■福建省龍巖市永定區(qū)城關(guān)中學(xué) 童其林(特級(jí)教師)

三次函數(shù)是一類重要函數(shù),三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù),而二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容,并且三次函數(shù)可交匯函數(shù)、不等式、方程等眾多知識(shí)點(diǎn),所以三次函數(shù)已經(jīng)成為高考命題一個(gè)新的熱點(diǎn)和亮點(diǎn)。下面歸納整理三次函數(shù)的主要考點(diǎn),并剖析三次函數(shù)有關(guān)問題的基本思路,以饗讀者。

一、考查三次函數(shù)的單調(diào)性

如何定義三次函數(shù)?形如y=a x3+b x2+c x+d(a≠0)的函數(shù),稱為三次函數(shù)(從函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)上命名)。三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y'=3a x2+2b x+c(a≠0),把Δ=4b2-1 2a c叫作三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的判別式。

一般地,當(dāng)b2-3a c≤0時(shí),三次函數(shù)y=數(shù);當(dāng)時(shí),三次函數(shù)y=a x3+在R上有三個(gè)單調(diào)區(qū)間,根據(jù)a＞0,a＜0兩種情況進(jìn)行分類討論。

例1內(nèi)單調(diào)遞減,則a的取值范圍是 。

解析：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為上恒成立,求a的取值范圍。即g'(x)＜0在(-∞,0)上恒成立,所以a=0適合題意。

(2)當(dāng)a＞0時(shí),二次函數(shù)g'(x)開口向上,不可能有上恒成立,所以a＞0不合題意。

(3)當(dāng)a＜0時(shí),二次函數(shù)g'(x)開口向下,其對(duì)稱軸x=2(a-1)＞0,畫出草圖知,3a只需滿足

點(diǎn)評(píng):題目沒有說是三次函數(shù),所以要討論a=0的情形。

二、考查三次函數(shù)的極值

當(dāng)Δ＞0時(shí),三次函數(shù)y=f(x)在(-∞,+∞)上的極值點(diǎn)有兩個(gè)。

當(dāng)Δ≤0時(shí),三次函數(shù)y=f(x)在(-∞,+∞)上不存在極值點(diǎn)。

可以用表1說明三次函數(shù)單調(diào)性與極值點(diǎn)的關(guān)系。在R上是單調(diào)函

表1

其中是方程f'(x)=0的根,且。

例2 已知函數(shù)既有極大值又有極小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 。

又因?yàn)閒(x)既有極大值又有極小值,所以f'(x)=0必有兩個(gè)不等的解,Δ=4a2-4a-8＞0。

解得a＜-1或a＞2,所以a的取值范圍是(-∞,-1)∪(2,+∞)。

點(diǎn)評(píng):通過求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程來探究,充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化的解題思想與解題策略。

三、考查三次函數(shù)的最值問題

例3 函數(shù)f(x)=x3-3x+1在閉區(qū)間[-3,0]上的最大值、最小值分別是( )

A.1、-1 B.1、-1 7

C.3、-1 7 D.9、-1 9

解析：令f'(x)=0,則3x2-3=0,兩根為1和-1,但1?[-3,0],不計(jì)算。

計(jì)算端點(diǎn)和極大、極小點(diǎn)的值,得f(-3)

四、考查三次函數(shù)恒成立問題

例4 (2 0 0 8年江蘇高考數(shù)學(xué)試卷第1 4題)設(shè)函數(shù)若對(duì)于任意x∈[-1,1]都有f(x)≥0成立,則實(shí)數(shù)a的值為 。

分析：將f(x)≥0中的a,x分離,然后求函數(shù)的最值。

解：若函數(shù)f(x)=a x3-3x+1(x∈R)對(duì)于任意x∈[-1,1]都有f(x)≥0成立,則函數(shù)f(x)=a x3-3x+1對(duì)于任意x∈[-1,t≤2)單調(diào)遞增ymax=h(2)=4;當(dāng)t單調(diào)遞減,ymax=h(2)=4。由題意知①②③應(yīng)同時(shí)成立,故a=4。

五、考查三次方程根的問題

時(shí),不等式恒成立,故函數(shù)是單調(diào)遞增的,方程f(x)=0僅有一個(gè)實(shí)根。f(x)極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)在x軸同側(cè),圖像均與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),所以方程f(x)=0有且只有一個(gè)實(shí)根。②若,即函數(shù)y=f(x)極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)在x軸異側(cè),圖像與x軸必有三個(gè)交點(diǎn),所以方程f(x)=0有三個(gè)不等實(shí)根。

③若f(x1)·f(x2)=0,即f(x1)與f(x2)中有且只有一個(gè)值為0,所以方程f(x)=0有三個(gè)實(shí)根,其中兩個(gè)相等。

同理,也可討論三次函數(shù)當(dāng)a＜0時(shí)的情形。

例5(2 0 1 2年全國(guó)大綱卷理科第1 0題)已知函數(shù)y=x3-3x+c的圖像與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn),則c=( )。

A.-2或2 B.-9或3

C.-1或1 D.-3或1

當(dāng)y'＞0時(shí),x＜-1或x＞1;

當(dāng)y'＜0時(shí),-1＜x＜1。

所以函數(shù)的遞增區(qū)間為(-∞,-1)和(1,+∞),遞減區(qū)間為(-1,1)。

因此,x=-1時(shí),取得極大值;x=1時(shí),取得極小值。

要使函數(shù)圖像與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn),只需:f(-1)=0或f(1)=0,即(-1)+c=0或1-3+c=0,所以c=-2或c=2。

故答案為A。-3×

(責(zé)任編輯 徐利杰)

(上接第3 2頁(yè))

表2

(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率。現(xiàn)在從該地區(qū)電視觀眾中,采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X。若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求X的分布列,期望和方差。附:

解析：(1)由頻率分布直方圖可知,在抽取的1 0 0人中,“體育迷”有2 5人,從而2×2列聯(lián)表如下(表3):由2×2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算,得:

表3

因?yàn)?.0 3 0＜3.8 4 1,所以沒有理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)。

(2)由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.2 5,將頻率視為概率1,即從觀眾4

中抽取一名“體育迷”的概率為,由題意,x～,從而X的分布列為:

X 0 1 2 3 P 2 7 6 4 2 7 6 4 91 6 46 4

點(diǎn)評(píng):二項(xiàng)分布是一種常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布,利用二項(xiàng)分布可以快速地寫出隨機(jī)變量的分布列,從而簡(jiǎn)化了求隨機(jī)變量某一個(gè)具體概率值的過程。利用二項(xiàng)分布來解決實(shí)際問題的關(guān)鍵在于在實(shí)際問題中建立二項(xiàng)分布的模型,也就是看它是否是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),隨機(jī)變量是不這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù),滿足這兩點(diǎn)的隨機(jī)變量才服從二項(xiàng)分布,否則就不服從二項(xiàng)分布。