張 勇，楊雪玲，舒永錄

(1.河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，河南 南陽 473000； 2.河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院汽車工程學(xué)院，河南 南陽 473000； 3.重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 401331)

0 引言

Chaos(混沌)一詞來源于希臘語，意味著非預(yù)測(cè)性.在哲學(xué)意義下，它相對(duì)于規(guī)律和有序是混沌，但并不是說混沌是雜亂無章的、無序的.混沌是有序和無序的統(tǒng)一.混沌存在于非線性科學(xué)領(lǐng)域的很多學(xué)科中，如物理學(xué)、生物學(xué)、密碼學(xué)、電子電路、社會(huì)學(xué)等.很多文獻(xiàn)從多個(gè)角度來研究混沌系統(tǒng)的性質(zhì)及其在非線性科學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用.[1-11]

1963年，E.N.Lorenz在研究大氣的對(duì)流運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)現(xiàn)并命名具有對(duì)初始條件敏感依賴的三維非線性Lorenz混沌系統(tǒng)[9]，大量的論文和專著揭示了Lorenz混沌系統(tǒng)理論研究的重要意義和工程應(yīng)用價(jià)值.1975年，國際著名混沌學(xué)者T.Y.Li和J.A.Yorke在學(xué)術(shù)論文中給出了 “l(fā)i-Yorke chaos”的定義，從此揭開了混沌與混沌系統(tǒng)研究的序幕.

在Lorenz混沌系統(tǒng)研究的基礎(chǔ)上，超混沌Lorenz系統(tǒng)、混沌Chua電路系統(tǒng)、Rossler混沌系統(tǒng)、Chen混沌系統(tǒng)、超混沌MCK電路系統(tǒng)等也得到了深入的研究.[12-24]

金融混沌系統(tǒng)的有界性在控制科學(xué)和工程中起著重要的作用.本文依據(jù)動(dòng)力系統(tǒng)的基本理論與方法對(duì)一類金融動(dòng)力系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了研究，這有助于加深人們對(duì)各種金融政策的理解，該混沌系統(tǒng)可應(yīng)用于控制工程、圖像加密等領(lǐng)域中.

1 數(shù)學(xué)模型及其主要結(jié)果

馬軍海和C.Ma等[25-26]研究的一類三維金融混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為

(1)

圖1 系統(tǒng)(1)軌線的相圖

其中：變量x，y和z分別代表利率、投資需要和價(jià)格指數(shù)；a，b，c是系統(tǒng)的正參數(shù)，分別代表節(jié)省成本、單位投資成本和市場需要的彈性數(shù).當(dāng)a=3.0，b=0.1，c=1.0時(shí)，系統(tǒng)(1)軌線的相圖見圖1.

1.1 對(duì)稱性和不變性

系統(tǒng)(1)具有對(duì)稱性，即在坐標(biāo)變換(x，y，z)→(-x，y，-z)下，系統(tǒng)(1)保持不變.y軸為系統(tǒng)(1)的一個(gè)正向不變集，當(dāng)t→+∞時(shí)，從y軸上任何點(diǎn)出發(fā)的軌線都趨于點(diǎn)(0，0，0).

1.2 耗散性和吸引子的存在性

金融混沌系統(tǒng)(1)的耗散度為

從而系統(tǒng)(1)是最終耗散的，并且金融混沌系統(tǒng)(1)存在混沌吸引子.

1.3 奇點(diǎn)及其拓?fù)漕愋?/h3>

當(dāng)c-b-abc=0，01時(shí)，平衡點(diǎn)S0為漸進(jìn)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)；當(dāng)c-b-abc>0時(shí)，由中心流形定理可知當(dāng)平衡點(diǎn)P1和P2在正參數(shù)a，b，c滿足條件bc4+b2c3-2ab2c2+(2ab-2-3b2)c+3b=0時(shí)，系統(tǒng)(1)可能出現(xiàn)分岔，因此平衡點(diǎn)P1和P2的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)類型變得非常復(fù)雜.

1.4 全局吸引性

定理對(duì)任意的a>0，b>0，c>0，系統(tǒng)(1)的軌線存在指數(shù)估計(jì)式為

V(X(t))-L0≤(V(X(t0))-L0)e-θ(t-t0).

從而

Ω={(x，y，z)|V(X(t))≤L0}

為系統(tǒng)(1)的一個(gè)全局指數(shù)吸引集.其中

V(X)=x2+y2+z2；

證明定義李雅普諾夫函數(shù)V(X)=x2+y2+z2.

當(dāng)V(X(t))>L0，V(X(t0))>L0，沿著系統(tǒng)(1)求導(dǎo)

對(duì)上述不等式兩邊積分，當(dāng)V(X(t))>L0，V(X(t0))>L0時(shí)，有

V(X(t))-L0≤(V(X(t0))-L0)e-θ(t-t0).

令t→+∞，對(duì)上述不等式兩邊取上極限

即

Ω={(x，y，z)|x2+y2+z2≤L0}

為系統(tǒng)(1)的一個(gè)全局指數(shù)吸引集.其中

2 數(shù)值仿真

取參數(shù)a=3.0，b=0.1，c=1.0[25-26]，由定理可知θ=min(a，c，b)=0.1，系統(tǒng)的正半軌線最終進(jìn)入集合

圖2 系統(tǒng)的正半軌線最終界估計(jì)

系統(tǒng)(1)的正半軌線的最終界估計(jì)如圖2所示.由圖2可見，系統(tǒng)的軌線最終進(jìn)入三維球內(nèi).

3 結(jié)論

本文從數(shù)學(xué)理論上定量和定性分析了一類金融動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.這有助于加深人們對(duì)各種金融政策的理解，可應(yīng)用于控制工程、圖像加密等領(lǐng)域中.該混沌系統(tǒng)的其他一些動(dòng)力學(xué)特性，如混沌控制、混沌同步和分岔行為等還有待于進(jìn)一步研究.

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