丁麗

【教學(xué)實(shí)錄】

一、直入課題，呈現(xiàn)調(diào)查

師：同學(xué)們好！在上這節(jié)課前我們完成了一個(gè)課前調(diào)查。52人中，有32人表示學(xué)過(guò)植樹(shù)問(wèn)題。是不是都學(xué)好了呢？后面還有兩個(gè)題，我們一起來(lái)看看答題情況（如圖1），你能看得懂這個(gè)結(jié)果嗎？

學(xué)生表述調(diào)查結(jié)果。

二、直面問(wèn)題，圖畫(huà)確認(rèn)

師：這道題的正確答案只有一個(gè)。是4、5還是其他答案呢？有沒(méi)有什么辦法，讓大家一眼就看出哪個(gè)答案對(duì)？

生1：請(qǐng)這幾個(gè)學(xué)生分別說(shuō)道理，再看誰(shuí)的對(duì)。

生2：我覺(jué)得說(shuō)道理不好，誰(shuí)的道理對(duì)還是要老師才能評(píng)判。我們可以畫(huà)個(gè)圖看看誰(shuí)的對(duì)。（其他同學(xué)覺(jué)得畫(huà)圖好）

師：為了保證做對(duì)，我也畫(huà)了圖。每隔3米種一棵，我就3米3米地畫(huà)：3米、6米、9米，夠長(zhǎng)了嗎？（生：不夠，還要加一段3米的）好的，接下來(lái)就該畫(huà)樹(shù)了。樹(shù)應(yīng)該種哪里？伸出你的手指，邊指邊數(shù)是幾棵樹(shù)。（學(xué)生數(shù)，課件動(dòng)態(tài)演示，如圖2）答案是多少？（生：5棵）能確認(rèn)嗎？（生：能）確實(shí)，圖一畫(huà)，結(jié)果一目了然！再回頭看答題情況：我們班52位同學(xué)只有10位做對(duì)了?？磥?lái)，學(xué)過(guò)不一定學(xué)好了！其實(shí)，丁老師之前還找了三個(gè)不同年級(jí)的孩子也做了這道題，發(fā)現(xiàn)學(xué)過(guò)植樹(shù)問(wèn)題的同學(xué)出錯(cuò)不少。我在想，做數(shù)學(xué)題，我們到底追求什么？

生3：要能做對(duì)就好！

師：那有沒(méi)有什么辦法可以保證做對(duì)？

生4：畫(huà)個(gè)圖，確認(rèn)一下。

師：那好，這節(jié)課，我們就約定：做題都請(qǐng)畫(huà)圖確認(rèn)一下，讓它想錯(cuò)都難，好不好？

三、學(xué)習(xí)畫(huà)圖，討論梳理

師：這樣的圖，你會(huì)畫(huà)嗎？畫(huà)的時(shí)候要注意什么？

生5：我覺(jué)得圖還可以簡(jiǎn)單點(diǎn)，直接畫(huà)線(xiàn)段，不要畫(huà)那么漂亮的樹(shù)。

生6：要看清楚條件，不能把條件畫(huà)錯(cuò)了。

師：感謝你們的寶貴建議。不過(guò)，植樹(shù)問(wèn)題很多時(shí)候都是不種樹(shù)的！接下來(lái)，請(qǐng)獨(dú)立解決這樣的題，別忘了，要保證對(duì)?。ǚ职l(fā)學(xué)習(xí)單，如下）

學(xué)生獨(dú)立完成，教師在巡視的過(guò)程中，鼓勵(lì)先完成的學(xué)生向同桌介紹確認(rèn)的過(guò)程。

師：絕大部分同學(xué)都獨(dú)立完成了2道題，并分享了自己的確認(rèn)過(guò)程。這是兩名同學(xué)的思考。請(qǐng)先看第一幅圖（如圖3），你覺(jué)得對(duì)不對(duì)？你是怎么確認(rèn)的？

生7：我覺(jué)得他畫(huà)對(duì)了，因?yàn)槲业暮退囊粯印?/p>

師：你們兩個(gè)畫(huà)法一樣，所以你認(rèn)為對(duì)。如果你和他的畫(huà)得不相同，他的就一定錯(cuò)了嗎？

生8：我覺(jué)得要看條件畫(huà)對(duì)了沒(méi)有。題目說(shuō)8米，我們就數(shù)一下是不是8米。每2米切一段，一開(kāi)始和最后都不要切，圖中的那個(gè)長(zhǎng)豎線(xiàn)就是切的地方，所以是3次。

師：你是善于分析的孩子！下面，我們帶著這種分析的思路一起確認(rèn)第二幅圖。（如圖4）你有什么問(wèn)題要問(wèn)作者的嗎？

生9：我不知道那個(gè)24除以6是什么意思。

生10：我是想看看24米里面有幾個(gè)6米，就把圓分成了4份。

生9：我現(xiàn)在懂了。不過(guò)你為什么還要畫(huà)圖？

生10：因?yàn)槲也恢?個(gè)6米是不是4盆花。

生9：我現(xiàn)在都懂了，沒(méi)問(wèn)題了。

師：誰(shuí)來(lái)確認(rèn)？

生11：我數(shù)了，是有4個(gè)6米，也就是24米。然后每2盆蘭花都隔了6米，2盆蘭花之間還都有1盆杜鵑，我認(rèn)為是對(duì)的。

生12：我覺(jué)得加個(gè)說(shuō)明就更好了。比如粗線(xiàn)是什么，細(xì)線(xiàn)是什么，也方便檢查。

師：都是善于觀察和思考的孩子！圖畫(huà)好了，答案也出來(lái)了，你們是否畫(huà)了圖？都對(duì)了嗎？（了解、調(diào)整個(gè)別學(xué)生的圖的問(wèn)題）看來(lái)，圖畫(huà)對(duì)的孩子都非常漂亮地解決了植樹(shù)問(wèn)題中很難的問(wèn)題。剛才巡查中，我發(fā)現(xiàn)有同學(xué)直接畫(huà)出結(jié)果，有同學(xué)先寫(xiě)出算法，再畫(huà)圖確認(rèn)，這兩種方式都值得表?yè)P(yáng)。用這種研究問(wèn)題的態(tài)度和方法去面對(duì)問(wèn)題，我們將屢戰(zhàn)屢勝！不信，請(qǐng)看?。ǔ鍪绢}目如下）

三、研究問(wèn)題，內(nèi)化提升

師：大家先獨(dú)立研究，有想法了請(qǐng)舉手示意。

學(xué)生獨(dú)立研究，教師巡視，請(qǐng)一名學(xué)生帶作品上臺(tái)展示（如圖5）。

師：大家看得懂嗎？你有什么問(wèn)題要問(wèn)他？

生13：請(qǐng)問(wèn)21是什么？

生14：我這里畫(huà)了21盞燈。（用手指向圖中的小豎線(xiàn)）

生13：2又是什么？

生14：我覺(jué)得畫(huà)2000米太麻煩，我就畫(huà)了1000米，1000米里面有21棵，所以2000米會(huì)有2個(gè)21棵，所以乘2。

生13：我聽(tīng)懂了，沒(méi)問(wèn)題了。

師（問(wèn)生13）：你覺(jué)得對(duì)嗎？

生13：她說(shuō)的很有道理，我覺(jué)得對(duì)。

師：有辦法能確認(rèn)嗎？

生13：那就要全部畫(huà)出來(lái)才行。

師：你若愿意花時(shí)間，全部畫(huà)出來(lái)也沒(méi)什么難的，只是細(xì)致點(diǎn)，別畫(huà)錯(cuò)、數(shù)錯(cuò)就好。既然生14說(shuō)她覺(jué)得麻煩所以才畫(huà)一半，那如果是這樣，我還畫(huà)少點(diǎn)豈不是更方便？（生：可以）你們說(shuō)畫(huà)多少？（生：畫(huà)200米）

生15上臺(tái)畫(huà)圖，如圖6。

師：我突然發(fā)現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題，如果2000米只畫(huà)1000米再乘2是對(duì)的，那么只畫(huà)200米再乘10也應(yīng)該對(duì)！大家看看，是一樣的結(jié)果嗎？

師：誰(shuí)能聽(tīng)懂？能不能舉例說(shuō)明這個(gè)說(shuō)法是否合理？

生20：他的意思是5比4多1，21比20多1，如果不看這么多段，也是這樣。比如只看3段，有4盞燈。

師：如果是這樣，那么這個(gè)題該是多少盞燈？生21：41盞，因?yàn)?000除以50還要加1。

師：正如大家所說(shuō)，這樣的方式證實(shí)了41是正確答案。剛才這道題，兩位同學(xué)都畫(huà)了圖，這個(gè)問(wèn)題的圖和之前的三幅圖一樣嗎？不一樣在哪里？這樣的研究方法妙在哪里？

生22：這里的圖不一樣，之前都是畫(huà)出多少就是多少，現(xiàn)在沒(méi)畫(huà)那么多，我們也知道是多少了。

師：你的意思是不是可以理解為———之前我們是直接畫(huà)出結(jié)果，這里的圖是幫助我們研究題目特點(diǎn)的？（生22：是的）有了這樣的研究之后，不論路有多長(zhǎng)，都可以解決了。圖還是要畫(huà)，我們可以通過(guò)畫(huà)圖研究問(wèn)題。我留了2道挑戰(zhàn)題，供你們課后研究，有信心解決嗎？（出示題目，如下）

四、總結(jié)分析，滲透解決問(wèn)題的策略

師：時(shí)光匆匆，這節(jié)課即將結(jié)束，你能否對(duì)自己或即將學(xué)習(xí)這個(gè)內(nèi)容的同學(xué)說(shuō)點(diǎn)什么？

生23：做題要細(xì)心點(diǎn)，有想法了還不能忘了要確認(rèn)。

生24：畫(huà)圖解決問(wèn)題是個(gè)好辦法。

生25：不要背那么多公式也是可以解決問(wèn)題的。

師：同學(xué)們總結(jié)得很好。今天，我們從一個(gè)前測(cè)題的分析開(kāi)始對(duì)植樹(shù)問(wèn)題這一類(lèi)題進(jìn)行了研究，找到了保證做對(duì)的重要手段———畫(huà)圖。掌握了畫(huà)圖的方法，一定能幫你們解決更多的問(wèn)題！

【研磨思考】

2008年，我執(zhí)教的“植樹(shù)問(wèn)題”獲得長(zhǎng)沙市小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)競(jìng)賽一等獎(jiǎng)。為了上好這節(jié)課，我們當(dāng)時(shí)在3所學(xué)校選取了三、四、五年級(jí)各兩個(gè)班學(xué)生進(jìn)行了學(xué)情調(diào)查，前測(cè)題第一題為：將12米的路，每3米分一段，可以分成幾段？學(xué)生的答案讓我驚訝：明明就是一個(gè)求12里面有幾個(gè)3的問(wèn)題，不少學(xué)生用12除以3的結(jié)果4加1或者減1。通過(guò)進(jìn)一步訪談發(fā)現(xiàn)，這些加1或減1的學(xué)生都提前在課外學(xué)過(guò)植樹(shù)問(wèn)題。當(dāng)問(wèn)及為何要加1、減1時(shí)，學(xué)生的回答再次讓我驚訝：以前學(xué)植樹(shù)問(wèn)題時(shí)有3個(gè)公式，這道題里沒(méi)說(shuō)是哪種種法，不知道該怎么辦，所以選擇加1或減1。調(diào)查到這里，我明白了，這些學(xué)生都是按3種種樹(shù)情況學(xué)了公式的，并且看到“路”“段”就開(kāi)始模式辨認(rèn)，套用公式解決問(wèn)題。這顯然不應(yīng)該是一個(gè)有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生應(yīng)該具備的解題方式，也不應(yīng)該讓學(xué)生用生搬硬套地方式來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。于是，在當(dāng)年的教學(xué)實(shí)踐中，我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究，理解植樹(shù)問(wèn)題中棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系并探尋出三種算法后，將黑板上的三種算法一擦，提出問(wèn)題：“數(shù)學(xué)公式這么多，要記牢還挺不容易。若是真忘了，你有辦法把它找回來(lái)嗎？”此問(wèn)以期引導(dǎo)學(xué)生用畫(huà)圖、驗(yàn)證、找事實(shí)、尋求規(guī)律等方法面對(duì)一個(gè)問(wèn)題、研究一個(gè)問(wèn)題，而不是簡(jiǎn)單識(shí)別所謂的模式再套用。如果用套模式這樣的方式學(xué)習(xí)，得到的結(jié)果不僅易錯(cuò)（題目變化萬(wàn)千，稍有調(diào)整學(xué)生便會(huì)束手無(wú)策），也會(huì)讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生誤解———多背公式就能學(xué)好數(shù)學(xué)。

時(shí)隔10年，直面生之困，再向“植樹(shù)”行。此次的設(shè)計(jì)有了更樸素的做法———從一題到一類(lèi)，再到一法，全課只字不提算法，更不用說(shuō)進(jìn)行分類(lèi)討論、逐一辨識(shí)。此次的設(shè)計(jì)是希望能進(jìn)一步破而后立，真正解決學(xué)生學(xué)習(xí)中的問(wèn)題。我在備課研磨中，學(xué)習(xí)了很多老師對(duì)這一內(nèi)容的解讀，以及教學(xué)處理方式，發(fā)現(xiàn)他們基本上都是分三類(lèi)情況討論，大多都總結(jié)了算法。那么，隨之而來(lái)我要思考并理順以下的問(wèn)題。

1.植樹(shù)問(wèn)題的教學(xué)中存在什么問(wèn)題？

從這十年間聽(tīng)過(guò)、磨過(guò)的植樹(shù)問(wèn)題教學(xué)來(lái)看，學(xué)生學(xué)得并不好，至少不如我們所期待的好。多次調(diào)研數(shù)據(jù)顯示，學(xué)生參與課外學(xué)習(xí)的人數(shù)與日俱增，而學(xué)習(xí)的方法更多的是先學(xué)習(xí)公式再辨認(rèn)模式，學(xué)習(xí)的結(jié)果就變成了“一看以為會(huì)，一做竟然錯(cuò)”，讓學(xué)生大呼難學(xué)，教師大呼難教。教材分別呈現(xiàn)了“兩端都種”（教材例題上寫(xiě)明了這個(gè)要求）、“兩端不能種”和封閉圖形上的種樹(shù)三道例題，于是一般的處理方式就變成了要么一節(jié)課突破一種算法，最后再比較異同，區(qū)別計(jì)算；要么一節(jié)課教三種算法，再模式辨認(rèn)，而后是變式練習(xí)。這兩種教法都直指快速得到答案。對(duì)于給定一種算法，再直接套用自然比通過(guò)研究得到答案來(lái)得快，但這不應(yīng)成為教學(xué)的追求。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)講究通法為先———越是簡(jiǎn)單、樸素、適用性廣的方法，越容易被理解、應(yīng)用和學(xué)習(xí)。畫(huà)圖顯然滿(mǎn)足這一特點(diǎn)。那么畫(huà)什么、怎么知道畫(huà)對(duì)了就成為用這一方法解決問(wèn)題的關(guān)鍵。一旦引起學(xué)生的關(guān)注，他們要掌握并不難。在我看來(lái)，教材只是提供了教學(xué)的素材，處理教材的原則就在于處理好“這是什么“”為什么教”和“教什么”三者的關(guān)系。植樹(shù)問(wèn)題大可不必分情況討論，沒(méi)有“兩端都種”，如果覺(jué)得表述不清楚，“從第一棵到最后一棵間隔多少米”就是一種非常明確的表達(dá)方式。至于突然出現(xiàn)了一座房子一端不能種樹(shù)了、出現(xiàn)2座房子或者別的障礙物所以?xún)啥硕疾荒芊N了，不用區(qū)別對(duì)待，把不種的那幾棵拿走就行了，總不至于中間還有幾棵也不種了所以還要另起爐灶重新研究算法。學(xué)生學(xué)起來(lái)難，教師教起來(lái)效果不好，恰好說(shuō)明教師把內(nèi)容“咬得太碎”教給孩子，失去了原本應(yīng)有的營(yíng)養(yǎng)，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)起來(lái)索然無(wú)味，如同嚼蠟。

2.學(xué)完植樹(shù)問(wèn)題后，學(xué)生應(yīng)當(dāng)收獲什么？

作為數(shù)學(xué)廣角的學(xué)習(xí)材料，不同于基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，它更多地是在積累經(jīng)驗(yàn)、習(xí)得方法和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過(guò)程中形成解決問(wèn)題的能力。這種能力是數(shù)學(xué)教學(xué)必須著重培養(yǎng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一。那么，學(xué)生學(xué)完植樹(shù)問(wèn)題后，敢于面對(duì)一個(gè)問(wèn)題、會(huì)研究一個(gè)問(wèn)題及能對(duì)一個(gè)問(wèn)題的結(jié)果負(fù)責(zé)就是我對(duì)這節(jié)課的學(xué)習(xí)價(jià)值定位。這三個(gè)方面對(duì)應(yīng)的分別是信心、方法和態(tài)度。用什么樹(shù)立信心？大量的正確解答的體驗(yàn)讓學(xué)生感受到哪怕是不一樣的題，也是可以被解決的。用什么來(lái)保障這種信心的確立？通過(guò)畫(huà)圖與分析的手段，能正確解答植樹(shù)問(wèn)題———想直接畫(huà)的，可以把結(jié)果畫(huà)出來(lái)，愿意只畫(huà)一部分圖的，可以為自己尋求解答方法提供依據(jù)。得到了一個(gè)結(jié)果怎么辦？用畫(huà)圖、舉例的方法確認(rèn)自己的答案，而非只是認(rèn)為自己的答案不會(huì)錯(cuò)，從而讓驗(yàn)證所得到的解與教材上的回顧與反思不至于形同虛設(shè)。這樣的目標(biāo)落地之后，培養(yǎng)學(xué)生借助圖形解決問(wèn)題的意識(shí)和針對(duì)不同問(wèn)題的特點(diǎn)靈活解決問(wèn)題的能力，以及積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，樹(shù)立能解決好數(shù)學(xué)問(wèn)題的信心等就不再是鏡中花，只可觀而不可及了。

（作者單位：長(zhǎng)沙市中小學(xué)教師發(fā)展中心）