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        一類三階非線性系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)構(gòu)造及穩(wěn)定性

        2018-06-29 09:12:06張永華
        安康學(xué)院學(xué)報(bào) 2018年3期
        關(guān)鍵詞:系統(tǒng)

        張永華

        (安康職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部,陜西 安康 725000)

        非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析是近代數(shù)學(xué)研究的一個(gè)新課題,能否構(gòu)造出一個(gè)合適的Lyapunov函數(shù),是分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)鍵。本文利用Wall的能量度量算法構(gòu)造一類非線性系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù),并得到零解的穩(wěn)定性[1]。

        1 Wall的能量度量算法

        原新生等人用Wall的能量度量算法構(gòu)造了一類三階非線性系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)。Wall的能量度量算法簡(jiǎn)單概括為如下六個(gè)步驟[2]:

        第一步,將所描述的系統(tǒng)改寫成一階聯(lián)立的微分方程組

        第二步,將改寫的微分方程組寫成如下形式

        第三步,將式(1-2)寫成如下形式

        第四步,進(jìn)行適當(dāng)?shù)拇鷵Q和加法運(yùn)算,將式(1-3)的微分方程組化為

        第五步,構(gòu)造函數(shù)

        第六步,求出式(1-5)的全導(dǎo)數(shù)

        由所求出的V(x)函數(shù)類型和(x)符號(hào),再根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理,則可以得出系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性。Wall的能量度量算法用來構(gòu)造Lyapunov函數(shù)具有一定的適應(yīng)性,但有時(shí)常常采用倒推的Wall的能量度量算法,具有很好的效果。

        2 應(yīng)用舉例

        例1 用Wall的能量度量算法討論三階非線性系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性[2]。

        解 將其化為如下等階形式

        將式(2-1)變成如下形式

        對(duì)式(2-2)進(jìn)行適當(dāng)變形得

        將式(2-3)中的式(1)×a 代入到式(3)+ 式(2)得

        按照Wall的能量度量算法構(gòu)造函數(shù)

        其中,

        對(duì)式(2-5)求全導(dǎo)數(shù)得

        因此可得出下列結(jié)論:

        事實(shí)上,在定理?xiàng)l件下,只要證明V(x,y,)是正定函數(shù),顯然只要證明函數(shù)是正定的且具有無窮大性質(zhì)即可。

        證 顯見,當(dāng)y=0時(shí),H(x,0)=F(x)具有此性質(zhì);當(dāng)y≠0時(shí),

        因?yàn)?/p>

        所以函數(shù)是正定的且具有無窮大的性質(zhì),從而定理得征。

        例2 用Wall的能量度量算法討論下列三階非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性[3]。

        解 將系統(tǒng)(2-7)化為如下等階形式

        將式(2-8)變形為

        將式(2-9)進(jìn)行適當(dāng)變形得

        將式(2-10)中的式(1)代入式(3)+ 式(2)得

        按照Wall的能量度量算法構(gòu)造函數(shù)

        對(duì)式(2-11)求全導(dǎo)數(shù)得

        由于V(x,y,z)≥0是正定的,式(2-12)是負(fù)定的,因此系統(tǒng)(2-7)的零解是漸進(jìn)穩(wěn)定的,同時(shí)也是穩(wěn)定的。

        由例1、例2可看出,這兩個(gè)非線性系統(tǒng)并不需要用“類比法”構(gòu)造Lyapunov函數(shù)[4],用Wall的能量度量算法構(gòu)造的Lyapunov函數(shù)對(duì)得出系統(tǒng)穩(wěn)定性更具有說明性。

        [1]原新生,張懷濤.一類三階非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)構(gòu)造[J].安陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào),2011,13(5):53-55.

        [2]王聯(lián),王慕秋.一類三階非線性系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)構(gòu)造之分析[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1983,7(3):309-323.

        [3]張永華.非線性系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)構(gòu)造及穩(wěn)定性[D].西安:西安建筑科技大學(xué),2009.

        [4]王聯(lián),王暮秋.論李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展,1984,13 (2):81-102.

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