(guó)股本期權(quán)。它的標(biāo)的物為外國(guó)股本或者外國(guó)商品，由外國(guó)資產(chǎn)價(jià)格乘以一單位外國(guó)資產(chǎn)兌換本國(guó)貨幣的匯率構(gòu)成，并以本國(guó)貨幣進(jìn)行計(jì)價(jià)。設(shè)S(t)表示外幣計(jì)價(jià)的外國(guó)資產(chǎn)價(jià)格，F(xiàn)(t)表示匯率，即一單位外國(guó)貨幣兌換本國(guó)貨幣的價(jià)值，則執(zhí)行價(jià)格為K的看漲看跌外股本幣期權(quán)在到期日T的收益分別為

假設(shè)S(t),F(t)服從(1)式，下面計(jì)算外股本幣期權(quán)在t(0≤t≤T)時(shí)刻的價(jià)格。

引理4 在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q下，匯率F(t)的漂移率μF(t)=rd(t)-rf(t)，其中rd(t)表示本國(guó)利率，rf(t)表示外國(guó)利率。

σF(t)dW2(t)。

由于X(t)可以看成一個(gè)國(guó)內(nèi)可交易資產(chǎn)價(jià)格的貼現(xiàn)過程，故X(t)在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下為鞅，從而漂移項(xiàng)為0，因此，μF(t)=rd(t)-rf(t)，由此引理4得證。

引理5 在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q下，外國(guó)資產(chǎn)價(jià)格S(t)的漂移率

其中q(t)是紅利率。

由于Y(t)可以看成一個(gè)國(guó)內(nèi)可交易資產(chǎn)價(jià)格的貼現(xiàn)過程，故Y(t)在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下為鞅，從而漂移項(xiàng)為0，因此，μS(t)=rf(t)-q(t)- ρσS(t)σF(t)，由此引理5得證。

定理3 看漲看跌外股本幣期權(quán)在t時(shí)刻的價(jià)格為cF( )

S(t),F(t)=

證明 把μF(t),μS(t)代入定理1和定理2可得定理3。

注2 定理3的結(jié)論不涉及外國(guó)利率rf(t)。

例1某美國(guó)公司股票當(dāng)前價(jià)格為S(t)=10美元，紅利率q=0.01，股票波動(dòng)率σS=15%，人民幣利率rd=0.05，當(dāng)前匯率為F(t)=6.796人民幣/美元，匯率的波動(dòng)率σF=12%，股票和匯率的相關(guān)系數(shù)ρ=-0.2，則1年期執(zhí)行價(jià)格為K=68元的看漲外股本幣期權(quán)的價(jià)格為

看跌外股本幣期權(quán)價(jià)格為

應(yīng)用2 公司收入期權(quán)

公司的收入由公司所生產(chǎn)產(chǎn)品的銷量和其出售價(jià)格相乘得到，因此可以用兩者的乘積作為標(biāo)的來發(fā)行期權(quán)，為公司的收入套期保值。設(shè)S1(t)表示公司商品的單位價(jià)格，S2(t)表示銷售數(shù)量，則執(zhí)行價(jià)格為K的看漲看跌公司收入期權(quán)在到期日T的收益分別為

在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q下，S1(t)的漂移率為r(t)-q(t)，其中r(t)為無風(fēng)險(xiǎn)利率，q(t)為紅利率，S2(t)的漂移率根據(jù)實(shí)際情況選取，不作規(guī)定。

定理4 看漲看跌公司收入期權(quán)在t時(shí)刻的價(jià)格為cR( )

S1(t),S2(t) =

證明 把μ1(t)=r(t)-q(t)代入定理1和定理2可得定理4。

例2 設(shè)某公司產(chǎn)品的當(dāng)前價(jià)格為S1(t)=10美元，價(jià)格的波動(dòng)率σ1=15%，產(chǎn)品當(dāng)前的銷售數(shù)量為S2(t)=1 000 000，其波動(dòng)率σ1=12%，漂移率μ2=0.2，相關(guān)系數(shù)ρ=0.3，利率r=0.05，紅利率q=0.01，執(zhí)行價(jià)格為K=10 000 000，則看漲公司收入期權(quán)價(jià)格為

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