☉江蘇省泗洪中學(xué) 楊東進(jìn)

在高中數(shù)學(xué)中，求函數(shù)的最值、值域問(wèn)題，二元代數(shù)式的最值問(wèn)題，是各類考試中比較常見(jiàn)的題型，也是高考中常見(jiàn)的考點(diǎn)之一.此類問(wèn)題比較常見(jiàn)的方法有基本不等式法、待定系數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法、換元法（三角換元等）、柯西不等式等.下面結(jié)合2017年高考山東卷文科第12題二元代數(shù)式的最值問(wèn)題來(lái)加以實(shí)例剖析，結(jié)合多維視角切入，達(dá)到殊途同歸.

高考真題 （2017年山東卷文12）若直線（a＞0，b＞0）過(guò)點(diǎn)（1，2），則2a+b的最小值為______.

思路分析1：根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)得到關(guān)系式結(jié)合代數(shù)式2a+b乘“1”展開，結(jié)合基本不等式來(lái)確定最小值即可.

解法1：基本不等式法1.

解法2：基本不等式法2.

解法3：基本不等式法3.

思路分析4：根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)得到關(guān)系式直接利用基本不等式得到ab≥8，再結(jié)合代數(shù)式2a+b，再次利用基本不等式來(lái)確定最小值問(wèn)題，兩次利用基本不等式要注意等號(hào)成立的條件的一致性.

解法4：基本不等式法4.

思路分析5：根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)得到關(guān)系式直接利用基本不等式得到ab≥8，并結(jié)合此時(shí)等號(hào)成立的條件，代入關(guān)系式+=1得到2a+b=ab，進(jìn)而確定代數(shù)式2a+b的最小值問(wèn)題.

解法5：基本不等式法5.

由于直線+=1（a＞0，b＞0）過(guò)點(diǎn)（1，2），則有+且僅當(dāng)=，即b=2a=4時(shí)，等號(hào)成立，由+=1可得2a+b=ab≥8，故填答案：8.

思路分析6：根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)得到關(guān)系式+=1，根據(jù)關(guān)系式的轉(zhuǎn)化用含參數(shù)a的關(guān)系式來(lái)表示b，代入代數(shù)式2a+b得到含有a的關(guān)系，設(shè)其最小值為M，通過(guò)求解二次方程，根據(jù)判別式來(lái)確定關(guān)系式的最小值即可.

解法6：待定系數(shù)法.

由于直線.又b＞0，所以a＞1，那么設(shè)≥M（M為正實(shí)數(shù)），整理可得2a2-Ma+M≥0，則Δ=M2-8M≥0，解得M≥8或M≤0（舍去），則2a+b的最小值為8，故填答案：8.

解法7：導(dǎo)數(shù)法1.

思路分析8：根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)得到關(guān)系式根據(jù)關(guān)系式的轉(zhuǎn)化用含參數(shù)a的關(guān)系式來(lái)表示b，代入代數(shù)式2a+b得到f（a），通過(guò)求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與極值來(lái)確定函數(shù)關(guān)系式的最小值即可.

解法8：導(dǎo)數(shù)法2.

由于直線+=1（a＞0，b＞0）過(guò)點(diǎn)（1，2），則有+=1，可得=1-，即b=.又b＞0，所以a＞1，那么，令f′（a）=0，解得a=2（由于a＞1）.當(dāng)a∈（0，2）時(shí)，f′（a）＜0，f（a）單調(diào)遞減；當(dāng)a∈（2，+∞）時(shí)，f′（a）＞0，f（a）單調(diào)遞增.所以f（a）min=f（2）=8，即當(dāng)a=2，b=4時(shí)，2a+b的最小值為8，故填答案：8.

思路分析9：根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)得到關(guān)系式進(jìn)而通過(guò)三角換元，結(jié)合代數(shù)式2a+b的轉(zhuǎn)化，通過(guò)三角恒等變換公式，并結(jié)合三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來(lái)確定最小值即可.

解法9：三角函數(shù)法.

思路分析10：根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)得到關(guān)系式結(jié)合代數(shù)式2a+b乘“1”，利用柯西不等式來(lái)確定最小值即可.

解法10：柯西不等式法.

解決此類和式定值求最值問(wèn)題的比較常用的方法是利用基本不等式來(lái)確定最值，利用基本不等式時(shí)的切入點(diǎn)不同導(dǎo)致方法各異；而利用待定系數(shù)法，通過(guò)轉(zhuǎn)化，結(jié)合判別式，通過(guò)解不等式來(lái)確定參數(shù)的最值問(wèn)題；而利用已知關(guān)系式的轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)參數(shù)的代數(shù)式，通過(guò)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值來(lái)確定最值問(wèn)題；而根據(jù)和式定值為1的性質(zhì)可以利用三角換元來(lái)處理，結(jié)合三角恒等變換，通過(guò)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來(lái)確定最值；而利用柯西不等式來(lái)確定最值也別有特色，特別對(duì)于三元及三元以上的問(wèn)題顯得更加有效果.F