摘要：本節(jié)課研究的問題是：確定直線位置的兩個(gè)幾何要素（兩點(diǎn)、點(diǎn)與方向），通過建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)可以用坐標(biāo)來表示，如何用一個(gè)代數(shù)的量來刻畫直線的傾斜程度？本節(jié)課是平面解析幾何的入門課，教學(xué)順序先從代數(shù)的角度（斜率）刻畫直線的傾斜程度，用意是突出用代數(shù)方法研究幾何問題的思想.

關(guān)鍵詞：直線；傾斜程度；斜率；數(shù)形結(jié)合；平面解析幾何

2016年6月筆者與另一老師同課異構(gòu)《直線的斜率》（第一課時(shí)），之前通過多次打磨，但真正上過后還是留有遺憾。2017年5月，當(dāng)筆者有幸再次聽到此節(jié)課時(shí)，不禁感慨：一年春光去，且將櫻筍餞春歸，人生無可奈何之事實(shí)太多，就如李后主《相見歡》中所言：“林花謝了春紅，太匆匆。無奈朝來寒雨晚來風(fēng)，自是人生長恨水長東?！惫P者感嘆時(shí)間過得太快，感嘆當(dāng)時(shí)沒有及時(shí)整理“留有的遺憾”，所以筆者決定重溫此課，記錄幾點(diǎn)想法和反思。

本篇所用教材為《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（必修二）》（蘇教版），“2.1直線與方程”是解析幾何的開篇之作，而“2.1.1直線的斜率”又是這一章的第一節(jié)，內(nèi)容基礎(chǔ)，方法重要，為后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，起到啟下的作用。教材中用增量刻畫直線斜率，將微積分思想融入其中。正所謂章節(jié)起始課要能引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注到整章知識框架，起到“一葉知秋”的效果。而作為解析幾何的起始課，應(yīng)向?qū)W生交代解析幾何的相關(guān)背景，樹立解析幾何的基本觀點(diǎn)，了解解析幾何的基本方法，使學(xué)生能逐步邁入這一新的章節(jié)。

曾聽一特級教師說過：作為學(xué)習(xí)活動的組織者，我們應(yīng)把關(guān)注焦點(diǎn)放在每位學(xué)生的認(rèn)知活動與情感體驗(yàn)上，要有效組織學(xué)生的學(xué)習(xí)活動，而不是把正確傳遞或展示知識作為自己的首要。所以教學(xué)設(shè)計(jì)要以學(xué)生發(fā)展為主，以指導(dǎo)學(xué)習(xí)，回答疑問為主。所以一節(jié)課應(yīng)該呈現(xiàn)的模式是“學(xué)生主導(dǎo)課堂，問題驅(qū)動教學(xué)”。

一、 問題驅(qū)動教學(xué)

我們知道概念課教學(xué)要“慢”，而本節(jié)課的概念生成尤其要“慢”。

課堂再現(xiàn)：問題1：怎樣確定一條直線？

問題2：若直線過一個(gè)定點(diǎn)，要確定直線還要增加什么條件？

問題3：上圖中，過同一點(diǎn)A但方向不同的兩條直線AB，AC相對于水平線AX直觀上有何差異？（我們這節(jié)課要解決的核心問題就是如何用量去刻畫直線的傾斜程度？）

問題4：生活中有涉及傾斜程度的例子嗎？請你舉出一些。

問題5：根據(jù)上述的討論，你打算怎樣刻畫由A，B兩點(diǎn)確定的直線的傾斜程度呢？

思考1直線與x軸的相對位置只有這一種情況嗎？

預(yù)設(shè)：

思考2若交換A，B兩點(diǎn)的次序，會改變這個(gè)比值的大小嗎？為什么？

思考3如果改變A，B兩點(diǎn)的位置，會改變這個(gè)比值的大小嗎？為什么？

教師設(shè)置了五個(gè)問題以及三個(gè)思考，問題1-4通過讓學(xué)生對形和生活中實(shí)例的分析來明確確定直線位置的幾何要素還可以是一點(diǎn)和方向。問題5的設(shè)置引導(dǎo)學(xué)生觀察研究發(fā)現(xiàn)用一個(gè)比值來刻畫直線的傾斜程度。這里的y2-y1，x2-x1可以分別看成是從A點(diǎn)到B點(diǎn)縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)通過類比，知道可以用“坡度”來刻畫直線的傾斜程度。思考1-3通過讓學(xué)生對直線與x軸的相對位置關(guān)系的分類討論，感知y2-y1x2-x1可以刻畫與x軸不垂直的直線的傾斜程度。明確知道這一比值是個(gè)定值，從而建立直線斜率的概念。利用類比的方法得出直線的傾斜程度可以用一個(gè)代數(shù)式y(tǒng)2-y1x2-x1來刻畫。從而達(dá)成教學(xué)目標(biāo)（教師從情境引入到概念得出一共花了35分鐘左右，這足夠體現(xiàn)概念生成的“慢”）。

二、 學(xué)生主導(dǎo)課堂及跟進(jìn)措施

根據(jù)《直線的斜率》這節(jié)課上課流程以及學(xué)生上課的反應(yīng)，課堂再現(xiàn)如下：

目標(biāo)1：通過過一點(diǎn)作直線，探索確定直線位置關(guān)系的幾何要素；

該目標(biāo)的意圖是實(shí)現(xiàn)課標(biāo)中“探索確定直線位置的幾何要素”；為了達(dá)到該目標(biāo)設(shè)計(jì)了問題2，學(xué)生能迅速找出“再需要一個(gè)點(diǎn)”這個(gè)條件，但在找表示傾斜程度這個(gè)條件時(shí)產(chǎn)生了困難，有部分學(xué)生想到“再找一個(gè)角”。從課堂反應(yīng)來看達(dá)到預(yù)設(shè)目標(biāo)，順利地過渡到下面的“探究數(shù)表示形”。

可以改善的地方：可以將問題改為“通過過一點(diǎn)作直線，如何區(qū)分這些直線”，這樣可能讓學(xué)生在解決這個(gè)問題時(shí)更有方向性。

目標(biāo)2：通過類比刻畫點(diǎn)，初步感悟從數(shù)的角度刻畫幾何要素的數(shù)學(xué)思想；

該目標(biāo)的意圖是實(shí)現(xiàn)課標(biāo)中“經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程”；為了達(dá)到該目標(biāo)設(shè)計(jì)了一個(gè)問題：點(diǎn)可以用坐標(biāo)刻畫，那么“傾斜程度”用什么刻畫？你能用一個(gè)數(shù)來刻畫直線的傾斜程度嗎？。本階段提問了一個(gè)學(xué)生，該學(xué)生在老師的引導(dǎo)下，能立刻想到建立直角坐標(biāo)系，嘗試用解析的思想解決該問題。從課堂反應(yīng)來看達(dá)到預(yù)設(shè)目標(biāo)，學(xué)生在這里會遇到思維受阻的情況，在老師的預(yù)料之中，從而為引入問題5做準(zhǔn)備。可以改善的地方：可以適當(dāng)?shù)卦俳o學(xué)生一點(diǎn)時(shí)間。

目標(biāo)3：通過探究與活動，經(jīng)歷并體會類比坡度，經(jīng)歷用代數(shù)的方法刻畫直線傾斜程度的過程；

該目標(biāo)的意圖是實(shí)現(xiàn)課標(biāo)中“經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程”；為了達(dá)到該目標(biāo)設(shè)計(jì)了問題5：“你打算如何刻畫直線的傾斜程度？”本階段學(xué)生提出找兩個(gè)點(diǎn)，然后表示這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再轉(zhuǎn)化成長度，求出該角的正切。學(xué)生在證明“在直線上任取兩點(diǎn)，

y2-y1x2-x1的值不變”有一點(diǎn)困難。從課堂反應(yīng)來看達(dá)到預(yù)設(shè)目標(biāo)，學(xué)生類比坡度表示斜率比較順暢?？梢愿纳频牡胤剑阂胄〗M討論的方式比較好，通過同學(xué)之間的互相協(xié)助“比”學(xué)生個(gè)體思考效果要好。

目標(biāo)4：通過自主探究，深化對直線斜率的認(rèn)識；

該目標(biāo)的意圖是實(shí)現(xiàn)課標(biāo)中“理解直線斜率的概念”；為了達(dá)到該目標(biāo)設(shè)計(jì)了一個(gè)問題：你對直線的斜率有什么認(rèn)識？

（1）斜率是什么？是一個(gè)數(shù)，是用數(shù)來刻畫直線的傾斜程度？

（2）是否所有直線都存在斜率？

（3）如果傾斜程度的角是鈍角，用比值來表示斜率，并不矛盾，是一個(gè)負(fù)值，傾斜程度是從左往右不斷下降？

本階段教師提問了好幾位同學(xué)，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)x2≠x1，且當(dāng)x2=x1時(shí)，直線是垂直于x軸的；當(dāng)y2-y1x2-x1取正數(shù)和負(fù)數(shù)時(shí)表示的是不同形狀的直線。學(xué)生已經(jīng)初步感受到“數(shù)表示形，數(shù)的幾何背景”?？梢愿纳频牡胤剑航處熢谶@里應(yīng)該加強(qiáng)板書，且規(guī)范板書，讓學(xué)生明白本節(jié)課的重點(diǎn)、難點(diǎn)。

目標(biāo)5：通過計(jì)算和畫圖，掌握直線斜率的計(jì)算公式，體驗(yàn)直線的斜率與傾斜程度之間的關(guān)系；

該目標(biāo)的意圖是實(shí)現(xiàn)課標(biāo)中“掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式”；為了達(dá)到該目標(biāo)設(shè)計(jì)了例1：根據(jù)圖像，你有什么發(fā)現(xiàn)？本階段教師安排了一個(gè)學(xué)生畫圖，另一個(gè)學(xué)生計(jì)算。一個(gè)有意思的現(xiàn)象：其中一個(gè)學(xué)生計(jì)算出錯(cuò)后，看到另一個(gè)同學(xué)畫的圖，發(fā)現(xiàn)自己錯(cuò)了，然后立刻改正了自己的錯(cuò)誤。

從課堂反應(yīng)來看達(dá)到預(yù)設(shè)目標(biāo)，學(xué)生能結(jié)合數(shù)感受圖像的情況，初步建立了數(shù)和形之間的某種對應(yīng)關(guān)系。學(xué)生之所以有這種想法，與教師前面的引導(dǎo)是分不開的，正是教師在前面要求學(xué)生思考問題5，認(rèn)識到不同的數(shù)刻畫了不同的形。這是本節(jié)課中一大閃光點(diǎn)?？梢愿纳频牡胤剑嚎梢宰穯枌W(xué)生，你怎么想到改正自己的錯(cuò)誤的，借學(xué)生之口，說出數(shù)形之間的聯(lián)系，可能會更深刻。

目標(biāo)6：通過計(jì)算和畫圖，能由直線的斜率和直線上一點(diǎn)確定直線上的其他點(diǎn)，畫出直線；

該目標(biāo)的意圖是實(shí)現(xiàn)課標(biāo)中“掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式”；為了達(dá)到該目標(biāo)設(shè)計(jì)了例2。本階段由兩位學(xué)生上黑板畫圖，學(xué)生能迅速找到另一點(diǎn)畫出圖像。可以改善的地方：可追問學(xué)生為什么找這個(gè)點(diǎn)？找其他的點(diǎn)可以不可以？怎樣更迅速地找到這個(gè)點(diǎn)，以加深對斜率公式的理解。

在整個(gè)教學(xué)過程中，學(xué)生的主導(dǎo)地位發(fā)揮到極致，教師用問題做引導(dǎo)，學(xué)生自發(fā)參與課堂互動，啟發(fā)學(xué)生不斷思考，質(zhì)疑，由坡度類比刻畫直線的傾斜程度，再質(zhì)疑如何刻畫？從而引出直角坐標(biāo)系，讓學(xué)生親身體會數(shù)形結(jié)合的必要性。最后引導(dǎo)學(xué)生去進(jìn)行思考1，2，3，這是本節(jié)課學(xué)生參與度最高的一個(gè)環(huán)節(jié)，此處安排小組討論，每組代表發(fā)言，大膽放手讓學(xué)生們自己說，教師此時(shí)的作用是結(jié)論的規(guī)范化引導(dǎo)與歸納。正如一智者說過：數(shù)學(xué)概念課上，要花時(shí)間培養(yǎng)學(xué)生的基本能力，可以多問一些問題，存疑可以讓學(xué)生更愿意繼續(xù)學(xué)下去。

三、 課后反思

（1）在平面解析幾何中，教學(xué)要體現(xiàn)其“方法論”的特征，即用代數(shù)的方法研究幾何問題，例如直線的斜率是一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)的符號在圖形中，反映的是這條直線的從左往右的變化趨勢，數(shù)的大小也反映了直線的陡峭程度。

（2）本節(jié)課的教學(xué)流程應(yīng)體現(xiàn)本章的分析問題的一般方法

教學(xué)流程為：

學(xué)生經(jīng)歷從形的角度和數(shù)的角度對位置關(guān)系進(jìn)行研究，課本在強(qiáng)調(diào)運(yùn)用解析幾何的方法研究它們一般思路的同時(shí)，也強(qiáng)調(diào)了兩種角度的結(jié)合，讓學(xué)生在這樣的過程中，不斷地體會分類討論和“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。

參考文獻(xiàn)：

[1]周義倉.數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)[M].西安：西安交通大學(xué)出版社，1997.

[2]丁益明.引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思整理的實(shí)踐與思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2016（8）.

作者簡介：李亞瓊，江蘇省南京市，南京藝術(shù)學(xué)院附屬中等藝術(shù)學(xué)校。