王 燕，羅彥君

蘭州理工大學 計算機與通信學院，蘭州 730050

1 引言

近年來，隨著復雜網絡理論在各領域的發(fā)展，傳染病的傳播已經成為一個熱門的研究課題并吸引了很多學術界的關注和興趣。如SARS、禽流感和甲型H1N1等傳染疾病的傳播。為了描述傳染病在網絡中的傳播動力過程，許多研究人員已經研究了多種傳播模型，如SI模型[1-3]、SIS模型[4-7]、SIR 模型[8-10]、SIRS模型[11-12]。這些模型的研究在預測和控制傳染病的傳播中起著重要的作用。隨著研究的深入，對傳染病的傳播問題的研究也層層遞進。為了進一步了解現(xiàn)實世界中傳染病的傳播動態(tài)，許多研究人員對無標度網絡上的傳染病傳播進行了研究。Pastor-Satorras與Vespignani研究了無標度網絡中的病毒傳播。研究發(fā)現(xiàn)，無限大規(guī)模的無標度網絡中的病毒傳播臨界值趨于0也就意味著只要病毒傳播率大于0，病毒就能傳播[13]。Huang等人基于SIR傳播模型在無標度網絡中研究了具有相同傳染性的病毒傳播動力學行為。研究發(fā)現(xiàn)，如果模型的基本再數小于1，則無疾病平衡在全局漸近穩(wěn)定，否則，地方性平衡在全球漸近穩(wěn)定[14]。Kang等人在無標度網絡上研究了具有時滯的傳染病傳播行為，發(fā)現(xiàn)時滯可以影響傳染病達到均衡的收斂速度[15]。然而上述的研究多關注于網絡上單類型的傳播動力學問題，如網絡拓撲對疾病爆發(fā)的閾值（或者說疾病的基本再生數）和傳播范圍的影響；不同傳播模型在不同網絡拓撲下的傳播閾值和傳播范圍；針對不同網絡，如何設計有效的免疫策略等。

但是值得注意的是，僅僅從傳染病傳播動力學本身出發(fā)是不夠全面的。因為在現(xiàn)實生活中，傳染病的爆發(fā)必然會引起個體的反應，而個體的反應會反過來影響傳染病的傳播。許多研究人員對個體行為反應與傳染病之間的相互作用進行了研究。例如，Liu等人考慮局域信息的意識行為，在SIR模型的基礎上引進一個新的狀態(tài)——警覺狀態(tài)(SF)，所有處于警覺狀態(tài)的健康個體的感染率都相同并且小于易感染態(tài)的概率。研究表明，局部意識行為可以降低疾病的傳播閾值和感染范圍[16]。Meloni等人研究個體遷移對傳染病的影響即個體為了自我保護從傳染病流行度高的地區(qū)遷移到相對安全的地區(qū)，研究表明這種行為會使傳染病更大范圍地擴散[17]。Li等人在無標度網絡中引進反饋機制即健康個體會有意識地主動減少與鄰居感染個體接觸的次數來降低被感染的概率。研究表明，反饋機制的引入能夠減緩疾病蔓延和最終被感染個體的規(guī)模[18]。

上述文獻都研究了在健康個體知道傳染病后所有個體針對傳染病的采取的反應是一致的，并且采取行為反應的個體對傳染病的重視程度都是一樣情況下的傳染病傳播特性。但是在真實生活中每個個體的反應是不相同的，當個體知道有傳染病這一消息后，有些個體認為性命攸關就非常重視，然而也有些個體認為無關緊要就不重視傳染病，重視傳染病的易染個體也稱為具有個體重視的易染個體。具有個體重視的易染個體一般采取一些行為來預防被感染如減少出門、戴口罩、講衛(wèi)生等。并且每個具有個體重視的易染個體對傳染病的重視度不一定相同。根據上述因素，本文在經典的SIR模型上提出了一種無標度網絡中具有個體重視的SIR模型。引入網絡的基本度量參數和具有個體重視的易染個體所占的比例p以及個體重視度α，并以此建立所提模型的動力學方程。運用平均場理論方法求解所建動力學方程，并分析所提出模型的動力學行為。研究改進的和標準的模型傳播閾值和分析具有個體重視的易染個體的比例和個體重視度對傳染病傳播過程的影響。

2 基于個體重視的SIR模型

2.1 經典的SIR模型

在無標度網絡的SIR模型中，每一個節(jié)點代表一個個體，邊表示個體之間的聯(lián)系。在SIR模型中，個體有三個基本的狀態(tài)：易染狀態(tài)（susceptible）、感染狀態(tài)（infected）和被移除狀態(tài)（removed）。經典的SIR模型描述一類易染個體被治愈后變成免疫狀態(tài)的傳染病，而且免疫狀態(tài)的個體不會再次被感染變成感染狀態(tài)，也不具有傳染特性。其感染機制如圖1所示。

圖1 經典的SIR模型

其中每個時間步內，每個易感染個體如果和感染個體接觸，則易感染個體以λ的概率被感染變成感染個體，感染個體則以μ的概率被治愈變成被移除個體。在每一個給定的時刻，個體處于三種狀態(tài)之一，其中Sk(t)、Ik(t)和Rk(t)分別表示在t時刻度為k的三類個體所占群體的比例，并滿足歸一化條件：

基于平均場理論可得，無標度網絡中Sk(t)、Ik(t)和Rk(t)隨時間t演化的非線性微分方程為：

θ(t)為定義的輔助函數，表示t時刻任意一個節(jié)點與感染節(jié)點相連的概率。因此θ(t)獨立于節(jié)點的度，可以表示為：

其中為網絡中節(jié)點的平均度數。

2.2 改進的SIR模型

在改進的模型中，假設在個體總數N恒定下，具有個體重視的易染個體所占的比例為p(0

（1）具有個體重視的易染個體，則以λ′的概率變成感染個體。或者不具有個體重視的易染個體則以λ的概率變成感染個體。

（2）被感染個體以概率β被治愈變成被移除個體。

改進模型如圖2。

圖2 改進的SIR模型

由于無標度網絡中的節(jié)點是不均勻的，所以每個健康個體的鄰居感染數不同。因此，每個具有個體重視的不同度的易染個體的重視程度是不一樣的。根據無標度的異質性，每個具有個體重視的易染個體的鄰居被感染的越多，易染個體的重視度越大，易染個體被感染的概率就越低。因此用鄰居感染數kinf和一般個體重視度α來刻畫具重視傳染病的個體的重視度。設kinf為度為k的易染個體的感染鄰居數，α為具有個體重視的易染個體了解某個鄰居被感染后的個體重視度，則無標度網絡中度為k的易染個體的個體重視度為g(α,kinf)=1-(1-α)kinf。易染個體的重視度越大越容易采取措施來降低被感染的可能性，進而導致具有個體重視的易染個體的感染率降低，因此具有個體重視的易染個體的被感染率可以定義為：λ'=(1-g)λ=(1-α)kinfλ。

根據圖2所示的SIR傳播模型，由動力學平均場理論可得Sk(t)、Ik(t)和Rk(t)隨時間t演化的微分方程組為：

式 -(1-p)λkSk(t)θ(t)-p(1-α)kinfSk(t)θ(t)中，第一項表示度為k的不具有個體重視的易染節(jié)點產生新感染節(jié)點的密度。第二項表示度為k的具有個體重視的易染節(jié)點產生新感染節(jié)點的密度。βIk(t)表示感染個體以β的速率變成免疫個體的密度。

由于在傳染病傳播初期，度為k的感染個體的密度Ik(0)極小，可令Ik(0)?0，所以傳染病的初始條件為：

綜合上述初始條件，由式（4）可得SK(t)的表達式為：

其中

式（7）兩邊對時間t求導，可得γ(t)的一個自洽方程為：

當系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時，即t→∞時，有Ik(∞)=0，也即，而不失一般性β=1。因此可由式（8）可得：

定義 F[γ(∞)]為輔助函數。顯然，γ(∞)=0 為式（9）的一個平凡解，對于一種傳染病能夠在網絡中大范圍爆發(fā)，式（9）必須存在一個關于 γ(∞)的非平凡解，即γ(∞)≠0 ，則需滿足條件：

由式（9）和（10）可得：

式（11）簡化可得傳播閾值為：

針對BA網絡中所有的易感染節(jié)點，滿足個體重視度函數：

當α=0時，式（12）變成經典的SIR模型傳播閾值。當 α≠0時，由于1-p+p(1-α)kinf<1，所以改進的SIR模型的臨界閾值大于標準的SIR模型的閾值

改進的SIR模型，傳染病的爆發(fā)程度最終為：

其中表示標準的SIR模型最終爆發(fā)程度。理論表明具有個體重視的傳染病爆發(fā)規(guī)模小于標準的SIR模型的爆發(fā)規(guī)模。

因此，在無標度網絡中，個體重視的引入增大了模型中傳染病的傳播閾值，能夠有效抑制傳染病的傳播。具有個體重視的易染個體的比例和個體重視度與傳播閾值是正相關。

3 仿真結果與分析

理論分析已經表明考慮個體重視明顯改變了傳染病的傳播過程。為了證明理論分析的正確性。通過數值仿真分析所提的模型在無標度網絡上的傳播特性。在傳染病傳播的初始時刻，隨機選擇一個節(jié)點作為感染節(jié)點。所有仿真參數如下：在BA網絡中，節(jié)點總數為N=1 000，網絡的初始節(jié)點數m0=3，網絡增長時引進的每個新節(jié)點的最少連邊數m=3，易染個體與感染個體相連被感染的概率λ=0.2，感染個體以β=1的概率被治愈。

實驗1經典的SIR模型和加入個體重視度的SIR模型比較。

在實驗中，當參數 p=0，α=0時表示標準的SIR模型；當參數 p=0.1，α=0.1時則表示有個體重視的SIR模型。實驗隨機選擇一個傳播個體運行50次仿真取平均值得到的被移除個體的密度R(t)隨時間t的變化情況和感染個體的密度I(t)隨時間t的變化情況，分別如圖3和圖4所示。

由圖3、4可以看出，在無標度網絡中，個體重視引入后傳染病的傳播規(guī)模顯著減小，降低了傳染病的傳播速度，延緩了傳染病高峰期的到來。意味著個體的重視度可以影響傳染病的傳播，對傳染病傳播起到抑制作用。

實驗2加入個體重視度模型中，易染個體重視度一定時。

在實驗中，易染個體重視度一定時(α=0.1)，具有個體重視的易染個體的比例參數分別為 p=0.1，p=0.2。實驗隨機選擇一個傳播個體運行50次仿真取平均值得到的被移除個體的密度R(t)隨時間t的變化情況和感染個體的密度I(t)隨時間t的變化情況，分別如圖5和圖6所示。

由圖5、6可以看出，在無標度網絡中，具有個體重視的易染個體的重視度α一定時，隨著具有個體重視的易染個體的比例 p增大，傳染病的爆發(fā)規(guī)模顯著減小，降低了傳染病的傳播速度，延緩了傳染病高峰期的到來。意味著越多的人重視傳染病，傳染病就傳播的越慢。

實驗3加入個體重視度模型中，具有個體重視的易染個體比例一定時。

在實驗中，易染個體的規(guī)模一定時(p=0.2)，個體重視度參數分別為α=0.1，α=0.2。實驗隨機選擇一個傳播個體運行50次仿真取平均值得到的被移除個體的密度R(t)隨時間t的變化情況和感染個體的密度I(t)隨時間t的變化情況，分別如圖7和圖8所示。

由圖7、8可以看出，在無標度網絡中，具有個體重視的易染個體的比例p一定時，隨著易染個體的重視度α增加，傳染病的爆發(fā)規(guī)模顯著減小，降低了傳染病的傳播速度，延緩了傳染病高峰期的到來。

4 結束語

傳染病在傳播過程中受到人為因素的影響。為了分析個體重視度和具有個體重視的易染個體的比例對傳染病的影響。本文提出了一種新的SIR模型，該模型充分考慮到了人們對傳染病的不同態(tài)度即有些人重視傳染病而有些人不重視傳染病和對傳染病的重視程度不一樣。利用平均場理論，分析了該模型在無標度網絡中的傳播動力學行為。通過仿真與數值模擬，表明個體重視的引入能夠對傳染病的傳播速度和爆發(fā)的規(guī)模起到有效的抑制作用。在傳染病傳播過程中可以通過增大具有個體重視的易染個體的比例或者增加個體的重視度，來抑制傳染病的傳播。因此，在當今信息和技術發(fā)達的社會，當傳染病爆發(fā)時，政府部門應該通過各種方式來引起更多人的重視和提高個體的重視度，來抑制傳染病的傳播。

圖3 BA網絡，R(t)與t的關系（實驗1）

圖4 BA網絡，I(t)與t的關系（實驗1）

圖5 BA網絡，R(t)與t的關系（實驗2）

圖6 BA網絡，I(t)與t的關系（實驗2）

圖7 BA網絡，R(t)與t的關系（實驗3）

圖8 BA網絡，I(t)與t的關系（實驗3）

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