賈 梟，張國良，徐 君，杜柏陽，林志林

火箭軍工程大學 301教研室，西安 710025

1 引言

多機器人編隊控制是指系統(tǒng)中各個機器人利用通信協(xié)議，通過分布式控制形成并保持既定幾何構型，在衛(wèi)星編隊、無人機編隊、多機械臂系統(tǒng)、集群機器人救護等方面得到廣泛應用研究[1-3]。編隊控制由此成為多機器人協(xié)同控制領域研究的熱點問題。

Jadbabaie等[4]運用代數(shù)圖論知識證明了多智能體系統(tǒng)存在一致性，進而為基于一致性理論的編隊控制研究奠定基礎。Jiang等[5]利用采樣控制方法研究了一階多機器人系統(tǒng)的一致性問題?？紤]多機器人系統(tǒng)編隊的實際環(huán)境，系統(tǒng)中個體交換信息不可避免存在通信時延，所以在多機器人系統(tǒng)的一致性研究中，時延問題一直是研究的重點[6-7]。連續(xù)系統(tǒng)方面，Liu等[8]采用容積控制方法對二階多機器人系統(tǒng)的時變時延問題進行分析，并推導得到系統(tǒng)實現(xiàn)一致性的充分條件。離散系統(tǒng)方面，Zhong等[9]基于模型預測控制方法對二階的離散時延問題進行了研究。進一步考慮高階系統(tǒng)，Xi等[10]通過引入一致性子空間及其補子空間，將高階線性時變系統(tǒng)的一致性問題轉化為帶有時延的低維子系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。

現(xiàn)在許多編隊控制一致性分析都是針對同構系統(tǒng)而言的，即假設多機器人系統(tǒng)中所有個體具有相同的動力學模型，然而此種假設在很多應用中是不符合實際情景的。于是，眾多學者開始對異構系統(tǒng)展開研究。連續(xù)系統(tǒng)方面，鄭元世等[11]利用圖論和Lyapunov穩(wěn)定性理論得出異構系統(tǒng)在無向拓撲圖中實現(xiàn)一致性的充分條件。Kim等[12]針對異構系統(tǒng)在有無領導者兩種情形的一致性問題，基于Lyapunov理論設計一致性協(xié)議，并證明其收斂性。離散系統(tǒng)方面，Liu等[13]研究了離散時間異構多智能體一致性問題，得到了離散系統(tǒng)實現(xiàn)一致性的充分條件。

上述文獻[11-13]從不同角度對異構多機器人系統(tǒng)編隊控制進行研究，取得了一些研究成果。以上研究都是基于無向通信拓撲，但是在現(xiàn)實環(huán)境中，系統(tǒng)的各個機器人不可能始終保持相互通信，因此對于有向通信拓撲情況下異構多機器人系統(tǒng)的編隊控制研究更具實際工程意義。此外，雖然目前對同構系統(tǒng)的時延問題研究較為成熟[6-9]，但是當異構多機器人系統(tǒng)存在時延時，同時對系統(tǒng)中不同階機器人進行一致性分析的難度增大，而學者們對此類問題的研究依舊較少。本文基于領航跟隨者模式展開系統(tǒng)編隊控制一致性的研究，對跟隨者機器人提出一致性控制協(xié)議，降低了同時對不同階機器人進行一致性分析的難度。

本文的主要工作在于考慮有向通信拓撲，在零時延和固定時延情況下，開展對異構多機器人系統(tǒng)的編隊精確控制問題的研究。首先基于領航跟隨者模式，分別針對零時延和固定時延時的一、二階異構多機器人系統(tǒng)的編隊控制問題，提出相應的一致性控制協(xié)議。然后利用圖論與矩陣分析方法，得到零時延系統(tǒng)實現(xiàn)編隊控制的充要條件。進一步構造Lyapunov-Razumikhin函數(shù)，分析得到固定時延系統(tǒng)在Lyapunov意義下穩(wěn)定的充分條件。最后通過仿真算例，驗證一致性控制算法的正確性。

2 異構多機器人編隊模型建立

2.1 異構系統(tǒng)編隊模型

采用領航跟隨者法，建立異構多機器人系統(tǒng)編隊模型。考慮由n+1個機器人組成的連續(xù)時間異構多機器人系統(tǒng)，其中一個一階機器人為領航者，其余n個二階機器人為跟隨者。于是可將異構系統(tǒng)編隊模型描述如下：

其中，p0(t)，q0(t)∈?為一階機器人的位置和常速度；pi(t)，qi(t)，ui(t)∈?為系統(tǒng)中二階機器人的位置、速度和控制輸入。

定義1對于異構編隊系統(tǒng)（1），如果各狀態(tài)量滿足以下要求，則系統(tǒng)實現(xiàn)預期編隊和漸近速度一致，完成編隊任務[14]：

注1領航跟隨者模式下的異構系統(tǒng)（1）編隊控制問題的實質是設計合理的跟隨者控制輸入ui(t)，使系統(tǒng)中各個跟隨者的狀態(tài)參量與領航者達到一致。因此針對系統(tǒng)（1）的不同時延情況，設計與選擇合適的控制輸入ui(t)進行分析與討論是實現(xiàn)異構多機器人系統(tǒng)編隊控制的關鍵所在。

2.2 通信拓撲

針對基于領航跟隨者模式的異構編隊系統(tǒng)（1），定義拓撲圖它表示節(jié)點集為邊集為，跟隨者鄰接矩陣為的異構多機器人系統(tǒng)，其中v0表示領航者，vk(k=1,2,…,n)表示跟隨者。如果領航者v0與其他每個跟隨者vk(k =1,2,…,n)之間都存在一條有向路徑，那么稱領航者v0全局可達。同時，為描述各跟隨者與領航者之間的鄰接關系定義B=diag(bii)(i =1,2,…,n)，如果跟隨者vk(k =1,2,…,n)與領航者v0之間存在直接通信鏈路即bii>0否則bii=0。

根據(jù)附加權重的有向圖鄰接關系的定義，通常以Laplacian矩陣L表示一個圖。它定義為：

3 編隊控制一致性算法

一致性算法是指針對異構編隊系統(tǒng)的輸入ui(t)設計合理的一致性控制協(xié)議，從而使系統(tǒng)各個個體的狀態(tài)量達到一致。此算法具有較強的工程實踐意義，因此廣泛應用于多機器人的編隊控制研究[4-14]。針對異構編隊系統(tǒng)（1），在零時延和固定時延兩種情況下提出相應的一致性控制協(xié)議。

3.1 零時延一致性協(xié)議設計

針對異構編隊系統(tǒng)的零時延情形，提出如下一致性控制協(xié)議：

其中k>0表示控制參數(shù)，ri表示期望隊形中各跟隨者與領航者的相對距離。

令 p=[p1,p2,…,pn]T,q=[q1,q2,…,qn]T,r=[r1,r2,…,rn]T。將一致性協(xié)議（2）帶入系統(tǒng)（1）跟隨者模型中整理得到下面向量形式：

令 x=p-p0?1-r和v=q-q0?1，可以得到系統(tǒng)（3）的誤差模型：

令那么誤差系統(tǒng)（4）可以寫成如下形式：

其中系統(tǒng)矩陣

3.2 固定時延一致性協(xié)議設計

針對異構編隊系統(tǒng)的零時延情形，提出如下一致性控制協(xié)議：

其中k>0表示控制參數(shù)，ri表示期望隊形中各跟隨者與領航者的相對距離，令τij=τji表示節(jié)點i與節(jié)點 j之間的通信時延。

為描述方便，令 τr∈{τij:i,j=1,2,…,n,i≠j} ，其中r=1,2,…,m(m ≤n(n -1) )。定義系統(tǒng)通信拓撲圖Gˉ的子圖，相應的鄰接矩陣，度矩陣 D，Laplacian矩r陣Lr和領導者的鄰接矩陣Βr[14]。由于每個子圖不相關那么有

記 p=[p1,p2,…,pn]T,q=[q1,q2,…,qn]T,r=[r1,r2,…,rn]T。將一致性協(xié)議（6）帶入系統(tǒng)（1）跟隨者模型中整理得到下面向量形式：

令同樣的，可以得到系統(tǒng)（7）的誤差模型：

其中系統(tǒng)矩陣

注2針對零時延和固定時延情況下的異構系統(tǒng)編隊控制問題，分別提出一致性算法，得到了相應的編隊誤差系統(tǒng)模型（5）與（8），從而將系統(tǒng)的編隊控制一致性問題轉化穩(wěn)定性問題。算法的目標：當t→∞時，ε(t)→0即實現(xiàn)穩(wěn)定的異構系統(tǒng)編隊控制。

4 編隊控制一致性分析

主要是對誤差系統(tǒng)（5）與（8）進行穩(wěn)定性分析，確定系統(tǒng)的控制參數(shù)k與時延τr的范圍，得到系統(tǒng)在零時延和固定時延兩種情況下實現(xiàn)編隊控制的基本條件。

4.1 零時延編隊控制分析

定理1，控制參數(shù)k滿足k2>（Re表示實部，Im表示虛部），同時 minμ∈ρ(F)Reμ≠0，其中 ρ(F )表示n×n矩陣F的所有特征值。此時，maxθ∈ρ(Q)Reθ<0當且僅當F為正穩(wěn)定矩陣即F的所有特征值都具有正實部。

證明 根據(jù)矩陣論知識可以得到det(θ I2n-Q)=，其中θ表示Q的特征值。

充分性：首先當θ=0時，根據(jù)Laplace定理可知det(F)=0而這與F為正穩(wěn)定矩陣相矛盾。其次，當θ ≠0時，det(θ I2n-Q)=det(θ (θ +k) In+F)=0即-θ(θ +k)是矩陣F的特征值。不失一般性，假設-θ(θ +k)=μ(μ ∈ρ(F ))。令 θ=θ1+iθ2以及 μ=λ+iη，θ1，θ2，λ，η∈R，存在以下等式：

消去θ2，上式可化為：

由于 根據(jù) Routh-Hurwitz定理知θ1<0 ，所以 maxθ∈ρ(Q)Reθ<0。

必要性：由于 maxθ∈ρ(Q)Reθ<0，對于式（10）根據(jù)韋達定理得可知λ>0即F為正穩(wěn)定矩陣。

引理1[15]在拓撲圖G中節(jié)點0全局可達當且僅當矩陣H=L+B正穩(wěn)定。

定理2誤差系統(tǒng)（5）在固定拓撲中漸近達到一致性的充分條件是：（1）通信拓撲中節(jié)點0全局可達；（2）控制參數(shù)k滿足，其中 ρ()F表示n×n矩陣F的所有特征值。具體來說有：

4.2 固定時延編隊控制分析

定理3控制協(xié)議（6）中的系統(tǒng)控制參數(shù)k滿足k2>且存在常數(shù)

當 τr<τ0時誤差系統(tǒng)（8）實現(xiàn)穩(wěn)定即

的充分條件是通信拓撲圖中的節(jié)點0全局可達。

證明 首先根據(jù)牛頓-萊布尼茲定理可得：

由于并且有：

那么

其中

由Lyapunov定理[16]可知，存在正定矩陣W∈Rn×n滿足

其中E為正定矩陣。

構造Lyapunov-Razumikhin函數(shù)為：

結合式（13），V()ε的導數(shù)可表達為：

因為對于任意正定矩陣Φ以及列向量a和b都有±2aTb≤aTΦa+bTΦ-1b，所以式（15）可化作：

安全約束最優(yōu)潮流的實用模型及故障態(tài)約束縮減方法//郭瑞鵬,邊麟龍,宋少群,余秀月,湯偉,楊鋮//(13):161

由Lyapunov定理[17]可知，當τ∈[- τ0,0] 時，V(ε (t +s))<φ(ε (t) )，令 φ(s)=αs(α >1)，則有：

于是可得當：

則(V)

ε<0，由Lyapunov漸近穩(wěn)定定理可知誤差系統(tǒng)（8）實現(xiàn)穩(wěn)定，定理3得證。

注3主要是對系統(tǒng)編隊控制一致性進行分析。針對零時延情形，根據(jù)矩陣分析與Routh-Hurwitz定理，得到零時延誤差系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍與通信拓撲滿足的條件?；诹銜r延情形的基本結論，構造Lyapunov-Razumikhin函數(shù)，分析得到固定時延誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的τr的范圍。

5 仿真算例

主要對本文研究的理論結果進行仿真驗證。通過MATLAB仿真，實現(xiàn)異構多機器人系統(tǒng)在領航跟隨者模式下的編隊控制。

5.1 參數(shù)初始化

將期望的編隊隊形設置為正方形，初始位置和速度見表1（隨機設置）。異構編隊系統(tǒng)的通信拓撲關系如圖1。

那么，由其通信拓撲可知異構編隊系統(tǒng)跟隨者模型的Laplacian矩陣L為：

表1 參數(shù)設置

圖1 通信拓撲

5.2 零時延編隊仿真

基于5.1節(jié)的參數(shù)設置，并且設控制參數(shù)k=1，此時利用MATLAB進行仿真驗證。

如圖2～4所示，根據(jù)已推導得到的理論，系統(tǒng)中的0節(jié)點機器人全局可達且k=1，那么異構多機器人系統(tǒng)實現(xiàn)編隊控制。仿真算例中，異構系統(tǒng)的各個機器人狀態(tài)由圖例對應表示，圖2表示異構多機器人編隊的運動軌跡，初始位置隨機給出，當機器人運動時間超過15 s，位移超過2 m時，各個機器人到達表1所示期望相對位置，正方形隊形逐漸形成，并在隨后過程中保持編隊隊形。圖3表示異構多機器人編隊在x方向和y方向的位移變化，未形成編隊前位移相差較大，15 s后逐漸達到期望位置。圖4則表示了異構多機器人編隊在x方向和y方向的速度變化，未形成編隊時速度變化劇烈，15 s后各個機器人x方向和y方向的速度都趨于1 m/s，即速度亦趨于穩(wěn)定、一致。

圖2 異構編隊系統(tǒng)的運動軌跡

5.3 固定時延編隊仿真

基于5.1節(jié)的參數(shù)設置，并且設控制參數(shù)k=1.5，此時利用MATLAB進行仿真驗證。

圖3 x方向和y方向的位置變化曲線

圖4 x方向和y方向的速度變化曲線

如圖5～7所示，根據(jù)定理3可知時延上界為τ0=0.356，考慮選取 τ10=τ30=τ1=0.1，τ12=τ43=τ2=0.2，τ23=τ3=0.3，系統(tǒng)中的0節(jié)點機器人全局可達且控制參數(shù)k=1.5，此種情況下異構多機器人系統(tǒng)最終能夠實現(xiàn)編隊控制。仿真算例中，異構系統(tǒng)的各個機器人狀態(tài)由圖例對應表示，圖5表示異構多機器人編隊的運動軌跡，當機器人運動時間超過20 s，位移超過3.5 m時，各個機器人到達表1所示期望相對位置，正方形隊形逐漸形成，并保持隊形繼續(xù)運動。圖6表示機器人編隊系統(tǒng)在x方向和y方向的位移變化情況，圖7則表示機器人編隊在x方向和y方向的速度變化，20 s后各個機器人的x方向和y方向的速度都趨于1 m/s，相較于圖4可以發(fā)現(xiàn)，固定時延時機器人的速度前期變化更為劇烈，并且需要更多的時間實現(xiàn)穩(wěn)定和一致。

圖5 機器人編隊系統(tǒng)的運動軌跡

圖6 x方向和y方向的位置變化曲線

圖7 x方向和y方向的速度變化曲線

6 結論

本文研究了異構多機器人系統(tǒng)相互通信時延的編隊精確控制問題。首先，考慮零時延與固定時延兩種情況，為降低同時對不同階機器人進行編隊控制一致性分析的難度，對領航跟隨者模式的異構多機器人系統(tǒng)提出線性一致性控制協(xié)議。然后，根據(jù)矩陣分析與Routh-Hurwitz定理，得到零時延系統(tǒng)實現(xiàn)編隊控制的充要條件。在此基礎上，構造Lyapunov-Razumikhin函數(shù)，分析得到固定時延系統(tǒng)實現(xiàn)編隊控制的充分條件。最后，通過兩個仿真算例，表明本文所得結論的正確性和有效性。

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