□ 張小安

1.四川文理學(xué)院智能制造學(xué)院 四川達(dá)州 635000

2.達(dá)州智能制造產(chǎn)業(yè)技術(shù)研究院 四川達(dá)州 635000

1 研究背景

直齒錐齒輪是齒輪中較復(fù)雜的一種齒輪，其空間形狀復(fù)雜，可以完成兩相交軸間的傳動(dòng)，是現(xiàn)代各行業(yè)中重要裝備的關(guān)鍵零件［1-5］。直齒錐齒輪因具有傳動(dòng)平穩(wěn)、噪聲小、效率高及承載能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于航空、航海、汽車等制造行業(yè)的機(jī)械設(shè)備中［6-7］。直齒錐齒輪在重載、振動(dòng)及大扭矩等工況下會(huì)產(chǎn)生復(fù)雜的接觸應(yīng)力，同時(shí)因外界激勵(lì)產(chǎn)生機(jī)械振動(dòng)，當(dāng)激勵(lì)頻率和齒輪固有頻率接近時(shí)，會(huì)產(chǎn)生共振現(xiàn)象。共振現(xiàn)象不僅導(dǎo)致嚙合噪聲增大，而且會(huì)使輪齒受損甚至嚙合副失效。

模態(tài)分析是確定振動(dòng)特性的一種方法，它可以識(shí)別系統(tǒng)的固有頻率、振型等參數(shù)，指出系統(tǒng)在某頻段內(nèi)因激勵(lì)作用而產(chǎn)生的實(shí)際振動(dòng)響應(yīng)［8-9］。隨著分析技術(shù)的不斷進(jìn)步，有很多文獻(xiàn)對(duì)圓柱直齒輪、斜齒輪的固有頻率及振型進(jìn)了分析，但直齒錐齒輪模態(tài)分析方面的文獻(xiàn)卻很少。

筆者利用Pro/E軟件強(qiáng)大的實(shí)體造型功能，建立直齒錐齒輪的實(shí)體模型，并將其導(dǎo)入ANSYS有限元分析軟件進(jìn)行模態(tài)分析，最終得到固有頻率和振型，為后續(xù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化、動(dòng)力學(xué)分析奠定基礎(chǔ)。

2 直齒錐齒輪建模

2.1 實(shí)體模型

直齒錐齒輪建模過程煩瑣，其中對(duì)齒廓曲線的建模既困難又重要，特別是在后續(xù)有限元模型中，齒廓曲線的精度對(duì)有限元分析結(jié)果有直接影響。筆者利用Pro/E軟件建模功能，采用自底向上，即點(diǎn)-線-面-體的方法建立直齒錐齒輪實(shí)體模型［11］，如圖1所示。

2.2 有限元模型

所建立的直齒錐齒輪有限元模型如圖2所示，具體方法如下：從ANSYS軟件的File下拉菜單Import中導(dǎo)入.lges格式實(shí)體模型，采用Solid185單元，使用程序默認(rèn)的6級(jí)精細(xì)程度進(jìn)行自由網(wǎng)格劃分。通過以上方法即可得到有限元模型。模型共劃分為120 734個(gè)節(jié)點(diǎn)、639 010個(gè)單元。齒輪材料為20CrMnTi，具有較高的強(qiáng)度和韌性，其彈性模量E=207 GPa，泊松比μ=0.25，密度 ρ=7.8×103kg/m3。

▲圖1 直齒錐齒輪實(shí)體模型

▲圖2 直齒錐齒輪有限元模型

3 模態(tài)分析理論基礎(chǔ)

由振動(dòng)理論及彈性力學(xué)有限元法得到結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)微分方程為：

式中：［M］、［C］、［K］依次為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、 剛度矩陣；依次為結(jié)構(gòu)的加速度向量、速度向量、位移向量；｛F（t）｝為結(jié)構(gòu)的激振力向量。

進(jìn)行分析時(shí)，忽略外界激勵(lì)影響，即｛F（t）｝=0。 此外，結(jié)構(gòu)阻尼較小，對(duì)結(jié)構(gòu)的頻率和振型影響較小，可忽略不計(jì)。最終得到無(wú)阻尼振動(dòng)微分方程為：

對(duì)式（2）進(jìn)行求解變換，可得到特征方程為：

式中：ω為系統(tǒng)的固有頻率；φ為相應(yīng)特征矢量。

將特征方程展開，可以得到一個(gè)關(guān)于ω2的n次多項(xiàng)式，解此多項(xiàng)式即可得到結(jié)構(gòu)的固有頻率。將求得的固有頻率代入式（3），可求得特征向量，從而獲得對(duì)應(yīng)頻率的振型［12-13］。

4 有限元模態(tài)分析求解

對(duì)直齒錐齒輪進(jìn)行模態(tài)分析求解，可以求出直齒錐齒輪由自身結(jié)構(gòu)、材料等因素所決定的各階固有頻率及所對(duì)應(yīng)的主振型。在求解時(shí)，對(duì)齒輪的自由度進(jìn)行約束，即對(duì)齒輪內(nèi)孔表面及鍵槽各面進(jìn)行約束。采用分塊蘭喬斯法，模態(tài)設(shè)置提取階數(shù)為10，即分析前十階固有頻率，進(jìn)行擴(kuò)展求解，得到直齒錐齒輪前十階頻率，見表1。由表1可以看出有些頻率值比較接近，這是由于齒輪結(jié)構(gòu)對(duì)稱導(dǎo)致頻率和振型相同但相位不同的情況。前十階固有頻率所對(duì)應(yīng)的主振型如圖3～圖12所示。

表1 直齒錐齒輪固有頻率 Hz

圖3～圖12顯示的均為最能反映模態(tài)振型的方向。一階模態(tài)主振型是在XOZ平面內(nèi)繞軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)振動(dòng)。二階、三階模態(tài)頻率相近，對(duì)應(yīng)的主振型都是沿軸線的擺動(dòng)。四階模態(tài)主振型為XOY平面內(nèi)齒輪一側(cè)的彎曲振動(dòng)。五階、六階模態(tài)頻率相近，對(duì)應(yīng)的主振型都是空間復(fù)雜的彎曲振動(dòng)。七階、八階模態(tài)頻率相近，對(duì)應(yīng)的主振型都是XOZ平面內(nèi)繞軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)振動(dòng)，但這一主振型不同于一階模態(tài)主振型之處在于，一階模態(tài)主振型是順著一個(gè)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)振動(dòng)，而七階、八階模態(tài)主振型是XOZ平面的對(duì)稱轉(zhuǎn)動(dòng)振動(dòng)，即以某輪齒為中心，兩邊的輪齒同時(shí)向遠(yuǎn)離或靠近該輪齒的方向轉(zhuǎn)動(dòng)振動(dòng)。九階、十階模態(tài)頻率相近，對(duì)應(yīng)的主振型都是XOZ平面內(nèi)更加復(fù)雜的彎曲振動(dòng)，和五階、六階模態(tài)主振型不同之處在于，五階、六階模態(tài)主振型在XOZ平面內(nèi)沿Y軸觀察有兩個(gè)凸峰值和兩個(gè)凹谷值，而九階、十階模態(tài)主振型在XOZ平面內(nèi)沿Y軸觀察有三個(gè)凸峰值和三個(gè)凹谷值。

▲圖3 直齒錐齒輪一階振型

▲圖4 直齒錐齒輪二階振型

5 結(jié)論

（1）應(yīng)用Pro/E軟件通過點(diǎn)-線-面-體的方法建立了直齒錐齒輪的參數(shù)化實(shí)體模型，以.lges格式導(dǎo)入ANSYS軟件，通過網(wǎng)格劃分技術(shù)得到了直齒錐齒輪的有限元模型。

▲圖5 直齒錐齒輪三階振型

▲圖6 直齒錐齒輪四階振型

▲圖9 直齒錐齒輪七階振型

▲圖10 直齒錐齒輪八階振型

（2）應(yīng)用ANSYS有限元分析軟件計(jì)算分析了直齒錐齒輪的前十階固有頻率和各頻率所對(duì)應(yīng)的主振型，通過后處理程序得到了前十階固有頻率和振型圖，用于觀察、分析直齒錐齒輪的模態(tài)與振型。

▲圖7 直齒錐齒輪五階振型

▲圖8 直齒錐齒輪六階振型

（3）在直齒錐齒輪的設(shè)計(jì)、使用中，通過避免外部動(dòng)態(tài)激勵(lì)和內(nèi)部載荷作用下頻率和自身固有頻率相同或接近，進(jìn)而避免共振現(xiàn)象的發(fā)生。

（4）對(duì)直齒錐齒輪進(jìn)行模態(tài)及振型分析可知，直齒錐齒輪可能出現(xiàn)圓周振動(dòng)和空間彎曲振動(dòng)。

▲圖11 直齒錐齒輪九階振型

▲圖12 直齒錐齒輪十階振型

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