王權威，祝雪萍，武鵬林，唐 莉

(太原理工大學水利科學與工程學院，山西太原030024)

0 引 言

實際工作中，分期設計洪水與分期調整汛限水位的基礎是合理的確定汛期分期，汛期分期對于流域、水庫防洪及洪水的安全利用等具有重大意義[1]。汛期因其具有隨機性、確定性、模糊性等變化規(guī)律[2]，其汛期分期的方法也多種多樣，現(xiàn)行汛期分期方法主要有[3-5]：數(shù)理統(tǒng)計法、Fisher最優(yōu)分割法、模糊集分析法、變點分析法、分形分析法等。這些方法存在或選取指標單一或計算繁瑣等缺陷，都不能提供簡便合理的汛期分期途徑[6]。汛期分期是一個穩(wěn)定—過渡循環(huán)交替的狀態(tài)，非汛期穩(wěn)定一個時間段過渡到汛期，汛期穩(wěn)定一個時間段再過渡到非汛期，以及前汛期穩(wěn)定一個時間段過渡到主汛期再到后汛期，汛期的變化過程符合過渡狀態(tài)的理論基礎。

本文以過渡理論為基礎，提出了數(shù)學概念清晰、理論功能強大的穩(wěn)定-過渡判別模式，結合主成分分析法對張家莊水庫進行不同論域的汛期分期，并進行對比分析。

1 理論基礎

1.1 過渡理論

過渡狀態(tài)研究事物的漸變過程，具有模糊性、混沌性以及分形性等特點。

若用過渡集合表示在論域U上的任一過渡狀態(tài)，其中Ui與Uj分別表示了過渡態(tài)Uij所對應的兩個穩(wěn)態(tài)，且有U=Ui∪Uj∪Uij與Ui∩Uj∩Uij=?成立[7]。

為了能夠獲得過渡集合U中任一元素u在從Ui到Uj的過渡過程中所具有的過渡特征刻畫，給定過渡映射T:U→[0，1]

u→τ(u)

則τ(u)為從穩(wěn)態(tài)Ui到Uj的過渡率，具體寫為

(1)

其分別對應了元素u處于完全未過渡、過渡過程中、與完全已過渡等三種過渡階段的過渡率映射結果，其過渡集合的類文氏圖如圖1所示。

圖1 過度集合的直觀解釋

1.2 均值變點

汛期的開始時間是雨量由少到多的時刻，會存在變點；而汛期的結束時刻是雨量由多到少的時刻，也會存在變點[8]。相似地可以得到：主汛期的開始時間是降雨強度由低到高的過渡，在這個時刻會存在“變點”；而主汛期的結束時刻則是降雨強度由高過渡到低的時刻，同樣在這一時刻也會存在“變點”。由過渡理論可以看出，過渡率和降雨指標變化之間具有正相關的關系。故，可以從尋找降雨強度的變點轉化為尋找過渡率的變點。本次采用均值變點分析法來尋找變點，然后根據(jù)變點進行分期，均值變點分析的步驟如下：

對于有序旬過渡率數(shù)列{xθ}(θ=f，f+1，…，d；f與d分別代表汛期開始和結束的旬)，因為汛期或者主汛期的開始時刻與結束時刻分別在臨界過渡率所對應的旬的前面和后面，所以按照數(shù)列中的臨界過渡率，把有序旬過渡率數(shù)列劃分為兩列即：xf，xf+1，…，xt和xt，xt+1，…，xd，其中xt=max(xf，xf+1，…，xd)或xt=min(xf，xf+1，…，xd)。

假定有序旬過渡率數(shù)列xf，xf+1，…，xt或xt，xt+1，…，xd，在第θ個旬與第θ+1個旬處斷開，則可計算統(tǒng)計量Dt和D，見式(1)、(2)

(1)

(2)

β=D-Dt

(3)

則最大β對應的第θ個旬即為變點，從而可以求出主汛期開始的旬。

同理，對有序數(shù)列xt，xt+1，…，xd進行上述演算，也就可以得到主汛期結束的旬。根據(jù)主汛期開始與結束的旬，可以對汛期進行汛期分期。

2 穩(wěn)定-過渡判別模式原理與步驟

正如模糊集可以由隸屬函數(shù)所刻畫那樣，汛期過渡集合也可以由臨界過渡率所刻畫；而臨界過渡率的大小又依賴于臨界過渡函數(shù)的形式，對應于不同的臨界過渡函數(shù)可以得到不同的汛期過渡集合特征刻畫。根據(jù)臨界汛期過渡態(tài)自身所具有的模糊性與隨機性，臨界過渡函數(shù)的選取需將兩者相結合。過渡率函數(shù)為

(4)

式中，a1=minxi，a2=maxxi。

水庫每年從非汛期過渡到汛期，又從汛期過渡到非汛期，并且在汛期內，又可以從前汛期過渡到主汛期再到后汛期，可將汛期劃分視為連續(xù)的多個過渡狀態(tài)，以往對于汛期人為的定為6月～9月或者6月～11月等，運用過渡理論，可同時進行汛期劃分與汛期分期，克服傳統(tǒng)的人為界定汛期的主觀性。具體步驟如下：

(1)構建n個指標特征值矩陣

其中，xit為時序t指標i特征值，共有n個指標。

(2)根據(jù)式(4)確定各個指標在時序t內的過渡率。 確定時序研究對象指標i的特征值xit落入非汛期與汛期或汛期與非汛期的過渡率為1和0的標準值區(qū)間矩陣Ni1，Ni2，已知矩陣X，可得標準區(qū)間矩陣Y=(Nih)，其中i=1，2，3…n;h=1，2；則

Ni1=(minxit，maxxit)，Ni2=(maxxit，minxit)

(5)

其中，maxxit，minxit分別為時序集xit的最大、最小特征值，即maxxit=a2，minxit=a1。

(3)確定各指標的權重wi。

(4)計算xit綜合過渡率

(6)

式中，α為優(yōu)化準則參數(shù)；P為距離參數(shù)。α=1為最小一乘方優(yōu)化準則，α=2為最小二乘方優(yōu)化；考慮到α=2對距離具有放大或縮小效應，因此，在汛期分期的應用中，選取α=1。若采用優(yōu)化準則參數(shù)α=1，距離參數(shù)為海明距離，即P=1，則式(6)變?yōu)榫€性公式

(7)

若為非線性系統(tǒng)，可采用歐氏距離，即P=2，式(6)變?yōu)?/p>

(8)

3 實例應用

3.1 流域概況

張家莊水庫位于孝義市舊城西2.5 km的孝河上，屬于暖濕帶大陸性季風氣候，多年平均徑流量468 mm左右，控制流域面積465.1 km2。張家莊水庫是孝河流域干流上主要的蓄水防洪工程，具有防洪、工業(yè)、灌溉、生態(tài)旅游、供水的綜合功能。

3.2 研究期確定

以降雨補給徑流為主的流域，其降雨量與徑流量間存在相關性?？菟诮涤炅可?，相關系數(shù)較低；而豐水期時降雨補給徑流充沛，相關系數(shù)很高[9]。這樣就可形成年際內降雨與徑流的相關系數(shù)序列，可利用月徑流-降雨相關系數(shù)序列，采用基于過渡理論的穩(wěn)定-過渡判別模式，定量的確定汛期分期的研究域。

本文統(tǒng)計分析了張家莊水庫1994年～2014年共21年的月降雨-徑流資料，得到了降雨P和徑流R的平均相關系數(shù)矩陣X=[0.02 0.24 0.22 0.39 0.64 0.72 0.73 0.67 0.75 0.50 0.29 0.01]。

再據(jù)X可得從非汛期過渡到汛期再從汛期過渡到非汛期的相關系數(shù)兩個標準區(qū)間矩陣：Y11=[0.02 0.75]；Y12=[0.75 0.01]。

根據(jù)穩(wěn)定-過渡判別模式原理與步驟得到降雨P和徑流R的相關系數(shù)過渡矩陣：X′=[1.00 0.79 0.83 0.49 0.06 0 0 0 0 0.26 0.70 1.00]。

3.3 基于旬的汛期分期

在分期汛限水位調度模式下，需要根據(jù)洪水暴雨特征進一步的對汛期分期。由上述分析可得6月～9月為汛期分期的研究域。在6月～9月中，本文首先以旬為單位，將整個研究域劃分為12個旬。依據(jù)張家莊水庫1962年～2014年的共53 a的逐日降雨資料，選取能反映張家莊水庫流域范圍內暴雨洪水特征的四個指標：多年平均旬降雨量，多年平均旬最大一日雨量，多年平均旬最大三日雨量，暴雨天數(shù)(日降雨量>25 mm)。每一旬各指標的取值利用逐日降雨資料統(tǒng)計得到，標準化后得

據(jù)矩陣X1可得從汛前期過渡到主汛期和從主汛期過渡到后汛期指標的兩個標準區(qū)間矩陣分別為：

運用用SPSS軟件對標準化的樣本數(shù)據(jù)進行主成分分析，可得表1及表2。

表1 解釋的總方差 %

由表1可知，主成分1特征累積方差貢獻率≥90%。因此，第一個主成分能夠反映各指標的大部分信息。

表2 成分矩陣

綜合得分模型為：F=0.486X1+0.084X2+0.038X3+0.019X4。

各指標的權重為：ω=(ω1，ω2，ω3，ω4)=(0.776，0.133，0.061，0.09)。

應用式(4)與矩陣Y11和Y12，可得從汛前期過渡到主汛期和從主汛期過渡到后汛期各降雨指標的過渡率矩陣

采用主成分分析法所得權重，根據(jù)式(6)可得到在線性模型和非線性模型下的相對過渡率。

0.00 0.38 0.02 0.22 0.12 0.21 0.40 0.83

1.00]。

按照數(shù)列中的臨界過渡率，把有序旬過渡率數(shù)列劃分為兩列即：1.00，0.91，0.73，0.00和0.00，0.38，0.02，0.22，0.12，0.21，0.40，0.83，1.00。

分別使用式(1)、(2)、(3)計算β。β在設定不同的斷開情況下的變化見圖2。

圖2 β隨 θ變化

由圖2可知，將有序旬過渡率數(shù)列劃分為兩列時，β取到最大值對應的點分別為第4個旬與第9個旬，則第4個旬與第9個旬為變點。即：前汛期為6月1日至6月30日，主汛期為7月1日至8月20日，后汛期為8月21日至9月30日。

3.4 基于候的汛期分期

在6月～9月的研究論域中，以候(5 d)為基本單位，將整個研究論域劃分為24個候。仍選取上述4個指標構造樣本陣，并對數(shù)據(jù)標準化。

由主成分分析法得到各指標的權重為：ω=(ω1，ω2，ω3，ω4)=(0.76，0.15，0.07，0.01)。

采用主成分分析法所得權重，根據(jù)式(6)可得到在線性模型和非線性模型下的相對過渡率。

0.95 0.95 0.56 0.08 0.35 0.67 0.55 0.71 0.00 0.07 0.99 0.16 0.92 0.86 0.33 0.89 0.90 1.00 0.96 1.00 0.92]。

按照數(shù)列中的臨界過渡率，把有序旬過渡率數(shù)列劃分為兩列即：0.99，1.00，0.91，0.95，0.95，0.56，0.08，0.35，0.67，0.55，0.00和0.00，0.07，0.99，0.16，0.92，0.86，0.33，0.89，0.90，1.00，0.96，1.00，0.92。

表3 基于不同論域的汛期分析結果

分別使用式(1)、(2)、(3)計算β，圖3所示為β在設定不同的斷開情況下的變化圖。

圖3 β隨 θ變化

由圖3可知，對于前半部分變點為第5個候為變點，對于后半部分變點為第18個候為變點，即前汛期為6月1日至6月20日，主汛期為6月21日至8月25日，后汛期為8月26日至9月30日。

3.5 結果比較與分析

表3給出基于候和旬對張家莊水庫汛期分期結果比較。從表3可以看出，本研究得到基于候的汛期分期得到的主汛期更長，有益于水庫控制流域內主要河流重點河段、重要城鎮(zhèn)的防洪安全?；谘难雌诜制谂cFisher表現(xiàn)出較高的一致性，但汛期劃分與Fisher存在一定差別。從成因上看，孝河流域呈顯著的大陸性季風氣候，冬季蒙古高壓鼎盛，該流域接近高壓中心，降雨較少；3月～5月份季風開始轉變，氣團活動開始頻繁，但是風沙很大，降雨也相對不多；從6月～9月開始，受東南季風支配，并在山西和河南之間發(fā)育的一個小低壓與副熱帶海洋氣團接觸，再加之有因對流和地形抬升形成大量的降雨，且大暴雨多發(fā)生在7月中旬到8月初。9月開始，氣溫開始降低，地面氣壓場開始轉變，該流域開始受槽后西北氣流控制，降雨開始減少。由判別模式法得到汛期為6月～9月，相比Fisher最優(yōu)分割的5月～10月與降雨天氣系統(tǒng)更為一致的，符合洪水季節(jié)規(guī)律和成因特點，本文的分析方法更為合理的。

4 結 論

(1)分期論域對分期結果有一定影響，在實際中應細化汛期分期論域，讓分期結果更精確；同時，也可對不同的防洪安全標準制定不同的汛期分期論域。另外，也可以利用不同論域的分期結果，提供防洪安全或挖掘洪水資源潛力的依據(jù)。

(2)本文提出的方法分期結果與降雨天氣系統(tǒng)更為一致，符合洪水季節(jié)規(guī)律和成因特點，有較強的理論背景，數(shù)學概念清楚。

(3)本文提出的方法計算方便，結果直觀，汛期劃分以及汛期分期更合理。

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