張 剛, 郝怡曼, 張?zhí)祢U

(重慶郵電大學(xué)信號(hào)與信息處理重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 重慶 400065)

0 引 言

由于混沌[1-4]信號(hào)特殊的性質(zhì),使其成為了無(wú)線通信領(lǐng)域眾多研究機(jī)構(gòu)的研究對(duì)象。在過(guò)去的幾十年里,眾多學(xué)者提出了各種混沌通信系統(tǒng)的相干和非相干算法。相干檢測(cè)由于需要同步混沌載波,使其應(yīng)用受限?；谙喔蓹z測(cè)的缺點(diǎn),使差分混沌鍵控(differential chaos shift keying, DCSK)[5-6]在混沌通信系統(tǒng)發(fā)展過(guò)程中成為最值得考慮的方案。究其原因是DCSK系統(tǒng)在不需要混沌載波同步和信道狀態(tài)估計(jì)的情況下依然可以在接收端恢復(fù)出傳輸?shù)男畔?。此?DCSK有著更好的抗多徑衰落的能力,更適合超寬帶傳輸。然而,傳統(tǒng)的DCSK系統(tǒng)傳輸效率低下,安全性低等問(wèn)題限制了它的應(yīng)用。由于DCSK系統(tǒng)存在限制其應(yīng)用的缺點(diǎn),眾多學(xué)者也針對(duì)其進(jìn)行了各種改進(jìn)。文獻(xiàn)[7]提出了多階相關(guān)延遲鍵控(correlation multi delay shift keying, CMDSK)系統(tǒng),該系統(tǒng)將傳統(tǒng)的加法器改為減法器,并將參考信號(hào)與延遲不同時(shí)間的數(shù)據(jù)信號(hào)做減法運(yùn)算,從而提高數(shù)據(jù)傳輸速率。文獻(xiàn)[8]通過(guò)引入Hilbert變換使得數(shù)據(jù)信號(hào)與參考信號(hào)之間達(dá)到完全正交,從而可以連續(xù)傳輸2 bit信息,該方式是以犧牲調(diào)制復(fù)雜度為代價(jià)來(lái)?yè)Q取提高傳輸速率的。文獻(xiàn)[9]中的兩個(gè)正交信號(hào)是通過(guò)時(shí)間反轉(zhuǎn)操作得到的,傳輸速率并沒(méi)有得到提高,但降低了誤碼率(bit error rate, BER)。此外,為提高DCSK傳輸速率提出了文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[11]。文獻(xiàn)[12]引入多載波技術(shù)從而提高了DCSK系統(tǒng)的安全性,文獻(xiàn)[13]在文獻(xiàn)[12]的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn),從而提出了一種新型的多載波差分混沌鍵控(multi-carrier DCSK,MC-DCSK)系統(tǒng),在該系統(tǒng)中摒棄了常用的RF延時(shí)線,在頻譜利用率方面得到了提高同時(shí)降低了能耗。文獻(xiàn)[14]提出了通過(guò)Walsh碼來(lái)區(qū)分參考時(shí)隙和數(shù)據(jù)時(shí)隙的碼移位差分混沌鍵控(code-shifted DCSK,CS-DCSK)系統(tǒng)。文獻(xiàn)[15]提出了改進(jìn)型的CS-DCSK系統(tǒng),采用共用參考時(shí)隙的方式將Nbit信息傳輸在同一幀內(nèi),這種方式提高了傳輸效率。文獻(xiàn)[16]提出了高效差分混沌鍵控(high-efficiency DCSK,HE-DCSK)系統(tǒng),在該系統(tǒng)里通過(guò)交叉參考的方式傳輸2 bit信息,通過(guò)前一幀的參考時(shí)隙來(lái)解調(diào),提高了參考時(shí)隙的利用率。文獻(xiàn)[17]提出了參考調(diào)制差分混沌鍵控(reference modulated DCSK,RM-DCSK)系統(tǒng)是將相鄰的時(shí)隙相互作為各自的參考信號(hào),從而使得傳輸效率得到提高。

為了進(jìn)一步提高數(shù)據(jù)傳輸速率,本文提出了一種高速降噪的差分混沌鍵控系統(tǒng)(high rate noise reduction differential chaos shift keying, HRNR-DCSK)。在該系統(tǒng)中,一幀中的所有數(shù)據(jù)信號(hào)共用一個(gè)參考信號(hào),同時(shí)參考時(shí)隙的長(zhǎng)度會(huì)隨著一幀中傳輸數(shù)據(jù)比特的增加而降低。在接收端采用移動(dòng)平均濾波器,使其通過(guò)降低噪聲方差的方式提高系統(tǒng)的性能。

1 基于混沌的非相干通信系統(tǒng)

1.1 DCSK通信系統(tǒng)

在DCSK系統(tǒng)的調(diào)制中,第1個(gè)時(shí)隙傳輸一段混沌序

列作為參考時(shí)隙,第2個(gè)時(shí)隙傳輸被調(diào)制了數(shù)據(jù)的混沌序列作為數(shù)據(jù)時(shí)隙。若傳送的是+1,則參考序列就等于數(shù)據(jù)序列;若傳送的是-1,則將反向的參考序列作為數(shù)據(jù)序列進(jìn)行傳送。DCSK系統(tǒng)的擴(kuò)頻因子定義了用來(lái)傳輸比特的混沌樣本的數(shù)量,即為2β(β為整數(shù))。此外,DCSK系統(tǒng)的比特周期為:TDCSK=2Tb=2βTc(Tc為碼片時(shí)間)。在DCSK系統(tǒng)調(diào)制器的輸出端,第i個(gè)比特間隔的信號(hào)可以表示為

(1)

式中,xi,k是作為參考時(shí)隙的混沌序列；xi,k-β是xi的延遲信號(hào)。

為了解調(diào)傳輸?shù)男畔?將接收到的信號(hào)與其延遲信號(hào)進(jìn)行時(shí)間長(zhǎng)度為T(mén)b(Tb=βTc)的相關(guān)求和運(yùn)算,接收端對(duì)其計(jì)算后的結(jié)果進(jìn)行判決。DCSK系統(tǒng)在信道中傳輸時(shí)參考時(shí)隙和數(shù)據(jù)時(shí)隙都會(huì)受到噪聲的影響,同時(shí)受到噪聲破壞的參考信號(hào)和數(shù)據(jù)信號(hào)在接收端進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算致使DCSK系統(tǒng)的性能惡化。這樣將會(huì)導(dǎo)致DCSK系統(tǒng)在未來(lái)的超寬帶通信應(yīng)用中受限。DCSK系統(tǒng)發(fā)射機(jī)和接收機(jī)結(jié)構(gòu)分別如圖1、圖2所示。

圖1 DCSK系統(tǒng)發(fā)射機(jī)結(jié)構(gòu)Fig.1 DCSK transmitter

圖2 DCSK系統(tǒng)接收機(jī)結(jié)構(gòu)
Fig.2 DCSK receiver

1.2 HRNR -DCSK通信系統(tǒng)

傳統(tǒng)的DCSK系統(tǒng)若傳輸Nbits數(shù)據(jù)則需要N個(gè)幀,即N個(gè)參考時(shí)隙和N個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)隙。而HRMR-DCSK系統(tǒng)傳輸Nbit數(shù)據(jù)只需要一個(gè)參考時(shí)隙,同時(shí)參考時(shí)隙的長(zhǎng)度是原來(lái)長(zhǎng)度的1/N,即Nbit的數(shù)據(jù)傳輸時(shí)共用一個(gè)參考信號(hào),不同的數(shù)據(jù)信號(hào)之間通過(guò)不同的Walsh碼來(lái)區(qū)分，兩種系統(tǒng)的幀結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 HRNR-DCSK系統(tǒng)和DCSK系統(tǒng)的幀結(jié)構(gòu)Fig.3 HRNR-DCSK frame and DCSK frame

同時(shí)在接收端采用移動(dòng)平均濾波器進(jìn)行濾波,使得通過(guò)降低噪聲的方差來(lái)提高系統(tǒng)的性能。HRNR-DCSK系統(tǒng)傳輸Nbit數(shù)據(jù)的時(shí)間由DCSK系統(tǒng)的2Nβ變?yōu)榱?N+1/N)β,由圖3(a)和圖3(b)可以看出,HRNR-DCSK系統(tǒng)的數(shù)據(jù)傳輸速率比DCSK系統(tǒng)得到了提高(圖中以傳輸2 bit為例)。

圖4給出了HRNR-DCSK系統(tǒng)的發(fā)射機(jī)結(jié)構(gòu)。

圖4 HRNR-DCSK系統(tǒng)的發(fā)射機(jī)結(jié)構(gòu)Fig.4 HRNR-DCSK transmitter

HRNR-DCSK系統(tǒng)的原理是混沌信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生并發(fā)送一段長(zhǎng)度為β/N的混沌序列,接下來(lái)的每一支路都將這段長(zhǎng)度為β/N的混沌序列和一個(gè)N×N維的Hadamard矩陣的某一行進(jìn)行克羅內(nèi)克積運(yùn)算,然后將經(jīng)過(guò)運(yùn)算后的混沌序列調(diào)制上不同的信息,最后分別進(jìn)行發(fā)送。其中,圖中的符號(hào)Ο是克羅內(nèi)克積運(yùn)算。則第i幀的發(fā)送信號(hào)可以表示為

(2)

當(dāng)同時(shí)傳輸Nbit數(shù)據(jù)時(shí),傳統(tǒng)DCSK系統(tǒng)所需要的傳輸時(shí)間為T(mén)DCSK=2NβTc,而HRNR-DCSK系統(tǒng)所需要的時(shí)間為T(mén)HRNR-DCSK=(N+1/N)βTc。HRNR-DCSK系統(tǒng)相較于DCSK系統(tǒng)所提高的數(shù)據(jù)傳輸速率可以表示為

(3)

(4)

同理，HRNR-DCSK系統(tǒng)比DCSK系統(tǒng)所節(jié)約的比特能量可以表示為

(5)

式中，ED是HRNR-DCSK系統(tǒng)比傳統(tǒng)DCSK系統(tǒng)所節(jié)約的比特能量百分比。

(6)

(7)

化簡(jiǎn)式(7)可得

(8)

將式(6)和式(8)代入式(5)可以得到

(9)

圖5給出的是HRNR-DCSK系統(tǒng)的接收機(jī)結(jié)構(gòu)。

圖5 HRNR-DCSK系統(tǒng)接收機(jī)結(jié)構(gòu)Fig.5 HRNR-DCSK receiver

接收機(jī)的原理是當(dāng)信號(hào)到達(dá)接收端時(shí)接收機(jī)將接收信號(hào)的參考時(shí)隙分別與各組Walsh碼進(jìn)行克羅內(nèi)克積運(yùn)算,然后將參考信號(hào)和數(shù)據(jù)信號(hào)依次通過(guò)移動(dòng)平均濾波器,對(duì)每一段相同的采樣信號(hào)取平均,最后進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算及門(mén)限判決。其中,圖中的符號(hào)Ο是克羅內(nèi)克積運(yùn)算。

文中采用兩條獨(dú)立路徑的瑞利衰落信道(Rayleigh fading channel， RFC),信道模型如圖6所示。

圖6 RFC模型圖Fig.6 Model of the RFC

其中α1和α2是兩個(gè)獨(dú)立的RFC的信道參數(shù),τ是兩個(gè)獨(dú)立信道之間的延遲,信道參數(shù)α服從瑞利分布,即其概率密度函數(shù)可以表示為:f(α|σ)=(α/σ2)e-α2/2σ2(σ是瑞利分布的系數(shù),σ>0),ξi是均值為零,方差為N0/2的高斯白噪聲。則通過(guò)圖6中的信道模型傳輸后接收端接收到的信號(hào)ri,k可以表示為

ri,k=α1si,k+α2si,k-τ+ξi,k

(10)

在以下的分析中,假設(shè)信道的延遲遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于參考時(shí)隙的長(zhǎng)度,即0<τ≤βTc/N。為了數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方便性,假設(shè)碼片時(shí)間Tc=1,基于以上的說(shuō)明在第i幀(為了不失一般性i≥1)的相關(guān)器輸出可以表示為

(11)

對(duì)式(11)進(jìn)行展開(kāi),最終得到

(12)

通過(guò)式(12)可以得到信息比特為

(13)

由于混沌序列的互相關(guān)性較低,所以混沌序列的有效長(zhǎng)度β/N在較大時(shí)可以近似為

(14)

2 誤碼性能分析

(15)

E[I]=E[N1]=E[N2]=E[N3]=0

(16)

(17)

var[I]=0

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

式中,E[·]表示數(shù)學(xué)期望運(yùn)算；var[·]表示數(shù)學(xué)方差運(yùn)算。

采用高斯近似法,根據(jù)中心極限定理系統(tǒng)的BER可以表示為

(23)

進(jìn)一步表示為

(24)

將式(21)和式(22)代入式(24)可得

BER(α1,α2)=

(25)

(26)

(27)

若令γb=γ1+γ2,則γb服從以下分布,即

(28)

由式(26)和式(28)可得HRNR-DCSK系統(tǒng)在多徑RFC中的BER公式為

(29)

當(dāng)信道參數(shù)α1=1,α2=0時(shí),HRNR-DCSK系統(tǒng)在AWGN信道下的BER可以表示為

(30)

由式(26)和式(30)可以看出,HRNR-DCSK系統(tǒng)在AWGN信道中的BER性能主要與比特信噪比(bit signal to noise ratio, BSNR)Eb/N0、擴(kuò)頻因子β及每一幀所要傳輸?shù)谋忍財(cái)?shù)N有關(guān)。在多徑RFC中的BER性能不僅與以上因素有關(guān)，還與信道的衰落系數(shù)有關(guān)。

3 系統(tǒng)仿真

本節(jié)主要針對(duì)HRNR-DCSK系統(tǒng)在AWGN信道及多徑RFC進(jìn)行仿真,主要從BSNREb/N0、所傳輸?shù)谋忍財(cái)?shù)N以及擴(kuò)頻因子β的長(zhǎng)度對(duì)系統(tǒng)BER性能的影響。仿真中采用的混沌序列是改進(jìn)型的Logistic映射。在相同的擴(kuò)頻因子下,隨著B(niǎo)SNR的變化,在不同傳輸比特下的BER性能曲線如圖7所示。

圖7 β=256, N=2,4,16,32時(shí)HRNR-DCSK系統(tǒng)的性能BER曲線Fig.7 BER performance curves of HRNR-DCSK system for β=256 and N=2,4,16,32

通過(guò)圖7可知，隨著傳輸比特?cái)?shù)目的增加,系統(tǒng)的BER性能會(huì)呈先上升后下降的趨勢(shì)。一方面是隨著傳輸比特?cái)?shù)N的增加,平均比特能量Eb會(huì)逐漸降低,從而使得BER性能會(huì)逐漸得到提升。另一方面在傳輸比特?cái)?shù)N逐漸增加到一定程度時(shí),會(huì)得到更低的Eb但并不能使BER性能得到更好的提升。對(duì)其進(jìn)一步說(shuō)明:在Eb/N0較小時(shí),N越大，Eb反而越小,此時(shí)的Eb對(duì)系統(tǒng)的BER性能曲線起主要作用,故使其保持在較低的水平;在Eb/N0較大時(shí),在解調(diào)端雖使用移動(dòng)平均濾波器來(lái)降低系統(tǒng)的噪聲,但多次相關(guān)必定會(huì)增加碼間串?dāng)_的可能,故Eb的降低并不能對(duì)BER性能的降低起到主導(dǎo)作用。在相同的擴(kuò)頻因子下,隨著傳輸比特?cái)?shù)的變化,在不同BSNR下的BER性能曲線如圖8所示。

圖8 β=256時(shí)HRNR-DCSK系統(tǒng)隨傳輸比特?cái)?shù)變化的系統(tǒng)BER性能曲線Fig.8 BER performances curves of HRNR-DCSK system with the number of transmission bits at β=256

通過(guò)圖8可以看出,HRNR-DCSK系統(tǒng)的BER性能會(huì)隨著傳輸比特?cái)?shù)N的增加而呈現(xiàn)先下降后上升的趨勢(shì),在Eb/N0較小時(shí),N=16時(shí)的性能優(yōu)于N=2,4,但隨著Eb/N0的增大,N=16的性能逐漸惡化,正好印證了圖7的說(shuō)明。由圖8可以看出，在數(shù)據(jù)比特?cái)?shù)N為4時(shí),系統(tǒng)的BER性能最好,和圖7呈現(xiàn)的結(jié)果一致。在相同的傳輸比特?cái)?shù)下,隨著擴(kuò)頻因子的變化,在不同BSNR下的BER性能曲線如圖9所示。

圖9 N=4時(shí)HRNR-DCSK系統(tǒng)隨擴(kuò)頻因子變化的BER性能曲線Fig.9 BER performances curves of HRNR-DCSK system with spread spectrum factor at N=4

通過(guò)圖9可以看出,隨著擴(kuò)頻因子β的變化,HRNR-DCSK系統(tǒng)的BER性能也是呈現(xiàn)先下降后上升的趨勢(shì),但是最佳的擴(kuò)頻序列長(zhǎng)度是隨著B(niǎo)SNREb/N0的增大而增大。在擴(kuò)頻因子與比特?cái)?shù)比值一定的情況下,隨著B(niǎo)SNR的變化,在不同比特?cái)?shù)下的BER性能曲線如圖10所示。

圖10 β/N=32時(shí)HRNR-DCSK系統(tǒng)的BER性能曲線Fig.10 BER performance curves of HRNR-DCSK system for β/N=32 in AWGN channels

由圖10可知,在β/N為相同值時(shí),HRNR-DCSK系統(tǒng)的BER性能幾乎一致。說(shuō)明Eb對(duì)系統(tǒng)BER性能的降低的程度和碼間串?dāng)_對(duì)BER性能的提高的程度幾乎相同。HRNR-DCSK系統(tǒng)與DCSK、SR-DCSK[18]、NR-DCSK[19]、HE-DCSK系統(tǒng)對(duì)比的BER曲線如圖11所示。

圖11 β=128時(shí)不同系統(tǒng)的BER性能曲線Fig.11 BER performance curves of different systems for β=128

對(duì)于仿真條件是在β=256,N=2,P=2下進(jìn)行的,從圖中可以看出，在相同的擴(kuò)頻因子下,HRNR-DCSK表現(xiàn)出較好的BER性能。HRNR-DCSK系統(tǒng)在多徑RFC不同情況下的BER性能曲線如圖12和圖13所示。分別是通過(guò)以下幾個(gè)情況進(jìn)行仿真。

情況1第1個(gè)信道的平均信道增益和第2個(gè)信道的平均信道增益相等,即

情況2第1個(gè)信道的平均信道增益比第2個(gè)信道的平均信道增益高6 dB,即

圖12 當(dāng)β=1 024時(shí)HRNR-DCSK系統(tǒng)的BER性能曲線Fig.12 BER performance curves of HRNR-DCSK for β=1 024 in Rayleigh fading channel

圖13 當(dāng)β=1 024時(shí)HRNR-DCSK系統(tǒng)的BER性能曲線Fig.13 BER performance of HRNR-DCSK for β=1 024 in Rayleigh fading channel

從圖12和圖13可以看出,在同一情況下較大的數(shù)據(jù)傳輸比特比較小時(shí)呈現(xiàn)出更好的BER性能,說(shuō)明在擴(kuò)頻因子β較大時(shí),Eb的降低對(duì)BER性能的下降起到主導(dǎo)作用。在圖13中,當(dāng)N=1時(shí)呈現(xiàn)的是傳統(tǒng)的DCSK系統(tǒng),通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn),在擴(kuò)頻因子β較大時(shí),HRNR-DCSK系統(tǒng)比傳統(tǒng)的DCSK系統(tǒng)擁有更好的BER性能。這是由于N的增大使得比特能量Eb的降低,對(duì)系統(tǒng)的BER性能起到主要作用。

4 結(jié) 論

本文提出了一種新型的非相干混沌通信系統(tǒng)——HRNR-DCSK系統(tǒng)。該系統(tǒng)降低了原有DCSK系統(tǒng)的參考信號(hào)的長(zhǎng)度,將原有的數(shù)據(jù)信號(hào)擴(kuò)展為多個(gè)時(shí)隙,每個(gè)時(shí)隙傳輸不同的數(shù)據(jù)比特,同時(shí)在接收端通過(guò)降低噪聲方差的方式進(jìn)行接收并解調(diào)。在文中對(duì)該系統(tǒng)通過(guò)GA法推導(dǎo)了在AWGN信道和多徑RFC下的公式,并對(duì)其進(jìn)行了蒙特卡羅仿真。該系統(tǒng)的參考信號(hào)長(zhǎng)度及比特能量會(huì)隨著傳輸比特的增加而降低,從而相較于傳統(tǒng)DCSK系統(tǒng)提高了數(shù)據(jù)傳輸速率,降低了每比特發(fā)射功率。在推導(dǎo)中發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的BER性能主要與數(shù)據(jù)傳輸比特?cái)?shù)N、擴(kuò)頻因子β及BSNREb/N0有關(guān),并通過(guò)仿真分析了每個(gè)變量對(duì)系統(tǒng)BER性能的影響。在仿真中發(fā)現(xiàn)在參考時(shí)隙長(zhǎng)度相同時(shí)，不同的傳輸比特?cái)?shù)之間具有幾乎相同的BER性能。在多徑RFC的仿真中發(fā)現(xiàn):當(dāng)不同路徑間信道增益相同和不同時(shí)都表現(xiàn)出了N越大抗信道衰落的能力越強(qiáng)。

在發(fā)射端使用改進(jìn)型的正交混沌信號(hào),在接收端對(duì)接收的信號(hào)進(jìn)行移動(dòng)平均濾波,這樣的操作提高了系統(tǒng)的復(fù)雜度,在某種程度上降低了系統(tǒng)的安全性,但為了提高數(shù)據(jù)傳輸速率,降低每比特發(fā)射功率,提高系統(tǒng)的BER性能,這樣的犧牲是值得的。

參考文獻(xiàn)：

[1] DUAN J Y, JIANG G P, YANG H. Reference-adaptive CDSK: an enhanced version of correlation delay shift keying[J]. IEEE Trans.on Circuits and System-II: Express Briefs, 2015, 62(1): 90-94.

[2] 趙雅琴,李書(shū)營(yíng),米雪龍,等.基于STBC技術(shù)的DCSK通信系統(tǒng)性能分析[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2016,38(1):155-162.

ZHAO Y Q, LI S Y, MI X L, et al. Performance analyze for STBC-based DCSK communication system[J].Systems Engineering and Electronics,2016, 38(1): 155-162.

[3] 張剛, 王傳剛, 張?zhí)祢U. 基于正交混沌載波的多用戶DCSK系統(tǒng)性能分析[J]. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù), 2017, 39(2): 431-436.

ZHANG G, WANG C G, ZHANG T Q. Performance analyze for MU-DCSK system based on orthogonal chaotic carrier[J]. Systems Engineering and Electronics, 2017, 39(2): 431-436.

[4] KADDOUM G, TRAN H V, LONG K, et al. Design of simultaneous wireless information and power transfer scheme for short reference DCSK communication systems[J]. IEEE Trans.on Communications, 2017,65(1): 431-443.

[5] DEDIEU H, KENNEDY M P, HASLER M. Chaos shift keying: modulation and demodulation of a chaotic carrier using self-synchronizing Chua’s circuits[J]. IEEE Trans.on Circuits & Systems II Analog & Digital Signal Processing, 1993, 40(10): 634-642.

[7] HERCEG M, MILICEVIC K, MATIC T. Correlation-multi-delay-shift-keying for chaos based communications[J]. Wireless Personal Communications, 2015, 88(2):1-12.

[8] GALIAS Z, MAGGIO G M. Quadrature chaos-shift keying: theory and performance analysis[J]. IEEE Trans.on Circuits & Systems I Fundamental Theory & Applications, 2002, 48(12):1510-1519.

[9] KADDOUM G, SOUJERI E, ARCILA C, et al. I-DCSK: an improved noncoherent communication system architecture[J]. IEEE Trans.on Circuits & Systems II Express Briefs,2015,62(9): 901-905.

[10] CAI G, WANG L, HUANG T. Channel capacity of M-ary differential chaos shift keying modulation over AWGN channel[C]∥Proc.of the International Symposium on Communications and Information Technologies, 2013:91-95.

[11] CHEN P, WANG L, CHEN G. DDCSK-Walsh coding: a reliable chaotic modulation-based transmission technique[J]. IEEE Trans.on Circuits & Systems II Express Briefs, 2012, 59(2):128-132.

[12] KADDOUM G, GAGNON F, RICHARDSON F D. Design of a secure multi-carrier DCSK system[C]∥Proc.of the International Symposium on Wireless Communication Systems, 2012:964-968.

[13] KADDOUM G, RICHARDSON F D, GAGNON F. Design and analysis of a multi-carrier differential chaos shift keying communication system[J]. IEEE Trans.on Communications, 2013, 61(8):3281-3291.

[14] XU W K, WANG L. A novel differential chaos shift keying modulation scheme[J]. International Journal of Bifurcation & Chaos, 2011, 21(3):799-814.

[15] KADDOUM G, GAGNON F. Design of a high-data-rate differential chaos-shift keying system[J]. IEEE Trans.on Circuits & Systems II Express Briefs, 2012, 59(7):448-452.

[16] YANG H, JIANG G P. High-efficiency differential-chaos-shift-keying scheme for chaos-based noncoherent communication[J]. IEEE Trans.on Circuits & Systems II Express Briefs, 2012, 59(5):312-316.

[17] YANG H, JIANG G P. Reference-modulated DCSK: a novel chaotic communication scheme[J]. IEEE Trans.on Circuits & Systems II Express Briefs, 2013, 60(4):232-236.

[18] KADDOUM G, SOUJERI E, NIJSURE Y. Design of a short reference noncoherent chaos-based communication systems[J]. IEEE Trans.on Communications, 2016, 64(2):680-689.

[19] KADDOUM G, SOUJERI E. NR-DCSK: a noise reduction differential chaos shift keying system[J]. IEEE Trans.on Circuits & Systems II Express Briefs, 2016, 63(7):648-652.