廣東省廣州市番禺區(qū)實驗中學(xué)

潘神龍 (郵編：511400)

函數(shù)不等式是高考數(shù)學(xué)中的一類重要題型，具有綜合性強、解法靈活多變的特點，通常是高考的壓軸題，具有較好的區(qū)分層次和選拔功能.在以往的教學(xué)中，我們強調(diào)通性通法,通過強化解題過程的規(guī)范性，讓學(xué)生更多的拿過程分．其實，對函數(shù)不等式的處理可以仿照選擇題的解法，從已有條件入手，充分挖掘隱含信息，從而起到事半功倍的效果．本文重點對“函數(shù)不等式中求參數(shù)的取值范圍”這一類題目的解法進行探究.

1 解法探究

解(I) 、(II) 略．

(III)解法一當(dāng)k≥1時，由(II)，不存在x0滿足題意.

當(dāng)x∈(1,x2)時，F(xiàn)′(x)>0,F(x)單調(diào)遞增,F(x)>F(1)=0．綜上，k的取值范圍是(-∞,1)．

解(I) 、(II)略.

注意到F(0)=0,要使得F(x)>0對x∈(0,1)恒成立，則需存在h∈(0,1)，使得F′x>0對x∈(0,h)恒成立.否則，F(xiàn)′x≤0對x∈(0,1)恒成立，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減，F(xiàn)(x)

例3(2012年高考天津卷·理20)已知函數(shù)f(x)=x-ln(x+a)的最小值為0,其中a>0．(I)求a的值；(II)若對任意的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx2成立,求實數(shù)k的最小值；(III)略．

解(I) 略．

(II)解法一由(I),a=1．

當(dāng)k≤0時，有f(1)=1-ln2>0,故k≤0不合題意．

．

2 深入思考

以上三例都是首先構(gòu)造函數(shù)Fx,解法一是從F′x=0的根入手，對k的取值范圍進行分類討論；解法二是把Fx>0的恒成立問題轉(zhuǎn)化成F′x>0的恒成立問題，把解法二進行推廣，可得如下定理.

定理1假設(shè)F(x)>0(F(x)≥0)在(a,b)上恒成立，F(xiàn)(a)=0,則存在h∈(0,b-a],使得F′(x)>0(F′(x)≥0)在(a,a+h)上恒成立．此時有F′(a)≥0．

證明假設(shè)任意的h∈(0,b-a],都有F′(x)≤0,則F(x)在(a,b)上單調(diào)遞減(或者有部分為常值函數(shù))，對任意的x∈(a,b),有Fx≤F(0)=0,矛盾.再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的介值性定理，可知F′(a)≥0.

定理2假設(shè)F′x在(a,b)上單調(diào)遞增，F(xiàn)(a)=0,那么F(x)>0(F(x)≥0)在(a,b)上恒成立?F′(x)>0(F′(x)≥0)在(a,b)上恒成立．此時有F′(a)≥0．

證明由定理1，存在h∈(0,b-a],使得F′(x)>0在(a,a+h)上恒成立．又因為F′x在(a,b)上單調(diào)遞增，所以F′(x)>0在(a,b)上恒成立．

因為F′(x)>0,所以F(x)在(a,b)上單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)>F(a)=0在(a,b)上恒成立．

3 結(jié)束語

在教學(xué)中，教師在強調(diào)通性通法的同時，也應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生多對題目的特殊性進行觀察、研究，往往會靈光突現(xiàn)、豁然開朗，取得令人驚喜的效果，正所謂獨辟蹊徑方能曲徑通幽.

1 潘神龍.函數(shù)不等式“f(x)大于g(x)”與“f′(x)大于g′(x)”的聯(lián)系探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2017(7)

2 潘神龍.真的是循環(huán)論證嗎？——對一道試題數(shù)學(xué)歸納法解法的探究[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2016(2)