張 月， 孫 偉

(東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽(yáng) 110819)

圓柱殼作為工程中最常見(jiàn)的一類(lèi)構(gòu)件，尤其在航空和航天領(lǐng)域被大量使用。在服役過(guò)程中，圓柱殼經(jīng)常因遭受寬頻激勵(lì)而引發(fā)共振，進(jìn)而造成性能惡化或者疲勞失效。因而，需要研發(fā)相應(yīng)的阻尼減振措施以抑制圓柱殼的有害振動(dòng)。目前，通過(guò)在表面貼敷黏彈性阻尼層[1-3]成為圓柱殼減振的重要技術(shù)手段。但是，對(duì)于需要在高溫及高腐蝕環(huán)境下工作的圓柱殼，例如航空發(fā)動(dòng)機(jī)機(jī)匣、鼓筒等，上述黏彈性阻尼減振技術(shù)通常難以使用。硬涂層是由金屬基、陶瓷基或者兩者混合制成的涂層材料。最近的研究[4-6]發(fā)現(xiàn)其在高溫、高腐蝕環(huán)境下可實(shí)現(xiàn)對(duì)薄殼結(jié)構(gòu)過(guò)大的振動(dòng)進(jìn)行控制，由此可見(jiàn)，可以將硬涂層減振技術(shù)應(yīng)用到圓柱殼振動(dòng)控制上。為此，需要開(kāi)展硬涂層圓柱殼的動(dòng)力學(xué)建模與振動(dòng)預(yù)估的研究。

硬涂層材料具有應(yīng)變依賴(lài)性[7-8]，其力學(xué)特性參數(shù)會(huì)隨著應(yīng)變響應(yīng)幅度的變化而改變。這種材料非線性使創(chuàng)建硬涂層圓柱殼動(dòng)力學(xué)模型成為一項(xiàng)具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。目前，考慮硬涂層材料的非線性特點(diǎn)，針對(duì)梁[9]及板[10]已有了一些初步研究。另外，學(xué)者們對(duì)黏彈性阻尼復(fù)合圓柱殼的動(dòng)力學(xué)建模也開(kāi)展了大量研究，Zheng等[11]用傳遞函數(shù)法分析了具有被動(dòng)約束阻尼層的圓柱殼的振動(dòng)特性。李曉妮等[12]也用傳遞矩陣法分析了具有主動(dòng)約束阻尼層圓柱殼的振動(dòng)特性。Jin等[13]用修正的Fourier-Ritz法推導(dǎo)了具有約束阻尼圓柱殼的運(yùn)動(dòng)方程并對(duì)復(fù)合殼的阻尼及振動(dòng)特性進(jìn)行了預(yù)估。以上這些都可為本文硬涂層圓柱殼動(dòng)力學(xué)建模提供參考。

有限元法是一種強(qiáng)有力的建模方法，Li等[14]應(yīng)用迭代有限元技術(shù)進(jìn)行了考慮應(yīng)變依賴(lài)性的硬涂層板振動(dòng)特性分析，其主要利用的是ANSYS軟件。也有一些學(xué)者通過(guò)自行研發(fā)復(fù)合殼單元來(lái)求解黏彈性阻尼圓柱殼的動(dòng)力學(xué)特性。例如， Chakravorty等[15]研發(fā)了8節(jié)點(diǎn)曲面四邊形等參單元來(lái)模擬黏彈性圓柱殼。Masti等創(chuàng)建了一個(gè)包括基體層、黏彈性阻尼層和約束層的8節(jié)點(diǎn)80自由度的復(fù)合曲面單元，并用該單元對(duì)復(fù)合圓柱殼的振動(dòng)特性進(jìn)行了分析。面向特定的圓柱殼復(fù)合結(jié)構(gòu)，通過(guò)自行研發(fā)有限元程序來(lái)對(duì)其進(jìn)行建模與分析有很好的靈活性及較高的計(jì)算效率。因而，本文也按此思路開(kāi)展硬涂層圓柱殼的動(dòng)力學(xué)建模及分析工作。

在考慮硬涂層材料應(yīng)變依賴(lài)性的前提下，開(kāi)發(fā)了一種復(fù)合圓柱殼單元，并在此基礎(chǔ)上，提出了一種簡(jiǎn)化的硬涂層圓柱殼復(fù)合結(jié)構(gòu)非線性振動(dòng)特性的迭代求解方法(Simplified Hard-Coating Cylindrical Shell Iteration Method, SHCIM)。同時(shí)，以NiCoCrAlY+YSZ硬涂層圓柱殼為例，對(duì)其線性和非線性振動(dòng)特性進(jìn)行求解，并將線性結(jié)果與ANSYS進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證該復(fù)合圓柱殼單元的正確性和適用性。

1 復(fù)合圓柱殼單元

如圖1所示，基礎(chǔ)激勵(lì)作用下的硬涂層圓柱殼結(jié)構(gòu)，分別由厚度為T(mén)s的金屬基體和厚度為T(mén)c的外敷硬涂層構(gòu)成。

圖1 硬涂層圓柱殼復(fù)合結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 The composite structure of hard-coating cylindrical shell

沿復(fù)合結(jié)構(gòu)中面的主曲率線和法線方向建立正交曲線坐標(biāo)系(x，θ，z)，相對(duì)應(yīng)的中面位移分別為u，v和w。中面到圓柱殼內(nèi)表面的距離h0可表示為

(1)

(2)

其中，

(3)

進(jìn)一步可將式(2)表達(dá)為

(4)

(5)

為與應(yīng)變依賴(lài)性相關(guān)的材料參數(shù)。

為更好地求解此硬涂層圓柱殼復(fù)合結(jié)構(gòu)的非線性振動(dòng)特性，本文開(kāi)發(fā)了一種4節(jié)點(diǎn)36自由度的復(fù)合圓柱殼單元，如圖2所示。該單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)包含9個(gè)自由度，分別定義為

(6)

圖2 復(fù)合圓柱殼單元Fig.2 The composite cylindrical shell element

基于小應(yīng)變假設(shè)，且假設(shè)變形后復(fù)合圓柱殼中面法線與中面垂直，單元中面上任一點(diǎn)的位移w(u,v具有相同的表達(dá)形式)可定義為

w=a1+a2x+a3θ+a4x2+a5xθ+a6θ2+a7x3+
a8x2θ+a9xθ2+a10θ3+a11x3θ+a12xθ3

(7)

則單元中面上任一點(diǎn)的位移場(chǎng)可表示為

{u，v,w}T=Nd

(8)

式中：d為36×1階的單元位移向量；N為3×36階的單元形函數(shù)矩陣；可表示為

N=[Np1,Np2,Np3,Np4]

(9)

其中，

(10)

單元內(nèi)的應(yīng)變-位移關(guān)系可表示為

ε=Bd

(11)

式中：B即為應(yīng)變矩陣，可表示為

B=[Bp1,Bp2,Bp3,Bp4]

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

f={0,μθρa(bǔ),μzρa(bǔ)}T

(17)

式中：a為基礎(chǔ)的絕對(duì)加速度；μθ和μz均為影響系數(shù)，在與基礎(chǔ)激勵(lì)方向一致的自由度上，影響系數(shù)取為1，否則取為0。

2 考慮應(yīng)變依賴(lài)性的硬涂層圓柱殼的振動(dòng)特性計(jì)算

整個(gè)硬涂層圓柱殼復(fù)合結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程可表示為

(18)

(19)

式中：Kε為剛度矩陣；D為與硬涂層損耗因子相關(guān)的材料阻尼矩陣。F為按正弦變化的外部基礎(chǔ)激勵(lì)向量；x為節(jié)點(diǎn)位移向量；可表示為

x=φNq

(20)

式中：φN為節(jié)點(diǎn)正則振型矩陣；q為節(jié)點(diǎn)正則坐標(biāo)響應(yīng)。

將式(20)代入式(18)可得到正則化的動(dòng)力學(xué)方程，即為

(21)

其中，

(22)

(23)

(24)

式中：Vel為單元中硬涂層的體積；hel可通過(guò)式(25)計(jì)算

(25)

由于式(23)需對(duì)每個(gè)單元中硬涂層的等效應(yīng)變進(jìn)行計(jì)算，為加快計(jì)算速度，本文利用最大等效應(yīng)變作如下簡(jiǎn)化

(26)

2.1 共振響應(yīng)的計(jì)算

采用Newton-Raphson法求解硬涂層圓柱殼的非線性振動(dòng)響應(yīng)，具體流程如圖3所示。

定義殘差向量為

(27)

如將描述硬涂層材料的多項(xiàng)式的階數(shù)取n=3，并將式(24)和式(26)代入式(27)可得

(28)

定義雅可比矩陣J為

(29)

式中：Re( )和Im( )分別為求括號(hào)內(nèi)表達(dá)式的實(shí)部和虛部的函數(shù)；?r/?qR和?r/?qI分別為殘差向量r對(duì)q的實(shí)部qR和虛部qI求偏導(dǎo)。

圖3 硬涂層圓柱殼的非線性共振響應(yīng)計(jì)算過(guò)程Fig.3 Nonlinear resonance response analysis process of hard-coating cylindrical shell

則此非線性動(dòng)力學(xué)方程的迭代格式可表示為

(30)

(31)

(32)

則節(jié)點(diǎn)位移向量xnew為

(33)

共振響應(yīng)的迭代終止條件可定義為

(34)

式中：| |和‖‖2分別為取絕對(duì)值函數(shù)和取2范數(shù)函數(shù)；ζx為振動(dòng)響應(yīng)求解精度。

2.2 共振頻率的計(jì)算

共振頻率的具體迭代過(guò)程，如圖4所示。

圖4 硬涂層圓柱殼的非線性共振頻率計(jì)算過(guò)程Fig.4 Nonlinear resonance frequency analysis process of hard-coating cylindrical shell

由式(32)求出qnew后，便可通過(guò)式(22)求得硬涂層的等效應(yīng)變?chǔ)舉，進(jìn)而根據(jù)式(24)更新硬涂層圓柱殼的總復(fù)剛度矩陣，硬涂層圓柱殼復(fù)合結(jié)構(gòu)的共振頻率可通過(guò)式(35)進(jìn)行求解

(35)

式中：ω=2πf(p)，p為共振頻率階次。

第p階共振頻率的迭代終止條件可定義為

(36)

式中：ζf為共振頻率的求解精度。

3 研究實(shí)例

(37)

(38)

該硬涂層圓柱殼的相關(guān)材料和幾何參數(shù)，如表1和表2所示。其中，表1中的儲(chǔ)能模量和損耗因子為應(yīng)變?yōu)?時(shí)的取值。

表1 硬涂層圓柱殼材料參數(shù)

表2 硬涂層圓柱殼幾何參數(shù)

3.1 硬涂層圓柱殼的線性振動(dòng)特性分析

利用復(fù)合圓柱殼單元建立有限元模型，如圖5所示。該有限元模型的網(wǎng)格大小為15 mm，其所包含的節(jié)點(diǎn)總數(shù)為480，單元總數(shù)為420。同時(shí)，為在ANSYS中獲得相對(duì)較為精確的計(jì)算結(jié)果，須將有限元模型的網(wǎng)格進(jìn)行一定的細(xì)化(網(wǎng)格大小設(shè)為1 mm)，細(xì)化后的有限元模型的節(jié)點(diǎn)總數(shù)為85 824個(gè)，單元總數(shù)為84 930個(gè)，如圖6所示。

根據(jù)本文所提出的簡(jiǎn)化的硬涂層圓柱殼非線性振動(dòng)特性的迭代求解方法(應(yīng)變?yōu)?時(shí))，得到了前5階的線性共振頻率，并與ANSYS線性結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如表3所示。

圖5 SHCIM硬涂層圓柱殼有限元模型Fig.5 The finite element model of hard-coating cylindrical shell of SHCIM

圖6 細(xì)化的ANSYS硬涂層圓柱殼有限元模型Fig.6 The refined finite element model of hard-coating cylindrical shell of ANSYS

階次12345SHCIM/Hz 1 321.81 351.11 474.71 597.31 759.2ANSYS/Hz1 314.31 332.61 473.81 566.31 759.8Error/%0.571.390.061.98-0.03

從表3可知，本文各階的線性共振頻率與ANSYS計(jì)算結(jié)果基本一致，各階共振頻率的平均誤差約為0.81%，而最大誤差約為1.98%。

任意提取某一階的結(jié)果，本文以第2階為例，SHCIM與ANSYS的硬涂層圓柱殼第2階振型圖對(duì)比，如圖7所示。其振型與ANSYS基本一致。在基礎(chǔ)激勵(lì)幅度分別為1g,3g,5g,7g,9g條件下，對(duì)硬涂層圓柱殼的線性共振響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算，并與ANSYS線性結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如表4所示。

圖7 SHCIM與ANSYS的硬涂層圓柱殼第2階振型對(duì)比Fig. 7 The 2nd-order modal shapes of hard-coating cylindrical shell calculated by SHCIM and ANSYS

激勵(lì)幅度1g3g5g7g9gSHCIM/(m·s-1)0.258 10.774 51.290 91.807 32.323 7ANSYS/(m·s-1)0.259 70.785 91.292 31.763 02.322 6Error/%-0.61-1.45-0.112.510.05

從表4可知，本文不同激勵(lì)幅度下的線性共振響應(yīng)的計(jì)算結(jié)果與ANSYS基本一致，各激勵(lì)幅度下的共振響應(yīng)平均誤差約為0.95%，而最大誤差約為2.51%。

由此可以看出，本文所開(kāi)發(fā)的復(fù)合圓柱殼單元的計(jì)算結(jié)果與ANSYS基本一致，最大誤差約為2.51%，而其有限元模型的網(wǎng)格密度僅約為ANSYS的1/15，驗(yàn)證了該復(fù)合圓柱殼單元的正確性和適用性。

3.2 硬涂層圓柱殼的非線性振動(dòng)特性分析

基于圖5中的復(fù)合圓柱殼單元和本文所提出的簡(jiǎn)化的硬涂層圓柱殼非線性振動(dòng)特性的迭代求解方法，得到了硬涂層圓柱殼前5階的非線性共振頻率，及其在基礎(chǔ)激勵(lì)幅度分別為1g,3g,5g,7g,9g下的非線性共振響應(yīng)(以第2階為例)，如表5和表6所示。

表5 各激勵(lì)幅度下硬涂層圓柱殼第2階非線性共振頻率

表6 各激勵(lì)幅度下硬涂層圓柱殼第2階非線性共振響應(yīng)

為更好地分析NiCoCrAlY+YSZ硬涂層的應(yīng)變依賴(lài)性對(duì)硬涂層圓柱殼復(fù)合結(jié)構(gòu)的共振頻率和共振響應(yīng)的作用效果，將硬涂層圓柱殼在第2階共振頻率附近的線性和非線性頻域響應(yīng)繪制,如圖8所示。

從圖8可知，隨著激勵(lì)幅度的增加，硬涂層圓柱殼的非線性共振頻率相對(duì)于線性的逐漸變小，說(shuō)明硬涂層使復(fù)合殼具有軟式非線性特點(diǎn)。另外，從共振響應(yīng)上看，在同一激勵(lì)幅度下，非線性計(jì)算獲得的共振響應(yīng)值小于線性計(jì)算結(jié)果，這或許說(shuō)明硬涂層的應(yīng)變依賴(lài)性特點(diǎn)對(duì)減振是有利的。

圖8 硬涂層圓柱殼第2階共振頻率附近的線性和非線性頻域響應(yīng)Fig.8 Frequency domain responses of hard-coating cylindrical shell near the 2nd-order resonance frequency

4 結(jié) 論

(1)在考慮硬涂層應(yīng)變依賴(lài)性的前提下，開(kāi)發(fā)了一種4節(jié)點(diǎn)36自由度的復(fù)合圓柱殼單元，其線性計(jì)算結(jié)果與ANSYS基本一致，最大誤差約為2.51%，而有限元模型的網(wǎng)格密度卻僅為ANSYS的1/15，驗(yàn)證了該復(fù)合圓柱殼單元的正確性和適用性。

(2)基于復(fù)合圓柱殼單元和Newton-Raphson法，提出了一種簡(jiǎn)化的硬涂層圓柱殼非線性振動(dòng)特性的迭代求解方法。

(3)隨著激勵(lì)幅度的增加，硬涂層圓柱殼的非線性共振頻率相對(duì)于線性的逐漸變小，說(shuō)明硬涂層使復(fù)合殼具有軟式非線性特點(diǎn)。另外，從共振響應(yīng)上看，同一激勵(lì)幅度下非線性的共振響應(yīng)值均小于其線性計(jì)算結(jié)果，這或許說(shuō)明硬涂層的應(yīng)變依賴(lài)性特點(diǎn)對(duì)減振是有利的。

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