孟凡坤， 雷 群， 何東博， 閆海軍， 徐 偉

( 1. 中國石油勘探開發(fā)研究院，北京 100083； 2. 中國石油西南油氣田分公司 勘探開發(fā)研究院，四川 成都 610051 )

0 引言

為提高油氣井產(chǎn)能、改善油氣藏開發(fā)效果，斜井、水平井等復(fù)雜井型得到廣泛的應(yīng)用。以開發(fā)中的高石梯—磨溪碳酸鹽巖氣藏為例，斜井約占投產(chǎn)井總數(shù)的1/2，生產(chǎn)動態(tài)呈現(xiàn)高產(chǎn)穩(wěn)產(chǎn)的變化特征[1]。目前氣藏處于開發(fā)早期，對斜井動態(tài)變化規(guī)律及增產(chǎn)機理認識不清，且儲層應(yīng)力敏感性較強[2-3]，因此亟需考慮儲層特征，建立斜井?dāng)?shù)學(xué)模型，預(yù)測斜井動態(tài)變化規(guī)律，明確斜井增產(chǎn)機理，從而指導(dǎo)斜井的開發(fā)設(shè)計。

人們建立多種斜井流動數(shù)學(xué)模型，模型本質(zhì)上主要分為三類：一類是以Cinco H等為代表，運用格林函數(shù)、Newman乘積等方法，建立實空間斜井?dāng)?shù)學(xué)模型，其理論及計算過程較為簡潔，但未考慮井儲、表皮效應(yīng)等復(fù)雜因素[4-7]；二類為基于傳統(tǒng)的滲流擴散方程，綜合運用Laplace變換、鏡像映射及泊松變換等方法，確立不同邊界條件下的點源函數(shù)解，通過數(shù)值積分及Stehfest數(shù)值反演對斜井模型進行求解，特點是考慮較為復(fù)雜的儲層及生產(chǎn)狀況，但推導(dǎo)、計算過程較為復(fù)雜[8-13]；三類為在建立斜井滲流模型基礎(chǔ)上，運用有限元等數(shù)值方法對模型離散求解，處理過程難度較大，可應(yīng)用性較差[14-15]。另外，對于應(yīng)力敏感性的考慮，主要采用數(shù)值離散或攝動變換技術(shù)進行處理，求解過程復(fù)雜，應(yīng)用條件也較為苛刻[16-21]。

借鑒文獻[22]的研究方法，考慮高石梯—磨溪區(qū)塊碳酸鹽巖氣藏儲層滲流特征與邊界特性，基于傳統(tǒng)滲流擴散方程，引入擬壓力及擬時間函數(shù)描述滲透率變化規(guī)律，綜合運用Laplace變換、Fourier變換及其反變換、點源函數(shù)疊加等方法，建立碳酸鹽巖氣藏斜井滲流數(shù)學(xué)模型；結(jié)合氣藏物質(zhì)平衡方程，對模型進行求解，分析應(yīng)力敏感因數(shù)、井斜角等對生產(chǎn)動態(tài)的影響，以指導(dǎo)不同厚度地層井斜角的設(shè)計。

1 儲層應(yīng)力敏感性分析

選取高石梯—磨溪區(qū)塊儲層巖心，利用異常高壓巖心驅(qū)替裝置，在室溫條件下，開展應(yīng)力敏感性分析實驗，因裂縫滲透率遠大于基質(zhì)滲透率，假定測得的巖石滲透率等價于裂縫系統(tǒng)滲透率。在實驗過程中保持圍壓恒定，以5 MPa為間隔逐漸降低內(nèi)壓，模擬氣藏衰竭式開采過程，測試不同有效應(yīng)力(凈壓力)時滲透率。定義無因次滲透率(各測試點滲透率與初始測定滲透率之比)，繪制巖心無因次滲透率與有效應(yīng)力之間的關(guān)系曲線(見圖1)。

圖1 儲層無因次滲透率隨有效應(yīng)力變化關(guān)系曲線Fig.1 The relation between formation dimensionless permeability and net confining stress

分別運用冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)進行回歸擬合，結(jié)果表明冪函數(shù)擬合效果較好。根據(jù)量綱一致性原則，對回歸公式進行處理[3]，求得無因次滲透率與有效應(yīng)力變化關(guān)系式為

(1)

式中：p為實驗流壓；ps、pi為實驗圍壓與初始流壓；kf為巖石裂縫滲透率；kfi為初始流壓下測定的裂縫系統(tǒng)滲透率；α為儲層應(yīng)力敏感因數(shù)，α=0.738。實驗和實際氣藏開發(fā)存在對應(yīng)關(guān)系，氣藏上覆巖層壓力、平均地層壓力及原始地層壓力分別對應(yīng)實驗圍壓、流壓和初始流壓。

2 模型建立

2.1 物理模型

圖2 碳酸鹽巖氣藏封閉邊界斜井模型示意Fig.2 Schematic of a slanted well in carbonate gas reservoir with closed boundary

綜合考慮高石梯—磨溪區(qū)塊震旦系氣藏地質(zhì)特征與開發(fā)井型，建立碳酸鹽巖氣藏三重孔隙介質(zhì)斜井滲流物理模型(見圖2，其中Lw為斜井長度)。

假設(shè)：

(1)氣井以恒定產(chǎn)量qg生產(chǎn)，井斜角為θ，完全射開，沿井筒方向氣體流量均勻分布，生產(chǎn)前氣藏中各點壓力相等，等于原始地層壓力pi；

(2)地層水平，統(tǒng)一厚度為h，上下邊界、徑向外邊界封閉，半徑為Re，滿足θ≤arctan(2Re/h)；

(3)基質(zhì)、溶洞為主要的儲集空間，裂縫為主要的滲流通道，基質(zhì)向裂縫為擬穩(wěn)態(tài)竄流，裂縫系統(tǒng)滲透率存在應(yīng)力敏感效應(yīng)；

(4)考慮氣藏水平與垂直方向裂縫滲透率的各向異性，水平、垂直裂縫滲透率分別為kfh、kfv；

(5)氣體為可壓縮性氣體，忽略巖石及束縛水的壓縮性；

(6)流動為達西滲流，忽略重力、毛管力的影響。

2.2 數(shù)學(xué)模型

2.2.1 點源數(shù)學(xué)模型

根據(jù)物理模型假設(shè)，建立碳酸鹽巖氣藏三重孔隙介質(zhì)斜井滲流數(shù)學(xué)模型。先推導(dǎo)滲流數(shù)學(xué)模型的點源函數(shù)解，給出點源模型的基本微分方程、初始條件和邊界條件。

基本微分方程：

(2)

(3)

(4)

初始條件：

mf=mc=mm=mpi,tp=0。

(5)

邊界條件：

(6)

(7)

式(2-7)中：mf、mm、mc、mpi分別為裂縫、基質(zhì)、溶洞系統(tǒng)及原始地層壓力對應(yīng)的擬壓力，

(8)

Ctf、Ctm、Ctc分別為裂縫、基質(zhì)及溶洞系統(tǒng)綜合壓縮系數(shù)，

Ctf=Cgi(1-Swfi),Ctm=Cgi(1-Swmi),Ctc=Cgi(1-Swci);

(9)

式(2-7)中存在近似：

(10)

2.2.2 模型無因次化

(11)

(12)

(13)

mcD=mmD=mfD=0,tD=0。

(14)

(15)

(16)

式(11-16)中：rD為無因次半徑；ReD為氣藏?zé)o因次半徑；hD為無因次地層厚度；mfD、mmD、mcD分別為裂縫、基質(zhì)與溶洞系統(tǒng)無因次擬壓力；ωm、ωc、ωf分別為基質(zhì)、溶洞及裂縫系統(tǒng)儲容比；λm、λc分別為基質(zhì)、溶洞向裂縫系統(tǒng)的竄流系數(shù)。

各無因次變量的定義為

3 模型求解與驗證

3.1 模型求解

3.1.1 斜井無因次擬井底流壓

先對數(shù)學(xué)模型(式(11-16))進行關(guān)于tD的拉氏變換：

(17)

然后引入Fourier變換及其反變換關(guān)系式：

(18)

(19)

代入邊界條件，得拉氏空間中的點源函數(shù)解為

(20)

(21)

由于產(chǎn)氣量沿斜井段均勻分布，根據(jù)連續(xù)點源疊加原理，首先對坐標系進行旋轉(zhuǎn)變換；然后對點源函數(shù)解(式(20))沿斜井段積分，得斜井在拉氏空間的無因次壓力為

(22)

(23)

式(17-23)中：s為拉氏變量；LwD為斜井無因次長度；θ、θ′為井斜角和等效井斜角；xD、yD、zD分別為等效壓力點無因次坐標；xwD、ywD、zwD分別為斜井中心點的無因次坐標，表達式為

為了簡化計算，需選擇恰當(dāng)?shù)牡刃毫c，借鑒文獻[4,11-12]的研究方法，等效壓力點無因次坐標設(shè)為

(24)

對式(22)進行數(shù)值積分，運用Stehfest數(shù)值反演方法[23]，可求得無因次井底流壓；有因次化后，可求得擬井底流壓。

3.1.2 斜井井底流壓

由于擬壓力函數(shù)考慮氣體性質(zhì)、儲層滲透率等隨壓力的變化(式(10))，有較強的非線性，因此采用數(shù)值積分法構(gòu)造數(shù)值表，通過線性插值確定擬壓力對應(yīng)的壓力。分別采用Lee-Gonzalez-Eakin半經(jīng)驗公式法和Hall-Yarbough方法，計算氣體黏度、壓縮因子[24-25]，用式(1)描述滲透率變化。結(jié)合物質(zhì)平衡方程，通過數(shù)值積分計算擬時間函數(shù)，運用D-A-K方法計算壓縮系數(shù)[26]。

數(shù)學(xué)模型求解步驟為：

(1)計算不同時刻累計產(chǎn)氣量Gp：

Gp=qgt。

(25)

(2)求解物質(zhì)平衡方程，通過插值求取每一時間步氣藏平均壓力：

(26)

式中：Gsc為氣藏地質(zhì)儲量，由容積法計算求得。

(3)計算氣體黏度、壓縮系數(shù)等PVT參數(shù)，根據(jù)式(10)計算擬時間tp。

(4)對擬時間進行無因次化，求取無因次井底流壓，有因次化后得到擬井底流壓，通過插值求得實際井底流壓。

3.2 模型驗證

選取高石梯—磨溪區(qū)塊兩口投產(chǎn)斜井(X1和X2井)，整理并綜合儲層與生產(chǎn)工藝參數(shù)，獲得敏感性分析基礎(chǔ)參數(shù)，見表1。天然氣組分測試顯示兩口井的采出氣組成相近，氣體相對密度為0.59，臨界壓力為4.82 MPa，臨界溫度為199.3 K。儲層應(yīng)力敏感因數(shù)由實驗分析和曲線擬合求得，取為0.738。通過井口油壓迭代計算求得井底流壓[27]，將兩口井的實際儲層及流體參數(shù)代入文中模型進行計算，與實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)進行對比(見圖3)。

表1 碳酸鹽巖氣藏儲層及生產(chǎn)參數(shù)

圖3 文中模型計算結(jié)果與實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)Fig.3 Comparison between calculated results and practical data

由圖3可見，兩口井的計算井底流壓與實際井底流壓總體吻合程度較好，驗證文中模型的有效性，表明文中模型可較為準確地描述與預(yù)測斜井的生產(chǎn)動態(tài)。由圖3(a)可見，在X1井生產(chǎn)初期，計算井底流壓與實際井底流壓之間存在微小差別。原因在于X1井初期實際配產(chǎn)為13×104m3/d，低于計算方案配產(chǎn)(14×104m3/d)，造成計算結(jié)果低于實際結(jié)果，隨氣井配產(chǎn)提高并保持相對穩(wěn)定，實際結(jié)果與計算結(jié)果符合程度變好。

4 參數(shù)敏感性分析

儲層特征與井斜角是影響氣井生產(chǎn)動態(tài)的主要因素[28]。根據(jù)礦場實際，在定產(chǎn)生產(chǎn)條件下，從應(yīng)力敏感因數(shù)、井斜角、地層厚度等方面分析井底流壓的影響規(guī)律，確定地層厚度與井斜角之間最佳的匹配關(guān)系。

4.1 應(yīng)力敏感因數(shù)

不同應(yīng)力敏感因數(shù)(α為0、0.5、1.0)時，規(guī)定最小井底流壓為5.0 MPa，繪制井底流壓隨生產(chǎn)時間變化曲線(見圖4)。由圖4可見，在生產(chǎn)初期，由于采出氣量較少，平均地層壓力下降幅度較小，不同應(yīng)力敏感因數(shù)時裂縫滲透率差值不大，因而各方案井底流壓較為接近；隨開采時間增加，采氣量不斷增大，平均地層壓力下降幅度持續(xù)擴大，應(yīng)力敏感因數(shù)越大，裂縫閉合愈嚴重，導(dǎo)致井底流壓遞減速率加快，因而各方案井底流壓的差值不斷增大。當(dāng)α為1.0、生產(chǎn)時間為950 d時，井底流壓達到設(shè)定的最小值而關(guān)井；在不考慮應(yīng)力敏感因數(shù)(α=0)時，井底流壓為20.0 MPa，遠高于α為0.5時的井底流壓(約為15.0 MPa)。

4.2 井斜角

不同井斜角θ時氣井井底流壓隨時間變化曲線見圖5。由圖5可見，在生產(chǎn)初期與中期，各方案之間的井底流壓遞減速率較為接近；在生產(chǎn)后期，由于井斜角較小的氣井井底流壓快速降低，高井斜角與低井斜角氣井井底流壓差值劇烈增大。主要在于模型假設(shè)流量沿井筒均勻分布，井斜角越大，井筒與地層之間接觸面積越大，在流量恒定條件下，生產(chǎn)壓差越小，井底流壓越高。由于不同井斜角的氣井與地層接觸面積的差值保持恒定，在生產(chǎn)初期與中期，各方案的井底流壓的差值保持穩(wěn)定；在生產(chǎn)后期，地層能量難以維持設(shè)定產(chǎn)量，導(dǎo)致井斜角較小的方案的井底流壓快速降低，各方案之間井底流壓的差值迅速增大。

圖4 不同應(yīng)力敏感因數(shù)時氣井井底流壓隨生產(chǎn)時間變化曲線Fig.4 Bottom-hole pressure versus time under different stress-sensitive coefficients

圖5 不同井斜角時氣井井底流壓隨生產(chǎn)時間變化曲線Fig.5 Bottom-hole pressure versus time for different inclined angles

4.3 地層厚度

碳酸鹽巖氣藏非均質(zhì)性強，同一層系不同位置地層厚度差異較大。保持井斜角恒定，繪制不同地層厚度h時氣井井底流壓隨時間變化曲線(見圖6)。由圖6可見，由于地層厚度越大，井筒與地層接觸面積越大，在產(chǎn)量恒定的條件下，生產(chǎn)壓差越小，井底流壓越高，呈某一時刻井底流壓隨地層厚度的增加而增大的變化趨勢。地層厚度與某一時刻井底流壓之間存在非線性關(guān)系，即隨地層厚度的不斷增大，井底流壓增加量逐漸減小，表現(xiàn)為井底流壓曲線相互接近。

由圖5-6可見，對于某一厚度地層，井底流壓隨井斜角的減小而降低，但減少量不斷減小，存在某一井斜角使井底流壓保持在較高的水平(見圖5)；當(dāng)井斜角恒定時，井底流壓隨地層厚度增加而升高，但增加量逐漸減少，存在某一地層厚度使井底流壓保持相對穩(wěn)定(見圖6)。為明確地層厚度與井斜角之間的變化關(guān)系，設(shè)定不同井斜角、地層厚度，繪制氣井生產(chǎn)100 d后井底流壓隨地層厚度變化曲線(見圖7)。

由圖7可見，對于某一特定井斜角氣井，井底流壓隨地層厚度的增加而增大，初始上升速率較快，后期較為平緩，存在最優(yōu)的地層厚度與之匹配，且井斜角越大，與之匹配的最優(yōu)地層厚度越小。反之，當(dāng)氣藏地層厚度已知，在某一生產(chǎn)時刻或時間段內(nèi)，必存在唯一的井斜角使井底流壓維持在相對穩(wěn)定的水平。

圖6 不同地層厚度時氣井井底流壓隨生產(chǎn)時間變化曲線Fig.6 Bottom-hole pressure versus time for different formation thickness

圖7 不同井斜角時氣井生產(chǎn)100 d后井底流壓隨地層厚度變化曲線Fig.7 Correlation chart between formation thickness and bottom-hole pressure for different inclined angles on the 100th day

5 結(jié)論

(1)考慮儲層地質(zhì)特征與應(yīng)力敏感性，建立碳酸鹽巖氣藏三重孔隙介質(zhì)封閉邊界斜井流動數(shù)學(xué)模型，通過與礦場實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)的對比，驗證模型的有效性，為生產(chǎn)動態(tài)分析和預(yù)測奠定基礎(chǔ)。

(2)儲層應(yīng)力敏感效應(yīng)隨生產(chǎn)時間增加而影響程度愈發(fā)顯著，大幅縮短氣井的穩(wěn)產(chǎn)時間；在生產(chǎn)初期與中期，不同井斜角時井底流壓有近似相同的遞減速率，在生產(chǎn)后期井底流壓差值迅速擴大，井斜角、地層厚度越大，氣井穩(wěn)產(chǎn)時間越長。

(3)對于某一厚度儲層，存在唯一最優(yōu)的井斜角，在某一生產(chǎn)時刻或時間段內(nèi)井底流壓保持相對穩(wěn)定，可以為不同厚度碳酸鹽巖儲層井斜角的設(shè)計提供參考。

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