陳洪凱, 吳亞華, 王圣娟

(1.三峽大學(xué) 水利與環(huán)境工程學(xué)院，湖北 宜昌 443002; 2.重慶交通大學(xué) 巖土工程研究所，重慶 400074)

工程實(shí)踐和研究表明，幾乎所有高陡巖石邊坡表面的危巖體均以聚集體形式存在，當(dāng)其中任一危巖塊破壞時(shí)都會(huì)產(chǎn)生激振效應(yīng)，劣化相鄰危巖塊的穩(wěn)定性，并可能導(dǎo)致危巖聚集體鏈?zhǔn)奖缆鋄1-3]。對(duì)于危巖的破壞問題，陳洪凱等采用損傷力學(xué)方法建立了危巖主控結(jié)構(gòu)面斷裂損傷本構(gòu)方程，采用斷裂力學(xué)方法得到了主控結(jié)構(gòu)面尖端斷裂擴(kuò)展方向巖石的聯(lián)合斷裂強(qiáng)度因子計(jì)算方法[4]，進(jìn)而得到了主控結(jié)構(gòu)面疲勞壽命計(jì)算方法[5]，并發(fā)現(xiàn)群發(fā)性危巖體崩落遵循鏈?zhǔn)揭?guī)律[6]。針對(duì)危巖破壞激振效應(yīng)問題，陳洪凱等通過室內(nèi)模型試驗(yàn)，獲得了激振信號(hào)小波分解系數(shù)時(shí)程變化曲線，發(fā)現(xiàn)危巖破壞激振信號(hào)局部信息存在周期性，分析了實(shí)驗(yàn)條件下危巖破壞激振信號(hào)的概率統(tǒng)計(jì)特征。針對(duì)危巖聚集體破壞振動(dòng)所涉及的相關(guān)科學(xué)問題，崔宏環(huán)等以裂隙外側(cè)危巖體的懸臂段為研究對(duì)象，建立并分析了基于平面坐標(biāo)系統(tǒng)的含縱向裂隙危巖體的穩(wěn)定性分析模型[7]；Unteregger等[8]依據(jù)塑性理論和損傷力學(xué)理論，提出了不同類型完整巖石的損傷塑性模型；Mohammad等[9]考慮損傷區(qū)的影響，得到了一種隧道周圍巖體的應(yīng)力和位移的完全解析解；Khazaei等[10]通過大量的巖石單軸壓縮聲發(fā)射實(shí)驗(yàn)，研究了聲發(fā)射能和總耗能之間的關(guān)系，提出了基于斷裂鍵的巖石損傷參數(shù)。

考慮到危巖聚集體中存在多組水平結(jié)構(gòu)面和豎向結(jié)構(gòu)面，在實(shí)際案例中，其崩塌源處各結(jié)構(gòu)面組合可形成一個(gè)個(gè)垂直于臨空面疊放的水平危巖棱柱體，據(jù)此可將其概化為水平樁模型考慮，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)樁的動(dòng)力特性進(jìn)行了較多研究，如程昀等[11]將樁體簡(jiǎn)化為一維黏彈性體，應(yīng)用牛頓定律構(gòu)造本構(gòu)方程，在不同邊界條件和初始條件下，利用分離變量法求出對(duì)應(yīng)的響應(yīng)波動(dòng)方程；Berrones等[12]采用Winkler假設(shè)求得了端承樁在地震荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)解析式；Novak等[13]假定土層為黏彈性介質(zhì)，樁頭自由和樁底固定，采用與頻率無關(guān)的阻尼方法，得到了樁側(cè)面土阻力分布式和樁基動(dòng)力響應(yīng)關(guān)系式；Bhowmik等[14]通過數(shù)值分析和實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，樁的長(zhǎng)度對(duì)振幅和諧振頻率有很大影響，樁在周圍土壤中的滑移很大程度上影響了土-樁基礎(chǔ)系統(tǒng)的共振頻率和振幅；Cerv等[15]推導(dǎo)出了彈性桿的縱向精確三維理論解，討論了桿中的瞬態(tài)波現(xiàn)象，采用逆拉普拉斯變換得到桿振動(dòng)時(shí)域內(nèi)的半解析解。

本文運(yùn)用特征展開法，求解危巖聚集體在危巖塊破壞激振波作用下相鄰危巖塊中質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程，據(jù)此求解危巖質(zhì)點(diǎn)應(yīng)力方程和振動(dòng)速度方程，研究成果對(duì)于進(jìn)一步開展群發(fā)性危巖破壞機(jī)理研究有積極意義。

1 危巖破壞振動(dòng)力學(xué)模型

羊叉河巖石邊坡表面的危巖聚集體，由巖層面與豎向裂紋組合而成，包括多個(gè)危巖體。水平層面基本處于貫通狀態(tài)，而豎向裂紋幾乎都存在未貫通段，如圖1所示。圖1中，虛線部分為內(nèi)部嵌入在危巖母體內(nèi)、外端水平突出的一列危巖體。由圖1可知，此列危巖體與左右母巖在豎直方向上存在裂紋面。當(dāng)最外側(cè)危巖塊(臨空面下方起崩危巖塊)崩落時(shí)，必然會(huì)在豎向裂紋未貫通段瞬間釋放應(yīng)變能，產(chǎn)生激振波并傳到相鄰危巖塊，劣化相鄰危巖塊的穩(wěn)定性甚至誘發(fā)群發(fā)性崩塌災(zāi)害。墜落式危巖聚集體中容易發(fā)生崩落的危巖塊均發(fā)生在此類模型中。

圖1 羊叉河巖石邊坡危巖聚集體Fig.1 The perilous rock aggregate on rock slope of Yangcha river

提取危巖聚集體物理模型(見圖2)，危巖體各層沿x方向有間隔分布的未貫通裂紋，將最下層裂紋的尖端連線，構(gòu)成一個(gè)裂紋尖端面(圖中深灰色區(qū)域)，尖端面以上部分為破裂區(qū)，尖端面以下部分為完整區(qū)，完整區(qū)為一個(gè)四面棱柱巖體。

從圖2中選取危巖棱柱體作為研究對(duì)象(見圖3)，外側(cè)危巖塊崩落過程中，裂紋擴(kuò)展會(huì)釋放系統(tǒng)內(nèi)儲(chǔ)存的變形能，這部分能量以激振波的形式釋放出來，激振波可以等效為作用在主控結(jié)構(gòu)面上的一個(gè)激振力F(t)，

圖2 危巖聚集體物理模型Fig.2 The physical model of perilous rock aggregate

圖3 危巖棱柱體Fig.3 Perilous rock prism

隨時(shí)間變化，在裂紋貫穿的同時(shí)，激振力F(t)隨之消失，但激振波仍存在，激振波向左側(cè)巖體傳播，并逐漸衰減至零。模型中，長(zhǎng)為l的棱柱左端可簡(jiǎn)化為固定端，沿x軸正向?yàn)檎?，棱柱右?cè)的自由表面上有荷載F(t)。

對(duì)模型列半直線上的波動(dòng)方程的混合方程為

(1)

2 方程求解

運(yùn)用特征展開法求解方程，對(duì)式(1)作變換，為方便求解，引入函數(shù)v(x,t)和w(x,t)，令

u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)

(2)

當(dāng)v(x,t)為齊次邊界條件時(shí)，需滿足

w(l,t)=0,wx(0,t)=ε

(3)

設(shè)w(x,t)=A(t)x+B(t)，將式(2)代入得到A，B兩參數(shù)，解得

w(x,t)=εx

(4)

將式(4)代入式(2)得

u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)=v(x,t)+εx

(5)

則式(1)中各項(xiàng)可簡(jiǎn)化為

(6)

將式(6)代入式(1)得

(7)

按式(1)形式整理為

(8)

(9)

將式(9)代入式(8)得到二階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)本身的關(guān)系

(10)

由式(10)可知，如果Tn(t)，Xn(x)滿足

(11)

則式(10)必然成立，且由式(9)給出的v(x,t)滿足式(8)前兩式，于是式(11)可改寫為

(12)

式(12)左邊只由x決定，右邊只由t決定，所以兩邊均為常數(shù)，記為-λn，即

(13)

展開為分別關(guān)于x和t的兩式

(14)

和

(15)

因?yàn)閄n(x)不為零，x項(xiàng)即確定非零解Xn(x)，是求特征值的問題。

當(dāng)λ≤0時(shí)，方程分部積分得

(16)

當(dāng)λ<0時(shí)，Xn(x)≡0，為零解；

因此，當(dāng)λ≤0時(shí)，問題無非零解，即λ≤0不是特征值。

當(dāng)λ>0時(shí)，常系數(shù)二階線性齊次常微分方程為ay″+by′+cy=0，其對(duì)應(yīng)的特征方程ak2+bk+c=0有兩根k1，k2，當(dāng)k=λ±iυ時(shí)，通解為

y(x)=eμx(C1cosμx+C2sinμx)

(17)

通解為

Xn(x)=C1cosβx+C2sinβx

(18)

則其導(dǎo)數(shù)為

(19)

將Xn(0)=0代入式(19)得C1β=0，又β≠0，可知C1=0

將式(8)和式(9)中的函數(shù)v(x,t)和-εx關(guān)于x按特征函數(shù)系Xn(x)=sinβnx展開得

(20)

由數(shù)理方程知識(shí)知

(21)

由分部積分得

(22)

化簡(jiǎn)式(22)，當(dāng)

n=1時(shí)，

n=2時(shí)，

n=3時(shí)，

……

綜上，由數(shù)學(xué)歸納法得

(23)

將上述展開式代入式(8)的方程和初始條件得

(24)

由特征函數(shù)系正交性得

(25)

同前，可得通解以及通解的導(dǎo)數(shù)為

(26)

式(26)中的通解化為

Tn(t)=cncosC0βnt,n=1, 2, …

(27)

將式(27)代入式(20)得質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)位移為

(28)

將式(4)和式(28)代入式(2)得巖體質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程為

(29)

由棱柱質(zhì)點(diǎn)位移方程，可以得到質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)力方程和振動(dòng)速度方程

應(yīng)力方程為式(30)

(30)

振動(dòng)速度方程為式(31)

(31)

式中：變量同前。

3 方程驗(yàn)證

巖體質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程的初始時(shí)刻，t=0，式(29)化為

(32)

驗(yàn)證模型上左右兩端點(diǎn)，左端巖體內(nèi)部，將x=0代入式(32)得

(33)

左端位移為0，符合實(shí)際情況。

右端自由端，將x=l代入式(32)得

(34)

由數(shù)學(xué)歸納法得

(35)

由數(shù)列通項(xiàng)求和公式知

(36)

則

(37)

表明右端符合模型的實(shí)際情況。

本方程求得初始狀態(tài)左端固定端和右側(cè)自由端質(zhì)點(diǎn)位移均為零，與模型的真實(shí)狀態(tài)一致。

4 模型試驗(yàn)驗(yàn)證

按模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，沿y方向只取一列危巖體，模型簡(jiǎn)圖(見圖4)，實(shí)體(見圖5)。上部激振激振試件為M20砂漿砌筑，尺寸為0.9 m，0.3 m，0.3 m，從左向右0.7 m處預(yù)留一寬裂縫添加靜態(tài)爆破劑，使裂縫開裂，左側(cè)窄裂縫高度為0.15 m，即單層試件高度的一半，為研究水平層危巖體的振動(dòng)情況，靠近起裂位置，在底層危巖體高度中心處沿激振波傳播方向設(shè)置測(cè)點(diǎn)1和測(cè)

圖4 試驗(yàn)?zāi)Ｐ驮O(shè)計(jì)(單位：m)Fig.4 Experimental model design(unit: m)

圖5 試驗(yàn)?zāi)Ｐ虵ig.5 Experimental model

點(diǎn)2，具體水平尺寸如圖7所示。安裝傳感器，記錄激振數(shù)據(jù)。當(dāng)靜態(tài)爆破劑起作用，最下層裂紋開裂，右端巖塊崩落，崩落實(shí)況如圖6所示。裂紋面上產(chǎn)生激振力，按圖2考慮最下層棱柱體，按本文建立模型的方式，取裂紋下部完整體，右側(cè)至靜態(tài)爆破劑裂紋處，簡(jiǎn)化模型如圖7所示。將此棱柱體模型作為研究對(duì)象驗(yàn)證上述方程。

圖6 危巖塊崩落瞬間Fig.6 The instant form at collapse of perilous rock block

從崩落巖塊中制取試件，進(jìn)行三軸實(shí)驗(yàn)，測(cè)得模型材料物理力學(xué)參數(shù)，如表1所示。

圖7 模型底層完整棱柱體Fig.7 Model bottom complete prism

模型材料抗壓強(qiáng)度/MPa抗拉強(qiáng)度/MPa重度/(kN·m-3)彈性模量×104/MPa泊松比砂漿試件15.810.7719.950.3020.18

在振動(dòng)監(jiān)測(cè)中，由于振動(dòng)變化均發(fā)生在毫秒范圍以內(nèi)，傳統(tǒng)的位移計(jì)與速度計(jì)的機(jī)械原理不能滿足如此高頻率的變化，并且在地震研究中更是以地震加速度作為衡量地震烈度的標(biāo)準(zhǔn)，故而試驗(yàn)選取加速度傳感器作為數(shù)據(jù)采集儀器。加速度傳感器內(nèi)置壓電式加速度感應(yīng)計(jì)，可實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)試件振動(dòng)加速度的數(shù)據(jù)，配套的分析軟件可通過內(nèi)置的積分系統(tǒng)經(jīng)過零點(diǎn)標(biāo)定得到速度數(shù)據(jù)，再次積分與標(biāo)定得到位移數(shù)據(jù)，在振動(dòng)試驗(yàn)中應(yīng)用性較高。實(shí)驗(yàn)最終得到兩測(cè)點(diǎn)的位移時(shí)程曲線，如圖8和圖9所示。

圖8 測(cè)點(diǎn)1x方向位移時(shí)程曲線Fig.8 Point 1 x direction displacement time history curve

圖9 測(cè)點(diǎn)2x方向位移時(shí)程曲線Fig.9 Point 2 x direction displacement time history curve

再由本文推導(dǎo)的振動(dòng)方程計(jì)算求解兩點(diǎn)的振動(dòng)數(shù)據(jù)。由于加速度傳感器得到的數(shù)據(jù)為振動(dòng)數(shù)據(jù)，不包含靜力位移，因此我們按質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位移式(28)提出的v(x,t)來驗(yàn)證。

由圖8可知，質(zhì)點(diǎn)從19 ms開始振動(dòng)(起振點(diǎn))，23 ms時(shí)達(dá)到第一個(gè)峰值，因此我們讀取時(shí)間間隔t=4 ms，期間質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)位移為u，將模型各個(gè)參數(shù)代入巖體質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程得，C0=38.907，l=0.7 m，測(cè)點(diǎn)1x=0.6 m，測(cè)點(diǎn)2x=0.42 m。

則測(cè)點(diǎn)1在t時(shí)刻

(38)

令通項(xiàng)

(39)

Sanε=-0.636 9ε。

測(cè)點(diǎn)2在t時(shí)刻，

(40)

令通項(xiàng)

(41)

表2 測(cè)點(diǎn)1振動(dòng)位移前n 項(xiàng)取值

表3 測(cè)點(diǎn)2振動(dòng)位移前n 項(xiàng)取值

最后分析計(jì)算數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的誤差。

由于起崩危巖塊斷裂面上產(chǎn)生的激振力計(jì)算式F(t)未給出具體數(shù)據(jù)，此處分別算出由方程得到的兩測(cè)點(diǎn)振動(dòng)位移的比值和由實(shí)驗(yàn)得到的兩測(cè)點(diǎn)振動(dòng)位移的比值，比較兩者的誤差，則可驗(yàn)證方程的實(shí)用性，有

(42)

由x方向位移時(shí)程曲線圖中讀出

(43)

誤差為

(44)

計(jì)算結(jié)果表明，理論解和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)基本相符，誤差僅為6.12%，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)說明了方程模型的正確性，但由于模型簡(jiǎn)化了危巖母體對(duì)危巖聚集體的影響，因此對(duì)于此類墜落式危巖聚集體，本模型在一定程度上可反映工程實(shí)際中的激振問題。

在實(shí)際工程中，墜落式危巖聚集體中的易崩模型主要為豎向排列的棱柱危巖體，將起崩危巖塊斷裂面上產(chǎn)生的激振力計(jì)算式F(t)和危巖塊的各材料參數(shù)代入式(29)，便可求得危巖體質(zhì)點(diǎn)的具體振動(dòng)數(shù)據(jù)。

5 結(jié) 論

(1)針對(duì)危巖聚集體工程實(shí)例，分析出墜落式危巖聚集體中的易崩模型主要為豎向疊放的一列水平棱柱體，將每層危巖體概化為危巖棱柱體，從“危巖聚集體中的危巖塊在突發(fā)性破壞時(shí)必然釋放應(yīng)變能”這一客觀實(shí)際出發(fā)，采用波動(dòng)理論方法建立了危巖破壞振動(dòng)力學(xué)模型。

(2)求解危巖聚集體破壞振動(dòng)力學(xué)模型，得到危巖聚集體質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程、位移方程、應(yīng)力方程及振動(dòng)速度方程。

(3)通過危巖破壞激振模型試驗(yàn)，驗(yàn)證了危巖破壞振動(dòng)力學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)理論解和實(shí)驗(yàn)值之間誤差僅為6.12%。研究成果對(duì)于深入開展群發(fā)性危巖破壞機(jī)理研究有積極意義。

參 考 文 獻(xiàn)

[ 1 ] 陳洪凱, 唐紅梅, 王智, 等. 危巖破壞激振信號(hào)頻域特征研究[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2014, 33(19): 64-68.

CHEN Hongkai， TANG Hongmei， WANG Zhi， et al. Frequency domain characteristics of excitation signals for rupture of perilous rocks[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(19): 64-68.

[ 2 ] 陳洪凱, 楊銘, 唐紅梅, 等. 危巖破壞激振信號(hào)局部和細(xì)節(jié)信息特征[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2014,33(24): 15-18.

CHEN Hongkai， YANG Ming， TANG Hongmei， et al. Local and minutiae characteristics of excitation signals during perilous rock rupture[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(24): 15-18.

[ 3 ] 陳洪凱, 楊銘, 唐紅梅, 等. 危巖破壞激振信號(hào)概率統(tǒng)計(jì)特征研究[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2015, 34(8): 139-143.

CHEN Hongkai, YANG Ming, TANG Hongmei, et al. Probabilistic and statistic characteristics of excitation signals during rupture of perilous rock[J]. Journal of Vibration and Shock, 2015, 34(8): 139-143.

[ 4 ] CHEN H K, TANG H M, YE S Q. Damage model of control fissure in perilous rock[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2006, 27(7): 967-974.

[ 5 ] 陳洪凱，鮮學(xué)福，唐紅梅. 危巖穩(wěn)定性斷裂力學(xué)計(jì)算方法[J]. 重慶交通大學(xué)學(xué)報(bào), 2009, 32(4): 434- 437.

CHEN Hongkai, XIAN Xuefu, TANG Hongmei. Stability analysis method for perilous rock by fracture mechanics[J]. Journal of Chongqing University, 2009, 32(4): 434-437.

[ 6 ] CHEN Hongkai, TANG Hongmei. Method to calculate fatigue fracture life of control fissure in perilous rock[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2007, 28(5): 643-649.

[ 7 ] 崔宏環(huán), 劉建坤, 張立群, 等. 含縱向裂隙的懸挑式危巖穩(wěn)定性分析方法研究[J]. 鐵道工程學(xué)報(bào), 2016, 33(1): 11-15.

CUI Honghuan，LIU Jiankun，ZHANG Liqun，et al. A stability analysis method of the overhanging crag with longitudinal cracks[J]. Journal of Railway Engineering Society, 2016, 33(1): 11-15.

[ 8 ] UNTEREGGER D, FUCHS B, HOFSTETTER G. A damage plasticity model for different types of intact rock[J]. International Journal of Rock Mechanics & Mining Sciences, 2015, 80: 402-411.

[ 9 ] MOHAMMAD R Z, AHMAD F. Analytical solutions for the stresses and deformations of deep tunnels in an elastic-brittle-plastic rock mass considering the damaged zone[J]. Tunnelling and Underground Space Technology, 2016, 58: 186-196.

[10] KHAZAEI C, HAZZARD J, CHALATURNYK R. Damage quantification of intact rocks using acoustic emission energies recorded during uniaxial compression test and discrete element modeling[J]. Computers and Geotechniques, 2015, 67: 94-102.

[11] 程昀, 昌曉旭, 何聰, 等. 基于解析解的混凝土樁體應(yīng)力波特性分析[J]. 江西理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2016, 37(5): 41-

46.

CHENG Yun, CHANG Xiaoxu, HE Cong, et al. Analysis of stress wave characteristics of concrete pile based on analytic equation[J]. Journal of Jiangxi University of Science and Technology, 2016, 37(5): 41-46.

[12] BERRONES R F, WHITMAN R V. Seismic response of end-bearing piles[J]. Journal of Geotechnical Engineering, 1982,108(4): 554-568.

[13] NOVAK M, NOGAMI T. Soil-pile interaction in horizontal vibration[J]. Journal of Earthquake Engineering Structure Dynamics, 1977, 5:263-281.

[14] BHOWMIK D, BAIDYA D K, DASGUPTA S P. A numerical and experimental study of hollow steel pile in layered soil subjected to vertical dynamic loading[J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 2016, 85: 161-165.

[15] CERV J, ADAMEKB V, VALES F, et al. Wave motion in a thick cylindrical rod undergoing longitudinal impact[J]. Wave Motion, 2016, 66:88-105.