米長偉， 趙宏宇， 吳旭， 宋立平

(中國兵器工業(yè)集團有限公司 航空彈藥研究院， 黑龍江 哈爾濱 150036)

0 引言

機載靈巧彈藥適用的捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)，其微機電系統(tǒng)(MEMS)的慣性測量單元(IMU)陀螺漂移誤差比較大(國產(chǎn)MEMS IMU零偏可達(dá)300°/h以上)，因此需要開展機載武器國產(chǎn)低成本MEMS IMU的應(yīng)用研究。

在已有的研究中，Kain等[1]分別建立了24維傳遞對準(zhǔn)模型和18維次優(yōu)傳遞對準(zhǔn)模型，對陀螺零偏、標(biāo)定誤差等均進行估計補償，并通過快速機動方法在10 s內(nèi)實現(xiàn)狀態(tài)的收斂，但該算法并未說明IMU誤差的收斂速度。梁浩等[2]和夏家和等[3]提出了改進的速度+姿態(tài)匹配傳遞對準(zhǔn)算法，以期從濾波算法模型的角度解決快速傳遞對準(zhǔn)問題。秦峰等[4]在Kain等[1]的基礎(chǔ)上建立了27維全維傳遞對準(zhǔn)模型和18維降維傳遞對準(zhǔn)模型，并進行了全維和降維對準(zhǔn)算法驗證，兩種算法精度相當(dāng)，安裝誤差角的收斂時間約為35 s. 基于Hermite矩陣譜分解的可觀測分析方法，周本川等[5]分析了速度+航向傳遞對準(zhǔn)算法的可觀測度，并指出可觀測程度較弱的天向陀螺漂移收斂時間為4 min.

關(guān)于非大機動條件下的快速傳遞對準(zhǔn)算法，國內(nèi)外學(xué)者均未提出有效辦法。目前國內(nèi)多型機載武器均采用延長對準(zhǔn)時間的方法來保證精度[6-9]。

為填補非大機動條件下快速傳遞對準(zhǔn)算法的空白，本文結(jié)合靶場試驗工程經(jīng)驗，提出了基于弱可觀測狀態(tài)分離估計的靈巧彈藥快速傳遞對準(zhǔn)算法。其中，針對制約傳遞對準(zhǔn)時間的關(guān)鍵因素(MEMS陀螺零偏)，提出MEMS IMU大零偏快速兩點估計算法。首先，以可觀測度為評價標(biāo)準(zhǔn)分析制約傳遞對準(zhǔn)快速性的關(guān)鍵因素；其次，提出MEMS IMU大零偏快速估計算法——零偏兩點估計法，以及基于弱可觀測狀態(tài)分離估計的靈巧彈藥快速傳遞對準(zhǔn)算法，并提出估計系統(tǒng)噪聲方差矩陣Q的變分貝葉斯- 卡爾曼濾波(VBQ-KF)算法來抑制狀態(tài)分立估計器中狀態(tài)噪聲統(tǒng)計特性變化對傳遞對準(zhǔn)濾波器收斂的影響；最后，通過數(shù)學(xué)仿真和靶場試驗來驗證算法的有效性。

1 基于狀態(tài)分離的靈巧彈藥快速傳遞對準(zhǔn)算法

傳遞對準(zhǔn)算法采用Kain等[1]提出的速度+姿態(tài)匹配快速傳遞對準(zhǔn)算法的降維改進形式。

1.1 傳遞對準(zhǔn)算法降維模型

速度+姿態(tài)匹配傳遞對準(zhǔn)算法模型降維改進形式[1]為

(1)

(2)

(3)

MEMS陀螺量測模型可以表示為

(4)

(5)

式中：τ為時間系數(shù)；nr為白噪聲。

靈巧彈藥在掛飛傳遞對準(zhǔn)過程中已完成上電穩(wěn)定，因此可以進一步簡化其誤差模型為常值漂移和白噪聲隨機漂移項:

(6)

式中：ε為常值漂移；υ為白噪聲隨機漂移項。

由于機載靈巧彈藥傳遞對準(zhǔn)過程可實現(xiàn)定高平飛，進一步忽略天向速度誤差狀態(tài)，選取降維狀態(tài)變量為[δVe,δVn,φx,φy,φz,εx,εy,εz,φax,φay,φaz]T. 其中，δVe、δVn為東向和北向速度誤差，φx、φy、φz為φm的3個投影分量，εx、εy、εz為εs的3個投影分量，φax、φay、φaz為φa的3個投影分量。

為節(jié)省傳遞對準(zhǔn)時間、提高載機的安全性和快速反應(yīng)能力，需要以可觀測度為評價標(biāo)準(zhǔn)來分析待估計狀態(tài)變量的收斂時間?？捎^測度表征了系統(tǒng)中可估的狀態(tài)變量以及可估狀態(tài)變量的收斂速度，即狀態(tài)變量的可觀測性和可觀測度，國內(nèi)外學(xué)者圍繞該問題作了大量研究[6-8]。本文引入奇異值分解(SVD)和解析法來分析傳遞對準(zhǔn)算法的可觀測度，作為快速傳遞對準(zhǔn)算法的理論依據(jù)。

1.2 可觀測性分析

可觀測性分析方法通常利用系統(tǒng)估計誤差協(xié)方差中提取的特征值和特征向量以及可觀測性矩陣的奇異值等來描述系統(tǒng)的可觀測度；還可以用觀測量及其高階微分項為變量建立狀態(tài)變量和觀測量的函數(shù)關(guān)系，進而分析歸納系統(tǒng)的可觀測性和可觀測度。

1.2.1 基于SVD的傳遞對準(zhǔn)可觀測分析

采用基于SVD方法分析MEMS慣性導(dǎo)航系統(tǒng)傳遞對準(zhǔn)可觀測性，涉及的算法模型狀態(tài)空間形式如下：

(7)

式中:X為狀態(tài)變量；A為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣；W為噪聲適量；Y為量測適量；C為觀測矩陣。

由現(xiàn)代控制理論可知，系統(tǒng)的可觀測矩陣H為

(8)

靈巧彈藥掛飛傳遞對準(zhǔn)過程中，需要保持定高平飛并保持勻速。為簡化可觀測性分析，分析時忽略天向通道?？捎^測性仿真中，載機速度設(shè)為200 m/s，載機經(jīng)度與緯度為(105.325°，38.875°)，載機氣壓表高度為7 400 m，主慣性導(dǎo)航系統(tǒng)IMU精度為(0.01°/h，0.001×10-3g)，子慣性導(dǎo)航系統(tǒng)IMU精度為(100°/h，0.1×10-3g)。經(jīng)計算可知H的秩為11，所有狀態(tài)均可觀測。對系統(tǒng)進行SVD，得到11個奇異值并計算各個奇異值對應(yīng)的狀態(tài)變量初值，繪制奇異值直方圖如圖1所示。

由圖1可見，δVe、δVn作為直接觀測量，其對應(yīng)的奇異值為1，可將奇異值作為狀態(tài)變量可觀測度的分析依據(jù)。其中，φax、φay的可觀測度為9.832 7和9.835 2，φaz的可觀測度為1.005 3，由可觀測度判斷原則可知，3個安裝誤差的可觀測程度較為理想。圖1中只保留了可觀測度較弱的4個狀態(tài)變量φaz、εx、εy和εz的奇異值直方圖。其中，圖1(a)所示為狀態(tài)變量εaz的可觀測度，圖1(b)和圖1(c)所示分別為IMU陀螺零偏εx、εy的可觀測度，圖1(d)所示為εz的可觀測度. 上述分析結(jié)果與實際掛飛試驗結(jié)果一致，安裝角可以得到快速估計。但是為了標(biāo)校MEMS陀螺，實際上需要進一步延長掛飛傳遞對準(zhǔn)時間。

1.2.2 解析式可觀測度分析方法

根據(jù)(1)式～(6)式的傳遞對準(zhǔn)狀態(tài)模型，可以得到可觀測分析模型如下：

(9)

(10)

(11)

式中：fn為導(dǎo)航系加速度值。

定義y1=δV,y2=φm. 通過可觀測模型以及求導(dǎo)和方程組聯(lián)立，可以計算得到：

(12)

進而可得

(13)

由(13)式確定出φa后代入(10)式，整理可得

(14)

綜上所述可以判定4組狀態(tài)向量的可觀測程度依次為：δV和φm最高，φa居中，εs最弱。

本文采用的解析式可觀測度分析方法與基于SVD的可觀測分析方法得出了相同結(jié)論：MEMS陀螺零偏εs的估計是制約傳遞對準(zhǔn)快速性的根本原因。

1.3 狀態(tài)分離的快速傳遞對準(zhǔn)算法

通過1.2節(jié)關(guān)于傳遞對準(zhǔn)算法可觀測度分析的結(jié)論可知，提高機載靈巧彈藥快速作戰(zhàn)響應(yīng)的關(guān)鍵在于MEMS陀螺零偏的快速估計。下面借鑒文獻(xiàn)[7]提出適用于機載靈巧彈藥的快速傳遞對準(zhǔn)算法。首先，采用本文快速傳遞對準(zhǔn)算法對傳遞對準(zhǔn)狀態(tài)進行分離。從(2)式中分離出可觀測程度較弱的狀態(tài)εs并設(shè)計弱可觀測狀態(tài)的快速估計算法。然后，重組狀態(tài)分離后的降維傳遞對準(zhǔn)模型，進行狀態(tài)量φa、φm濾波估計。

1.3.1 解析式MEMS陀螺零偏兩點估計法

解析式兩點估計法基于以下2個近似：

首先建立陀螺量測模型，零偏兩點估計算法主要涉及常值零偏的處理，因此建立如下量測模型：

(15)

由于IMU安裝中存在倒裝問題，在處理過程中實際安裝位置為：x軸指向彈體縱軸向后；y軸指向彈體縱軸向下；z軸指向彈體縱軸右側(cè)。數(shù)學(xué)描述中，彈體系的坐標(biāo)系為前上右(xbybzb)。因此，在數(shù)學(xué)解算時，要對實際IMU的x、y軸取反。即

(16)

而z軸保持不變，進而可得

(17)

零偏兩點估計算法具體描述為

(18)

(19)

(20)

(21)

代入已知條件可得

(22)

(23)

(24)

進而可得

(25)

式中：Te為誤差傳遞矩陣。

對于小角度誤差角，其誤差傳遞矩陣為

(26)

式中：φy為偏航方向誤差角；φr為滾轉(zhuǎn)方向誤差角；φp為俯仰方向誤差角。

由于忽略了掛點處靈巧彈藥的小角度安裝誤差影響，上述誤差角均由陀螺量測誤差引起，此時結(jié)合建立陀螺的量測模型，對(17)式左側(cè)常值零偏積分，得到：

(27)

由此進一步結(jié)合靈巧彈藥IMU的安裝方式，可得常值零偏估計值為

εx=-φr/(t1-t0),
εy=-φy/(t1-t0),
εz=φp/(t1-t0).

(28)

1.3.2 時間間隔Δt的選取

結(jié)合(6)式和捷聯(lián)慣性姿態(tài)解算原理可得

(29)

基于上述理論分析，再結(jié)合實際工程經(jīng)驗，可確定Δt的選取原則如下：

1)基于姿態(tài)誤差的周期性，時間間隔Δt選取不宜過長。

2)IMU數(shù)據(jù)中隱馬爾可夫模型/遞推最小二乘(HMM/RLS)隨機漂移處理算法的迭代需要時間，因此Δt不宜過短。同時系統(tǒng)選擇的IMU采樣率為400 Hz，1～3 s即可保證足夠的算法處理樣本點。

3)約束載機的平穩(wěn)飛行時間Δt為1～3 s，以期降低飛行員的操作復(fù)雜度。

綜合以上因素可知，Δt取值可以確定，且需要結(jié)合IMU器件特性作進一步工程化選取。

1.3.3 VBQ-KF算法

MEMS陀螺量測模型(6)式中的隨機漂移項υ可以通過HMM/RLS等處理方法得到有效處理[10-11]。HMM/RLS算法構(gòu)建了MEMS陀螺儀的HMM模型，同時分析傳統(tǒng)隱馬爾可夫模型/卡爾曼濾波(HMM/KF)算法的核心是利用KF算法求解濾波增益矩陣，因此采用RLS算法迭代求解濾波增益?？焖偈諗康臑V波器增益可以保證隨機漂移處理算法的實時性和降噪效果，但是該方法對傳遞對準(zhǔn)濾波算法的設(shè)計提出了新問題：即傳遞對準(zhǔn)濾波器狀態(tài)方程中系統(tǒng)狀態(tài)噪聲參數(shù)設(shè)置的不確定(由于狀態(tài)噪聲設(shè)計由IMU器件統(tǒng)計特性確定)，本文針對此問題，借鑒Sakka的量測噪聲變分貝葉斯- 卡爾曼濾波(VBR-KF)算法[12](VBR-KF算法能夠自適應(yīng)量測噪聲統(tǒng)計特性的變化)提出VBQ-KF改進算法，以達(dá)到對狀態(tài)噪聲的自適應(yīng)。該算法相比于基于新息或殘差的自適應(yīng)卡爾曼濾波(IAR-KF)算法省略了數(shù)據(jù)的存儲，降低了算法復(fù)雜度。

VBQ-KF算法步驟如下：

1)時間更新。

k|k-1=Fk,k-1k-1,
Pk|k-1=Fk,k-1Pk-1Fk|k-1+k-1,
αk|k-1=ραk-1,
βk|k-1=ρβk-1,

(30)

2)量測更新?？蛇M行多次迭代，考慮到計算復(fù)雜度，本文仿真均只進行一次迭代:

(31)

k=diag(βk/αk)，

(32)

式中：αk=[αk,1,αk,2,…,αk,d]；βk=[βk,1,βk,2,…,βk,d]；k為k時刻狀態(tài)噪聲方差矩陣的估計值；d為k的矩陣維數(shù)。

利用變分貝葉斯參數(shù)αk和βk求得k，從而實現(xiàn)對狀態(tài)噪聲統(tǒng)計特性變化的自適應(yīng)：

Kk=Pk|k-1HT(HPk|k-1+Rk)-1，

(33)

k=k|k-1+Kk(Zk-Hk|k-1)，

(34)

Pk=Pk|k-1-KkHPk|k-1，

(35)

βk=βk+(Zk-Hk)2/2+diag(HPkHT)/2，

(36)

式中：Kk為濾波增益；Zk為觀測矢量；Rk為觀測噪聲方差矩陣(已知)。

1.3.4 快速傳遞對準(zhǔn)算法

算法實現(xiàn)步驟如下：

1)利用本文快速零偏估計算法，在3 s時間段內(nèi)完成對大MEMS零偏的估計。

2)補償估計的MEMS陀螺零偏。

3)利用降維傳遞對準(zhǔn)算法，結(jié)合本文所提出的VBQ-KF算法實現(xiàn)狀態(tài)估計。具體狀態(tài)向量為[δVe,δVn,φx,φy,φz,φax,φay,φaz]T. 該方法通過對傳遞對準(zhǔn)濾波器進行降維處理，進一步降低算法復(fù)雜度。

4)通過φa、φm的時間窗方差特性收斂判據(jù)，判斷步驟3的結(jié)束并補償狀態(tài)估計值，完成傳遞對準(zhǔn)。

2 仿真及試驗驗證

2.1 算法仿真驗證

為驗證本文所提算法的有效性，首先按照數(shù)據(jù)發(fā)生器、主慣性導(dǎo)航系統(tǒng)數(shù)據(jù)模擬器、子慣性導(dǎo)航系統(tǒng)數(shù)據(jù)模擬器、快速傳遞對準(zhǔn)算法及評估模塊的仿真軟件架構(gòu)進行數(shù)學(xué)仿真。仿真設(shè)置條件如下：仿真時間2.5 s，步長2.5 ms，初始位置為緯度38.916 7°、經(jīng)度105.276 8°、高度7 279.82 m，初始姿態(tài)滾轉(zhuǎn)角0.5°、俯仰角0.5°、航向角-45°，對應(yīng)的初始姿態(tài)誤差為(0.6°，0.7°，2°)，姿態(tài)運動角速度為(0.025 rad/s，0.026 rad/s，0.027 rad/s)。

仿真中載機主慣性導(dǎo)航系統(tǒng)數(shù)據(jù)模擬器和靈巧彈藥子慣性導(dǎo)航系統(tǒng)數(shù)據(jù)模擬器的具體參數(shù)設(shè)置如下:載機主慣性導(dǎo)航系統(tǒng)陀螺零偏(0.01 °/h，0.01 °/h，0.01 °/h)和加速度計零偏(0.01×10-3g，0.01×10-3g，0.01×10-3g)；彈載MEMS慣性導(dǎo)航系統(tǒng)陀螺零偏(140 °/h，150 °/h，160 °/h)和加速度計零偏(0.1×10-3g，0.1×10-3g，0.1×10-3g)。其中，傳統(tǒng)算法采用靜態(tài)測量值求均值，載體的任何角運動最終都反映到零偏估計值中，誤差比較大；而解析式兩點估計法需要在t0和t1時刻提取載機的位置數(shù)據(jù)、姿態(tài)數(shù)據(jù)，進而剔除角運動影響、提高估計精度。具體數(shù)學(xué)仿真零偏估計結(jié)果如表1所示。

表1 數(shù)學(xué)仿真零偏估計結(jié)果

從表1可以看出，兩點估計法可快速估計出94%以上的零偏值，相比于傳統(tǒng)算法，估計精度大大提高。圖2表明了VBQ-KF相比于KF，能抑制IMU器件統(tǒng)計特性變化對傳遞對準(zhǔn)濾波器收斂性的影響。

2.2 快速傳遞對準(zhǔn)算法的靶場試驗數(shù)據(jù)分析

利用本文方法進行靶場試驗驗證，靶場試驗的MEMS IMU選用中國電子科技集團有限公司某研究所研制的國產(chǎn)高度集成MEMS IMU. 試驗中，實際MEMS IMU零偏真值為：-846.666 4 °/h、137.295 9 °/h、8.726 4 °/h. 靶場試驗零偏估計對比結(jié)果如表2所示。

表2 靶場試驗零偏估計對比

圖3～圖6為靶場試驗數(shù)據(jù)處理結(jié)果，同時結(jié)合表2可以看出：本文提出的兩點估計法能夠有效地處理陀螺漂移；對準(zhǔn)第1階段耗時2.5 s；安裝誤差角也得到快速估計，第2階段耗時5 s，5 s內(nèi)狀態(tài)變量估計值已穩(wěn)定收斂(見圖6)。靶場試驗過程中的彈體姿態(tài)角如圖4所示。由圖4可見，彈體姿態(tài)計算較為理想，滾轉(zhuǎn)通道基本實現(xiàn)了無滾轉(zhuǎn)，俯仰通道隨動，彈體緩慢低頭，偏航通道由于作了5°的離軸發(fā)射，最后也達(dá)到了實際效果。通過彈落點的位置也印證了上述過程分析的正確性。圖6所示結(jié)合載機掛架安裝誤差信息獲得的方位失準(zhǔn)角誤差曲線也驗證了濾波算法的收斂特性。

3 結(jié)論

經(jīng)仿真和靶場試驗試驗證明，本文提出的基于弱可觀測狀態(tài)分離估計的快速對準(zhǔn)算法，能夠有效節(jié)省傳遞對準(zhǔn)時間，滿足機載靈巧彈藥作戰(zhàn)應(yīng)用。其中解析式零偏兩點估計法，僅利用相隔Δt時間兩時刻的載機姿態(tài)和位置數(shù)據(jù)，能夠估計補償不少于88%的陀螺零偏；VBQ-KF方法能自適應(yīng)IMU器件特性變化，狀態(tài)估計的收斂精度和收斂時間均優(yōu)于傳統(tǒng)算法。

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