貴州省遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院

翁小勇 (郵編：563002)

1 引言

探究性學(xué)習(xí)是新課程改革中積極倡導(dǎo)的一種學(xué)習(xí)方式，學(xué)生通過類似于科學(xué)家探究問題的方式獲取科學(xué)知識，并在探究學(xué)習(xí)中學(xué)會科學(xué)的方法和技能、形成科學(xué)觀點和科學(xué)精神.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》)十分關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，明確指出，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)“倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式；學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的‘再創(chuàng)造’過程”[1].在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，從數(shù)學(xué)自身特點岀發(fā)，根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，有效合理地組織學(xué)生開展探究性學(xué)習(xí)，是構(gòu)建高效課堂教學(xué)效果的重要途徑.

2 觀察發(fā)現(xiàn)問題，實施探究性學(xué)習(xí)

自然科學(xué)發(fā)展史表明，科學(xué)始于觀察，在巴甫洛夫的實驗室的墻上掛著“觀察，觀察，再觀察”的條幅，他在科學(xué)上的最大成就可以說就是從觀察中起步的.觀察對數(shù)學(xué)的研究和學(xué)習(xí)也是十分重要的，不僅數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)原理和規(guī)律需要觀察，中學(xué)生學(xué)習(xí)知識和解決問題也需要觀察.

△=by-e2-4ay-dcy-f≥0

再由以上關(guān)于y的不等式就可以求出y的值域.由此聯(lián)想到以下三角函數(shù)式的值域該怎么求？

2.1 提出問題 ，激發(fā)欲望

上面需要解決的問題，可以進一步分解細化為更小的兩個問題.

(1)能求出方程acosx+bsinx=c有實數(shù)解的條件嗎？

2.2 探究歸納，形成結(jié)論

①

②

注意當(dāng)θ的取值范圍受到限制時，fθ=acosθ+bsinθ的值域與最值應(yīng)該由具體情況而定.

即：a2+b2-c2≥0

③

稱△=a2+b2-c2為該方程的判別式.

故方程acosx+bsinx=c有實數(shù)解的充要條件是△≥0.

解去分母整理，得：2y-3cosx+y-1sinx=-y.

由③式知：2y-32+y-12--y2≥0,即2y2-7y+5≥0,

2.3 縱橫拓展，鼓勵創(chuàng)新

通過探究acosθ+bsinθ的變形，得到了函數(shù)fθ=acosθ+bsinθ的值域以及關(guān)于x的方程acosθ+bsinθ=c有實數(shù)解的充要條件是a2+b2-c2≥0.

而fθ=acosθ+bsinθ可以改寫為fθ,φ=acosθ+bcosφ的形式，其中cos2θ+cos2φ=1.這樣原來的一元函數(shù)的最值問題就變成帶有附加條件cos2θ+cos2φ=1的二元函數(shù)的最值問題.于是二元最值問題可以推廣到n元：

定理設(shè)n∈N,n≥2,在約束條件cos2θ1+cos2θ2+…+cos2θn=1下，

當(dāng)且僅當(dāng)

當(dāng)且僅當(dāng)

這里ai是非零實常量，θi是實變量1,2,…,n.

此定理用數(shù)學(xué)歸納法容易證明.

3 結(jié)束語

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，正確引導(dǎo)學(xué)生進行探究性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)過程真正成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”探究過程，既是《標(biāo)準(zhǔn)》倡導(dǎo)的教育理念之一，也是廣大教師積極追求的教學(xué)效果.

1 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)[M].北京：人民教育出版社，2003

2 李長明.周煥山. 初等數(shù)學(xué)研究[M].北京：高等教育出版社，1995

3 董榮森.讓探究成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的常態(tài)[J].數(shù)學(xué)通報，2014(1)：25-28

4 張雄,李得虎. 數(shù)學(xué)方法論與解題研究[M].北京：高等教育出版社，2002