安徽省霍邱縣第一中學(xué)

馮克永 (郵編：237400)

ex與lnx是高考考能力的經(jīng)典載體，倍受命題者的青睞，每年高考至少出現(xiàn)一個(gè).兩者聯(lián)姻產(chǎn)生的問題，更具有抽象程度高、求解靈活性大的特點(diǎn)，對(duì)解題者的數(shù)學(xué)技能及創(chuàng)新意識(shí)的考查具有獨(dú)到之處.因而，它成了數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)的難點(diǎn)和競賽命題的熱點(diǎn).本文通過實(shí)例介紹四種常見的變通策略，供讀者參考.

1 直接運(yùn)算

對(duì)所給問題嘗試對(duì)其進(jìn)行一系列運(yùn)算求解.

例1已知函數(shù)f(x)=xlnx-aex有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

點(diǎn)評(píng)直接進(jìn)行一系列求導(dǎo)運(yùn)算，沒有涉及較難的導(dǎo)數(shù)值等于0的求解問題，凸顯解決此類問題的常規(guī)方法.

2 順猜轉(zhuǎn)化

直接運(yùn)算難成功，嘗試順應(yīng)命題者的意圖猜，使其轉(zhuǎn)化前行.

3 分而治之

直接運(yùn)算很難進(jìn)行，嘗試將ex與lnx分開運(yùn)算求解.

點(diǎn)評(píng)分開轉(zhuǎn)化，分別求其最大值與最小值，走不等式證明的極端處理法(最小值大于最大值)，方法奇特，耐人尋味.

4 放縮轉(zhuǎn)化

ex與lnx存在很難處理，嘗試?yán)贸Ｒ姴坏仁?如ex≥x+1(x∈R,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立)與lnx≤x-1(x>0,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立))或題證不等式，將其放縮消失轉(zhuǎn)化求解.

(1)當(dāng)0≤a≤2,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：當(dāng)x>0時(shí)，(ex-1)ln(x+1)+ex>x2+x+1.

解析第(1)問比較常規(guī)，第(2)問聯(lián)想到不等式(1)處理.

解得x=0或x=a2-2a,又0≤a≤2,所以a2-2a≤0,又x≥0,所以f′(x)≥0,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[0,+∞).

點(diǎn)評(píng)不等式是深刻認(rèn)識(shí)函數(shù)的重要工具，二者結(jié)合是近幾年高考命題的新熱點(diǎn).第(1)小題是常規(guī)的導(dǎo)數(shù)題易解決，第(2)小題利用常見不等式ex≥x+1及加法運(yùn)算化整體為局部，再利用第(1)小題的結(jié)論，取a=2放縮傳遞是神來之筆，很值得回味.試題命制一般遵循設(shè)問之間的連貫性，在后問“山窮水盡”之時(shí)，前問(有時(shí)即使未解決，用其結(jié)論也可以)往往會(huì)帶來“柳暗花明”之喜，這應(yīng)引起我們的高度重視.

例5已知函數(shù)f(x)=xex-a(lnx+x).

(1)若函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若對(duì)?x>0,恒有不等式f(x)>1成立.

①求實(shí)數(shù)a的值；

②證明：x2ex>(x+2)lnx+2sinx.

(2)①由(1)知，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，f(x)的值域?yàn)镽,不符合題意；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)max=a-alna,故只需a-alna≥1.令g(a)=a-alna,則g′(a)=-lna,所以g(a)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減，從而g(a)max=g(1)=1,所以a-alna≤1,故滿足條件的實(shí)數(shù)a=1.

解法二由x2ex>(x+2)lnx+2sinx，得x2ex-(x+2)lnx-2sinx>0,再由x>0,ex>x+1,lnx≤x-1,sinx0,從而g(x)在(0,+∞)上的最小值為g(1)=13-3×1+2=0,所以x3-3x+2≥0,故x2ex>(x+2)lnx+2sinx.

點(diǎn)評(píng)第(1)問采用直接運(yùn)算處理，對(duì)導(dǎo)數(shù)值等于零很難解時(shí)，常采用設(shè)而不求的處理策略，解法通性.第(2)題的第①題解法常規(guī)，目的是為第②題放縮服務(wù)的，加之常見不等式的參與，凸顯命題者的意圖及第②題解法一的美妙. 第②題的解法二擺脫第①題的安排，利用三個(gè)常見不等式同時(shí)放縮轉(zhuǎn)化，思維奇異，越思越有味，越想越奇妙. 運(yùn)用常見不等式放縮解決ex、lnx與sinx的聯(lián)姻題往往能達(dá)到“魚翔淺底、鷹擊長空”的境界.方法思考的過程是痛苦的，解完后是快樂的，讓人感悟數(shù)學(xué)的奇異與美妙.