浙江省義烏市實(shí)驗(yàn)小學(xué)教育集團(tuán)黎明湖校區(qū) 樓玉萍

除了考點(diǎn)，數(shù)學(xué)課堂上學(xué)生還應(yīng)該學(xué)到什么？

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，歸根結(jié)底，是為了培養(yǎng)孩子用數(shù)學(xué)的思想分析問題，用數(shù)學(xué)的知識(shí)解決問題的能力。這種能力不僅僅是運(yùn)算的速度，公式的記憶，考題的解答等，更應(yīng)該是數(shù)學(xué)的思考方式，數(shù)學(xué)的邏輯能力，數(shù)學(xué)的審美情趣等。

我們從應(yīng)試教育走向素質(zhì)教育，從教師主導(dǎo)到先學(xué)后教，教育理念的落腳點(diǎn)最終都是在每一次普通的課堂教學(xué)中。

一、縱橫交錯(cuò)，喚醒學(xué)習(xí)生長(zhǎng)點(diǎn)

數(shù)學(xué)知識(shí)的習(xí)得具有一定的規(guī)律，既要符合學(xué)生的心智水平，同時(shí)還要遵循數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展過程。而縱觀整個(gè)數(shù)學(xué)史的發(fā)展過程，每一次的完善補(bǔ)充，更新迭代都是建立在“因?yàn)樾枰?，所以發(fā)展”的邏輯基礎(chǔ)之上，這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)作為一門“工具學(xué)科”的發(fā)展屬性。

回到數(shù)學(xué)課堂，如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義，筆者認(rèn)為解決新問題是學(xué)習(xí)的出發(fā)點(diǎn)，回顧老問題是思考的落腳點(diǎn)，這兩點(diǎn)之間就是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的具體路徑。接下去筆者以北師大版五年級(jí)下冊(cè)《確定位置》為例，舉例說(shuō)明如何喚醒學(xué)生學(xué)習(xí)的生長(zhǎng)點(diǎn)。

《確定位置》的教學(xué)目標(biāo)是要讓學(xué)生會(huì)用“觀測(cè)點(diǎn)、方向、距離”三要素來(lái)確定點(diǎn)的位置，在此之前關(guān)于確定位置，學(xué)生已經(jīng)掌握了用“數(shù)對(duì)”的方法。

從位置的表示形式上看，兩者之間似乎并無(wú)太多聯(lián)系，數(shù)對(duì)的基礎(chǔ)是“直角坐標(biāo)系”，三要素的本質(zhì)是“極坐標(biāo)系”。兩種方法往往給人一種“并列關(guān)系”的基本判斷，因此課堂上也就往往體現(xiàn)為另起爐灶，從頭再來(lái)。筆者認(rèn)為，這樣的課堂是缺少數(shù)學(xué)味的，至少割裂了學(xué)生知識(shí)生長(zhǎng)的紐帶，因?yàn)槲覀兒雎粤耍?/p>

（1）為什么要學(xué)習(xí)兩種表示位置的方法？

（2）兩種表示方法之間的共同點(diǎn)是什么？

（3）兩種表示方法之間是“補(bǔ)充”還是“取代”？

1.橫向看，舊知是新知的基礎(chǔ)

基礎(chǔ)有兩層含義，一是知識(shí)本身，如：加法是減法的基礎(chǔ)，平方是開方的基礎(chǔ)；二是知識(shí)本質(zhì)。正如《確定位置》這節(jié)課，我們?cè)囅耄喝绻_定位置的方法，教材先安排學(xué)習(xí)“三要素”，再安排學(xué)習(xí)“數(shù)對(duì)”，就知識(shí)技能目標(biāo)的達(dá)成而言，是否可行？應(yīng)該可以，至少難度不大。那教材的編排又有何用意呢？筆者認(rèn)為，“確定位置”的數(shù)學(xué)本質(zhì)，是課程安排的主因，也是知識(shí)發(fā)展的主線，同樣是學(xué)生掌握這一章節(jié)內(nèi)容的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)。

確定位置的本質(zhì)是兩條線的交點(diǎn)。不同的非本質(zhì)條件決定了采用不同的形式來(lái)確定位置。“數(shù)對(duì)”表示的是針對(duì)某個(gè)特定區(qū)域內(nèi)的絕對(duì)位置，更適合“觀察”；“三要素”表示的是針對(duì)某個(gè)已知點(diǎn)的相對(duì)位置，更適合“到達(dá)”。根據(jù)這樣的理解，我們就不難回答上述的三個(gè)問題。

“數(shù)對(duì)”的本質(zhì)是兩條直線的交點(diǎn)，“三要素”的本質(zhì)是射線和圓的交點(diǎn)，從學(xué)生的心智水平而言，顯然更容易理解前者。因此，當(dāng)我們的教學(xué)著眼于數(shù)學(xué)本質(zhì)，學(xué)生的學(xué)習(xí)才能由淺入深，知識(shí)的習(xí)得才能自由地生長(zhǎng)。

2.縱向看，新知是舊知的補(bǔ)充

新問題產(chǎn)生新知識(shí)，但新知識(shí)的產(chǎn)生也有其一定的適應(yīng)范圍。以“確定位置”為例，如果問題是在根據(jù)電影票來(lái)確定觀眾的座位，顯然“數(shù)對(duì)”方法既簡(jiǎn)潔又快速；如果問題是畫一個(gè)電影院的方位圖，那么“三要素”的方法就比較切合實(shí)際。

兩種方法不僅是相互補(bǔ)充，有時(shí)還是緊密聯(lián)系的。例如一艘在大海中失事的輪船，在向外界求救的時(shí)候，發(fā)出的信號(hào)是以經(jīng)緯度為刻畫工具的“數(shù)對(duì)”，當(dāng)搜救船只趕來(lái)救援的時(shí)候，又根據(jù)彼此之間的“數(shù)對(duì)”，計(jì)算出航行的方向，距離。

因此我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)，應(yīng)該緊抓數(shù)學(xué)本質(zhì)的同時(shí)，結(jié)合不同的非本質(zhì)條件，全面分析知識(shí)間的相互聯(lián)系。

二、環(huán)環(huán)相扣，激發(fā)邏輯閃光點(diǎn)

數(shù)學(xué)的美以及偉大，是因?yàn)樗鼑?yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu)以及嚴(yán)密的知識(shí)體系。小學(xué)階段，尤其是低年級(jí)，在教材的編寫上，教師的教學(xué)中往往經(jīng)驗(yàn)性的總結(jié)比較多，邏輯性的推理比較少。雖然是為了適應(yīng)孩子的身心發(fā)展水平，但數(shù)學(xué)的美常常無(wú)法體現(xiàn)，數(shù)學(xué)文化的熏陶以及數(shù)學(xué)思維的鍛煉也就更微乎其微了。

筆者認(rèn)為，在結(jié)合學(xué)生的學(xué)情基礎(chǔ)上，注重邏輯推理能力的鍛煉和啟發(fā)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要方面。接下去，以《三角形的內(nèi)角和》一課舉例說(shuō)明。

《三角形的內(nèi)角和》教材大多安排了剪一剪、拼一拼、量一量的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，通過動(dòng)手操作，學(xué)生得到結(jié)論，三角形的內(nèi)角和為180°，然后練習(xí)鞏固。這樣的課堂，波瀾不驚，教師容易掌控，學(xué)生容易掌握，但老師課堂上那一句“測(cè)量是有誤差的，實(shí)際上就是180°”的總結(jié)，與其說(shuō)是對(duì)學(xué)生動(dòng)手操作的總結(jié)，不如說(shuō)是對(duì)整個(gè)過程的輕視和否定。這樣的課堂，學(xué)生沒有成就感，過程沒有數(shù)學(xué)的思考，又何談核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

1.歸納推理下的數(shù)學(xué)思考

“拼一拼、量一量”本質(zhì)上是數(shù)學(xué)歸納法的粗淺應(yīng)用。歸納推理是數(shù)學(xué)思維的重要組成部分，基本方法就是根據(jù)一類事物（三角形）部分對(duì)象（所測(cè)量三角形）具有某種特征（內(nèi)角和180°），推出所有事物都具有該特征。

在本堂課中，哪個(gè)環(huán)節(jié)可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考？測(cè)量，拼接顯然不是，結(jié)論的得出也因?yàn)槔蠋煹目偨Y(jié)顯得學(xué)生的思考無(wú)足輕重……筆者認(rèn)為，是部分對(duì)象的選擇決定了此次的歸納推理是否有效，這也是激發(fā)學(xué)生思考的關(guān)鍵所在。而在大部分的課堂中，教師往往直接出示三種三角形（直角、鈍角、銳角），讓學(xué)生操作，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)恰恰剝奪了學(xué)生感受歸納推理數(shù)學(xué)魅力，掌握歸納推理數(shù)學(xué)方法的機(jī)會(huì)。如果教師以一個(gè)“我們需要測(cè)量哪些三角形”作為主要問題，我想學(xué)生的數(shù)學(xué)思考會(huì)更加深刻。

2.演繹推理下的邏輯閃光

歸納推理作為一種合情推理，是本堂課得出結(jié)論的主要思考方式。但誤差的存在的確讓結(jié)論的公信力大打折扣。如何把“簡(jiǎn)單、粗暴”的下結(jié)論方式，變得更富有數(shù)學(xué)味，必不可少的就是邏輯證明。

演繹推理的魅力一方面在于“從一到無(wú)窮”的知識(shí)生長(zhǎng)，另一方面在于知識(shí)間的相互佐證，把數(shù)學(xué)構(gòu)建成一個(gè)嚴(yán)密的知識(shí)閉環(huán)，這也是感受數(shù)學(xué)文化，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想的重要一方面。

演繹推理簡(jiǎn)單說(shuō)就是用“已知”推出“未知”。作為內(nèi)角和這一內(nèi)容的已知，從根本上講就是“長(zhǎng)方形”的定義——四個(gè)角都是直角的四邊形叫長(zhǎng)方形，也就是說(shuō)長(zhǎng)方形的內(nèi)角和是360°，并由此可以推理得到：

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，很重要的一點(diǎn)就是學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考問題，其中很重要的特征就是思考的邏輯性。如果我們的課堂能多讓學(xué)生進(jìn)行邏輯能力的鍛煉，不僅可以激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，更能提升數(shù)學(xué)氣質(zhì)。

三、穿針引線，構(gòu)建知識(shí)脈絡(luò)

數(shù)學(xué)的發(fā)展遠(yuǎn)沒有像信息技術(shù)的發(fā)展那樣來(lái)得日新月異，但數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)性的工具學(xué)科仍然在各個(gè)領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用。這從一個(gè)側(cè)面也反映出數(shù)學(xué)知識(shí)的整個(gè)框架，內(nèi)容以及內(nèi)在邏輯都已十分的成熟完備。

作為小學(xué)的數(shù)學(xué)課堂，雖然無(wú)法感受整個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)涵的博大精深，但從小培養(yǎng)孩子建立脈絡(luò)化的學(xué)習(xí)思考習(xí)慣，也是核心素養(yǎng)教育的重要一環(huán)。接下去，筆者以《圖形的面積》單元復(fù)習(xí)課，舉例說(shuō)明。

《圖形的面積》單元主要包括平行四邊形、三角形、梯形面積的推導(dǎo)過程和計(jì)算方法。轉(zhuǎn)化思想是本單元的主要思考方式，也是各面積公式之間的連接紐帶。

1.全面梳理構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)

作為一線教師，對(duì)于這一單元的教學(xué)都有這樣一個(gè)感受，上新課的時(shí)候感覺挺好，一到單元練習(xí)，面積公式的出錯(cuò)率就大幅度提高，尤其是三角形和梯形。究其原因，可能有兩個(gè)方面：一方面，學(xué)生更多是靠背公式來(lái)解決問題，這種方式，再經(jīng)過一段時(shí)間后，尤其各種圖形一混合，就容易混淆；另一方面，學(xué)生對(duì)公式的推導(dǎo)過程不理解，也就導(dǎo)致對(duì)“相對(duì)應(yīng)的底和高”缺少直觀感受，增加了解題難度。

而構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)的前提就是進(jìn)行梳理，其中包括公式的推導(dǎo)過程，以及各圖形間的相互聯(lián)系。而構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)的目的也正是解決前面提到的兩種錯(cuò)題原因。一方面，通過各圖形間的相互轉(zhuǎn)化，加強(qiáng)對(duì)公式的理解，尤其是強(qiáng)化公式和圖形間的一一對(duì)應(yīng)，做到在理解中應(yīng)用；另一方面，通過網(wǎng)絡(luò)化可以歸納、體會(huì)“相對(duì)應(yīng)的底和高”在每個(gè)圖形上的實(shí)際意義。

總而言之，理清知識(shí)脈絡(luò)有助于開闊學(xué)習(xí)視野，提高學(xué)習(xí)效果。

2.深入分析突顯本質(zhì)

本單元的學(xué)習(xí)主要通過圖形的轉(zhuǎn)化，推導(dǎo)各個(gè)圖形的面積計(jì)算公式。同時(shí)，在構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的過程中，我們也可以對(duì)各個(gè)面積公式進(jìn)行分析比較，發(fā)現(xiàn)三個(gè)面積公式本質(zhì)上就是梯形面積公式，在不同圖形中的應(yīng)用。從圖形到公式，再?gòu)墓降綀D形，一正一反之間，突出了知識(shí)的本質(zhì)，提升了學(xué)生分析、解決問題的水平。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是一個(gè)很大的命題，寥寥數(shù)語(yǔ)也只能是淺嘗輒止。我想作為一個(gè)擁有較高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的人，必定心中知識(shí)交匯成網(wǎng)，眼中邏輯閃光！