華東師范大學(xué)附屬周浦中學(xué)

凌燕萍 (郵編：201318)

上教版高三數(shù)學(xué)(試用本)中給出的樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式不同于其他版本的教材，教材中也沒有給出說明，給廣大老師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來不少困擾.

方差和標(biāo)準(zhǔn)差給出的是一組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)程度的大小，數(shù)值越小，說明這組數(shù)據(jù)越向平均數(shù)集中，數(shù)據(jù)越大，說明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度越大.在某些統(tǒng)計(jì)問題中，做不到也沒必要對(duì)總體中的每一個(gè)個(gè)體進(jìn)行研究，就需要從總體中抽樣研究.那么怎么用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差來估計(jì)總體的標(biāo)準(zhǔn)差呢？不同的版本有不同的說明：

1 對(duì)方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義

1.1 上教版

1.2 人教版

1.3 蘇教版

1.4 《教育統(tǒng)計(jì)與測(cè)評(píng)導(dǎo)論》

2 典型例題

2.1 上教版高三數(shù)學(xué)(試用本)第108頁例1：

某賽季甲乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員在若干場(chǎng)比賽中的得分情況如下：甲：18、20、21、22、23、25、28、29、30、30、32、34.乙：8、13、14、16、23、26、28、33、38、39、48.問誰的比賽成績(jī)比較穩(wěn)定.(結(jié)果精確到0.01)

解析易得甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)得分的平均值均為26分.

設(shè)甲得分的標(biāo)準(zhǔn)差為s1,記甲的每場(chǎng)得分與其得分平均值的差的平方和為∑1,則∑1=(18-26)2+(20-26)2+(21-26)2+…+(32-26)2+(34-26)2=296,

設(shè)乙得分的標(biāo)準(zhǔn)差為s2,同理得

因?yàn)閟2>s1,所以甲運(yùn)動(dòng)員的比賽成績(jī)比較穩(wěn)定.

2.2 上教版高三數(shù)學(xué)(試用本)第106頁例3:

為了解某體校學(xué)生長(zhǎng)跑的情況，觀察隨機(jī)抽取的20名學(xué)生一周內(nèi)跑步的累積千米數(shù)，在各個(gè)區(qū)間內(nèi)頻數(shù)記錄如下表所示：

表1

求一周內(nèi)學(xué)生平均累積跑步的千米數(shù)及其標(biāo)準(zhǔn)差.

解析先求出各個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)值：8、13、18、23、28、33、38.

s=

本題中，n=20,m=7.經(jīng)計(jì)算得：x=24.5,s=8.29.

因此可知：學(xué)生平均每周累計(jì)跑24.5千米，標(biāo)準(zhǔn)差為8.29千米.

2.3 2009年重慶高考卷(文科)

從一堆蘋果中任取5只，稱得它們的質(zhì)量如下(單位：克)125 124 121 123 127則該樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=______(克)(用數(shù)字作答)．

以上三個(gè)例題都用到了樣本標(biāo)準(zhǔn)差，由于教材不同，選用了不同的公式，那么，上教版中的樣表標(biāo)準(zhǔn)差為什么要除以n-1？這么做能消除系統(tǒng)偏差的依據(jù)是什么呢？對(duì)應(yīng)地，樣本均值為什么沒有除以n-1呢？

3 基本原理

根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量對(duì)相應(yīng)總體參數(shù)所作的估計(jì)叫做總體參數(shù)估計(jì)，總體參數(shù)估計(jì)分為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì).點(diǎn)估計(jì)是指用某一樣本統(tǒng)計(jì)量的值來估計(jì)相應(yīng)的總體參數(shù)的值.比如，用樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差來估計(jì)總體平均數(shù)和總體標(biāo)準(zhǔn)差就是點(diǎn)估計(jì).

點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是：無偏性、有效性、一致性.

3.1 無偏性

當(dāng)用某一個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量的值估計(jì)總體參數(shù)值時(shí)，總會(huì)有所偏差，有的大于總體參數(shù)，有的小于總體參數(shù)，如果一切可能個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量的值與總體參數(shù)值偏差的平均值為0，這種統(tǒng)計(jì)量就是總體參數(shù)的無偏估計(jì)量.

兩個(gè)定義：

μ=E(X)；

σ2=D(X)=E(X-EX)2.

數(shù)學(xué)期望有以下性質(zhì)：

(1)常數(shù)性E(C)=C,其中C為常數(shù)；

(2)齊次性E(CX)=CE(X)；

(3)可加性E(X+Y)=E(X)+E(Y)；

(4)獨(dú)立性E(X·Y)=E(X)·E(Y)，其中X,Y相互獨(dú)立.

方差具有下列性質(zhì)：

(1)常數(shù)性D(C)=0，其中C為常數(shù)；

(2)二次性D(CX)=C2D(X)；

(3)可加性D(X+Y)=D(X)+D(Y)，其中X,Y相互獨(dú)立.

可見：樣本均值x是總體均值μ的一個(gè)無偏估計(jì)量.

所以，S*2為σ2的一個(gè)無偏估計(jì)量.

3.2 有效性

當(dāng)總體參數(shù)不止有一種無偏估計(jì)時(shí)，某一種估計(jì)量的一切可能樣本值的方差小的為有效性高，方差大的為有效性低.如：樣本均值x、中位數(shù)Md、眾數(shù)M0都是總體平均數(shù)μ的無偏估計(jì)量，但x的一切可能樣本值的方差最小，所以x是總體平均數(shù)μ最有效的估計(jì)量.

3.3 一致性

當(dāng)樣本容量無限增大時(shí)，估計(jì)量的值能越來越接近它所估計(jì)的總體參數(shù)值，這種估計(jì)量是總體參數(shù)一致性估計(jì)量.如：樣本均值x是總體平均數(shù)μ的一致性估計(jì)量，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s是總體標(biāo)準(zhǔn)差σ的一致性估計(jì)量.

通過上面的分析可見，上海教材里將樣本的標(biāo)準(zhǔn)差

作為總體標(biāo)準(zhǔn)差的點(diǎn)估計(jì)值是合理的.

1 劉新平，劉存?zhèn)b.教育統(tǒng)計(jì)與測(cè)評(píng)導(dǎo)論[M].北京：科學(xué)出版社.2012

2 王孝玲.教育統(tǒng)計(jì)學(xué)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社.2003