一、引言

由于金融市場的復(fù)雜性，變幻莫測和波動無常，預(yù)先裁定金融市場的行為與市場內(nèi)外部作用尤為重要。近年來，混沌理論作為前沿科學(xué)研究的熱點(diǎn)之一，它的應(yīng)用遠(yuǎn)不止于金融市場的理論分析。正是現(xiàn)代數(shù)字化金融市場的不穩(wěn)定性和更多隨機(jī)因素與日俱增，因此基于此理論的金融市場的行為研究備受青睞。本文主要引用廣義經(jīng)濟(jì)Kaldor-Kalecki-type模型，使用混沌理論分析金融市場波動性的潛在機(jī)理，將金融市場看作一類動態(tài)的非線性系統(tǒng)或者混沌系統(tǒng)。通過研究投資和儲蓄之間依從的復(fù)雜關(guān)系，建立等效的函數(shù)或系統(tǒng)，并模擬其演化行為，依據(jù)輸出結(jié)果，觀察變化趨勢和統(tǒng)計物理量或者測量值，從而對金融市場變化起到預(yù)測和指導(dǎo)作用。

二、數(shù)學(xué)模型

理論上，我們需要通過建立混沌函數(shù)模擬金融市場中動態(tài)行為，但在實(shí)際中，沒有足夠的實(shí)例刻畫此類函數(shù)。鑒于此原因，通常有兩種方式解決此類問題，其一就是使用已知而且具有混沌特征的微分方程；其二，就是創(chuàng)建具有混沌元素的函數(shù)。接著，就是參照對象的選取，比如價格等類似的因素考慮到實(shí)際經(jīng)濟(jì)時間序列中，建立確定性的金融混沌系統(tǒng)。

如今金融市場，自身的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，受外界因素如經(jīng)濟(jì)全球化、信息科技的迅速發(fā)展，自然災(zāi)難等外部作用。因此我們借助脈沖或周期函數(shù)刻畫經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的外在驅(qū)動?？紤]一個嚴(yán)格增長的真實(shí)序列{Hi}。外部作用用函數(shù)p（t）表示，對于整數(shù)i存在pi，并且它分布在區(qū)間（Hi，Hi+1]或者[Hi，Hi+1）。

經(jīng)濟(jì)模型的廣義形式為：

■

這里v是一個時間的函數(shù)，f是關(guān)于變量v的可微分函數(shù)。

引入外部非線性函數(shù)F數(shù)，作為金融市場的外界驅(qū)動。無論是物理系統(tǒng)，還是金融市場，都存在一種波動方式。我們設(shè)計一類具有波動型的干擾，■

這里函數(shù)F是連續(xù)的，可以產(chǎn)生混亂的外部脈沖。顯然這是一個直觀結(jié)論，也是本文的目的?？紤]平衡點(diǎn)問題，是動力學(xué)分析的常規(guī)分析方法之一。所以，假設(shè)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為v=v*，進(jìn)行狀態(tài)變量代換x=v-v*。處于平衡位置的線性化數(shù)學(xué)模型如下：

■

上述廣義數(shù)學(xué)形式就是Akhmet和Fen描述的理論系統(tǒng)。據(jù)此我們引用混沌理論對Kaldor-Kalecki模型進(jìn)行了模擬和分析。

三、數(shù)值仿真和討論

因金融市場具有復(fù)雜性和隨機(jī)性。所以基于線性、非線性的隨機(jī)模型，布朗運(yùn)動的模型和混沌模型刻畫若干市場價格動態(tài)的行為，已經(jīng)被廣泛的研究和討論。而且經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)不失其波動性，這種行為一般出沒于經(jīng)濟(jì)繁榮和蕭條的周期性更替時。為此，我們考慮一國的經(jīng)濟(jì)模型：

■

這里，Y是收入，K是資本存量，I是總投資，S是儲蓄金。收益的變化使得對物質(zhì)需求過大，方程的第二項(xiàng)代表資本積累。跌價率常數(shù)b，和正因子a。此模型的細(xì)節(jié)研究由Lorenz和Zhang完成[5，6]。選擇合適的函數(shù)，在確定條件下可以得到穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。我們將展示如何引入外界驅(qū)動，產(chǎn)生混沌并分析對動力學(xué)行為有何影響。為此目的，我們考慮一個具體的系統(tǒng)：

■

我們引入驅(qū)動之后方程的收益為Y，因此對于方程中的資本存量K被視為收益和資本存量之間的關(guān)聯(lián)機(jī)理。另一方面，一國的收入承載著許多外部困擾，比如產(chǎn)品存量，全球經(jīng)濟(jì)流通。這就是本文為什么從理論角度研究具有驅(qū)動的金融市場模型。正如我們所強(qiáng)調(diào)的，有類似的學(xué)者對此做了大量的研究。

驅(qū)動可以是脈沖型，也可以是周期型。總之，這兩種外部激勵都是合理的：其一，如果在規(guī)律性時間段里，收益存量呈現(xiàn)脈沖關(guān)聯(lián)性。有產(chǎn)量指數(shù)，國際貿(mào)易因子和商品價格因子的經(jīng)濟(jì)時間序列可以通過此方法模擬。其二，有限區(qū)間段的驅(qū)動，但時間序列呈現(xiàn)混沌。例如，由于天災(zāi)等自然因素變化引起的輸出存量被描述為有限區(qū)間段，但它們的時間序列是不規(guī)則的。所以，基于本文模型引入周期型和高斯白噪聲型驅(qū)動，研究其動力學(xué)行為。

本文我們采用龍哥庫塔法，將微分方程轉(zhuǎn)換成差分方程組，再用迭代法求解這類方程組。首先，我們假設(shè)微分方程中物質(zhì)市場的需求等同于多種輸出流，則案例中a=1.

■

其中，參數(shù)c=0.1，s=0.1，d=-0.1。首先，我們選取外部驅(qū)動為周期函數(shù)F（t）=Asin（wt）。

在參數(shù)b下的分岔圖。其它參數(shù)為c=0.1，s=0.1，d=-0.1，A=2.0，w=0.5。

金融市場的異常性波動，對于經(jīng)濟(jì)市場本身的健康發(fā)展有致命的打擊。因此通過參數(shù)變化，觀察系統(tǒng)的動力學(xué)行為成為一種有效途徑。發(fā)現(xiàn)在參數(shù)b=[0.01，0.1]區(qū)間段，呈現(xiàn)復(fù)雜的變化，即為混沌態(tài)。下圖2就是不同參數(shù)b下的時間序列和相空間圖的對比。隨著參數(shù)的增加，系統(tǒng)的動力學(xué)從周期態(tài)變遷到混沌態(tài)，再回到周期態(tài)。

在參數(shù)b下的時間序列圖。左b=0.001；中b=0.02；右b=0.8；其它參數(shù)為c=0.1，s=0.1，d=-0.1，A=2.0，w=0.5。

其次，系統(tǒng)引入高斯白噪聲驅(qū)動函數(shù)F（t）=ξ（t），分析此模型的動力學(xué)行為如下。

■

這里，D為高斯白噪聲強(qiáng)度，通過它刻畫不規(guī)則時間下的外部驅(qū)動。參數(shù)設(shè)置為c=0.1，b=0.1，s=0.1，d=-0.1

在參數(shù)D下的時間序列圖。（a）D=1；（b）D=10；（c）D=100；其它參數(shù)為c=0.1，b=0.1，s=0.1，d=-0.1。

隨著驅(qū)動強(qiáng)度的爆發(fā)式增長，也就是金融市場出現(xiàn)一些惡性循環(huán)，導(dǎo)致時間序列呈現(xiàn)混亂態(tài)。但是對于這種不良的經(jīng)濟(jì)變化時間序列，從整體上看，依然存在著一定程度的周期態(tài)。因此，此系統(tǒng)還可以刻畫自適應(yīng)調(diào)制功能。總之，金融市場受外界刺激的影響，因此，可以通過適當(dāng)?shù)奈锢矸椒ㄕ{(diào)控此類混沌金融市場，從而使得市場呈現(xiàn)穩(wěn)定的波動，良好的發(fā)展。

四、結(jié)論

由于金融系統(tǒng)具有復(fù)雜性和隨機(jī)性。因此，研究需要結(jié)合社會科學(xué)和自然科學(xué)等交叉學(xué)科。就金融行為而言，需要綜合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，智能建模，物理統(tǒng)計等知識體系，其中所涉及的學(xué)科：非線性動態(tài)學(xué)、混沌理論、金融市場理論、數(shù)理統(tǒng)計和計算機(jī)科學(xué)等。因此，本文借助于常規(guī)模型，通過不同類型的擾動，研究混沌金融系統(tǒng)的動力學(xué)行為。有效地刻畫了時間和不確定性兩個主要因素對金融行為的影響。金融數(shù)學(xué)模型必然會得到廣泛的重視和應(yīng)用。

作者簡介：馬曉玲（1989-），女，漢族，甘肅定西，助理會計，大學(xué)本科。