鐘宇寧

摘 要 近年高考命題趨勢表明，導(dǎo)數(shù)已經(jīng)成為新教材高考命題的熱點。導(dǎo)數(shù)作為一種重要的解題工具在考察高中數(shù)學(xué)的函數(shù)的單調(diào)性及其延伸問題有其獨特的作用，而函數(shù)的單調(diào)性是研究函數(shù)的性質(zhì)如極值、最值（值域）、零點等問題的先決條件，故判斷導(dǎo)函數(shù)的符號是導(dǎo)數(shù)工具作用能否發(fā)揮的關(guān)鍵一步。文章結(jié)合實際教學(xué)經(jīng)驗例談導(dǎo)函數(shù)不等式的求解方法。

關(guān)鍵詞 導(dǎo)數(shù) 函數(shù)單調(diào)性 函數(shù)最值 函數(shù)零點

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2018.01.013

Guidance Function Inequality Solution Set Method

ZHONG Yuning

（Shuizhai High School， Meizhou， Guangdong 514400）

Abstract In recent years， college entrance examination proposition trend shows that the derivative has become a hot textbook proposition. Derivatives as an important problem-solving tool have unique functions in examining the monotonicity and extension of high school mathematics functions. The monotonicity of the function is to study the properties of the function such as extreme value， maximum value （range）， zero point and other issues preconditions， so to determine the function of the derivative of the derivative function of the key tool can play a key step. The article combined with the actual teaching experience to talk about the inequality of the derivative function.

Keywords derivative； monotonic function； value of the function； function zero

函數(shù)單調(diào)性是考察函數(shù)圖像與性質(zhì)的核心，特別是函數(shù)性質(zhì)中的最值、零點、極值等與函數(shù)的單調(diào)性密不可分。函數(shù)單調(diào)性是解決函數(shù)問題的突破口，對函數(shù)單調(diào)性的討論與應(yīng)用一直都是中學(xué)數(shù)學(xué)的重難點，同時也是高考重點考察的題型之一。導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性的強大工具，而函數(shù)單調(diào)性的確定關(guān)鍵在于導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值符號的判斷，故函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)符號的判斷是確定函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵。本文就一些具體的例子介紹用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性中符號判斷進(jìn)行方法研究。

1 直接法

導(dǎo)數(shù)符號的判斷首先是導(dǎo)函數(shù)解析式在定義域內(nèi)的函數(shù)值符號的判斷過程。要想判斷一個函數(shù)值的符號，若導(dǎo)函數(shù)能表達(dá)成“因式相乘”形式，則導(dǎo)函數(shù)值符號的判斷即為各個因式符號的考察，再利用導(dǎo)函數(shù)值符號與函數(shù)單調(diào)性對應(yīng)關(guān)系來判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間。

已知函數(shù)且在處的切線斜率為，求的值，并討論在[- ， ]上的單調(diào)性。

分析：通過條件可解得的解析式，而的單調(diào)性必須由判斷。

解：由條件知，

又

而時，；

時，；

時，；

時，

在上為增函數(shù)；在上為函數(shù)。

評注：判斷函數(shù)值的符號先看“解析式”，若導(dǎo)函數(shù)可以化為因式相乘形式并且在定義域內(nèi)各個因式的零點容易求解，則可以利用直接法將導(dǎo)函數(shù)的符號化歸為各個因式的符號。特別地，各個因式的符號要充分利用函數(shù)的定義域、參數(shù)范圍、基本函數(shù)的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等直接判斷各自的符號。

2 參數(shù)討論法

含參數(shù)的函數(shù)問題是近年來高考的熱點和難點，此類考題常常以導(dǎo)函數(shù)含參的形式出現(xiàn)?？偟恼f來，“含參的導(dǎo)函數(shù)”分類討論可以包含以下情況：①導(dǎo)函數(shù)方程的根的情況進(jìn)行討論；②導(dǎo)函數(shù)方程的根存在參數(shù)時對根的大小進(jìn)行討論；③導(dǎo)函數(shù)方程的根與區(qū)間的位置情況進(jìn)行討論。

設(shè)函數(shù)，其中，對任意的使得恒成立，求的取值范圍。

分析：恒成立只要即可，而要找在在上的最小，在上單調(diào)性必不可少。

解：由

又，令，則與符號相同

當(dāng)時即即時，恒成立，故恒成立，即在上單調(diào)增函數(shù)，成立，

當(dāng)時即即時，即

即

上單調(diào)減函數(shù)，在上單調(diào)增函數(shù)

又時，，不成立。

綜上所述，的取值范圍為[2，+]。

評注：對導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式各因式符號進(jìn)行判斷哪些是恒正、恒負(fù)，哪些是符號不確定。含參的導(dǎo)函數(shù)符號討論?；瘹w到含參的因式符號的討論，可將該含參的因式看作新函數(shù)按參數(shù)討論的常規(guī)問題一一討論。

3 導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性及零點判斷

對函數(shù)求導(dǎo)后導(dǎo)函數(shù)難以化為因式相乘形式但導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)可利用多個基本初等函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷為單一（增+增=增；減+減=減）且導(dǎo)函數(shù)的零點能求解，可利用導(dǎo)函數(shù)的零點即為函數(shù)符號的分界線來明確導(dǎo)函數(shù)值在定義域內(nèi)的符號范圍。

設(shè)函數(shù)，若存在使得成立，則的取值范圍是（ ）

A. （4，+∞） B.（2，+∞） C.（-∞，-2） D.（-∞，4）

分析：由函數(shù)可得，若對一次函數(shù)再次求導(dǎo)則其二次導(dǎo)函數(shù)仍然為超越，故對的符號判斷轉(zhuǎn)向?qū)ζ鋯握{(diào)性及零點的考察上。

解：由函數(shù)

可得

又且

而與在上都為增函數(shù)，

故上都為增函數(shù)，

在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)

即

，即得

評注：導(dǎo)函數(shù)為超越函數(shù)的符號判斷，可先預(yù)判導(dǎo)函數(shù)是否單調(diào)函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)是否有零點，若導(dǎo)函數(shù)為單調(diào)函數(shù)且有零點，則零點即為導(dǎo)函數(shù)值符號的分界點。

4 二次求導(dǎo)法

函數(shù)求導(dǎo)后導(dǎo)函數(shù)為超越函數(shù)，若導(dǎo)函數(shù)的零點難于判斷且不能判斷為單一單調(diào)函數(shù)時，可對一次導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行二次求導(dǎo)來考察一次導(dǎo)函數(shù)的零點、單調(diào)性等進(jìn)而得到導(dǎo)函數(shù)值符號的分界點。

設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)性。

分析：利用發(fā)現(xiàn)解導(dǎo)數(shù)不能直接判斷單一但，故可以考慮進(jìn)行二次求導(dǎo)。

解：由得

令，則

恒成立

在上為單調(diào)函數(shù)，又

時， 即 時，即

即在上為函數(shù)，在上為增函數(shù)

評注：二次求導(dǎo)作用：①對超越函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)可化為非超越函數(shù)；②二次求導(dǎo)后考察二次導(dǎo)函數(shù)的符號可利用前面方法判斷出一次導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值?？傊?，二次求導(dǎo)目的為一次導(dǎo)函數(shù)的零點存在情況即尋找一次導(dǎo)函數(shù)值符號的分界。

設(shè)函數(shù)滿足，則當(dāng)時， （ ）

A.有極大值，無極小值 B.有極小值，無極大值

C.既有極大又有極小 D.既無極大也無極小

分析：此問題中的函數(shù)的解析式并不明確，故的單調(diào)性可考察的表達(dá)式。

由，故的符號主要由的符號決定。

而的性質(zhì)再用導(dǎo)數(shù)來探究。

解：由可得，

令，

又

由，即，即0<。

在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2+∞） 上單調(diào)遞增，

≥0在上恒成立，即上恒成立

即在上是單調(diào)遞增函數(shù)

在上無極值。

評注：二次求導(dǎo)可以只針對一次導(dǎo)函數(shù)中的部分，但必須是決定一次導(dǎo)函數(shù)符號的關(guān)鍵部分。

5 圖像法

導(dǎo)函數(shù)為超越函數(shù)且對其進(jìn)行二次求導(dǎo)后仍為超越函數(shù)，可考慮將導(dǎo)函數(shù)符號判斷轉(zhuǎn)化為圖像法進(jìn)行求解，即將不等式可化歸為，將超越函數(shù)不等式化歸為兩個基本函數(shù)圖像之間的位置關(guān)系，即在上方的圖像對應(yīng)的的集合。

已知為常數(shù)，函數(shù)有兩個值點，則（ ）

A. B.

C. D.

分析：由比較函數(shù)值的大小即考察函數(shù)的單調(diào)性而由得， ，即與的圖像中在的圖像上方部分； ，即與的圖像中在的圖像下方部分。

解：由得

又由函數(shù)有兩個極值點

即即有兩個不同交點

，即與的圖像中在的圖像上方部分

即在的圖像下方部分，如圖1 （下轉(zhuǎn)第39頁）（上接第30頁）

可知，即即，即或，又與相切時，設(shè)切點（）

且在上增函數(shù)

評注：超越不等式化歸為基本函數(shù)之間圖像位置關(guān)系常要利用圖像平移、翻折等畫圖方法。

從以上判斷導(dǎo)函數(shù)符號的方法可以思索，判斷導(dǎo)函數(shù)值的符號，首先考察導(dǎo)函數(shù)的表達(dá)式，因式相乘或分式的導(dǎo)函數(shù)符號是近年高考的熱點，故在導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式化簡中盡量化為因式相乘或分式形式。導(dǎo)函數(shù)為超越函數(shù)是近年來對導(dǎo)數(shù)考察的常見題型，從以上例子可以看出超越函數(shù)的符號判斷方法也較為靈活。