蔡際紅

近幾年中考試題中出現(xiàn)了一種判斷推理題，這種題型的特征是先對(duì)所給題目環(huán)境進(jìn)行閱讀判斷，然后說(shuō)理分析.

例1 閱讀下列解題過(guò)程：已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足a2c2-b2c2=a4-b4，試判斷△ABC的形狀.

解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，①

∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2），②

∴c2=a2+b2，③

∴△ABC是直角三角形.

問(wèn)：（1）上述解題過(guò)程，從哪一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤？該步的代號(hào)為 .

（2）錯(cuò)誤的原因?yàn)?.

（3）本題的正確結(jié)論為 .

【分析】等式兩邊同乘或除以一個(gè)不為零的數(shù)，等式依然成立.第③步等式兩邊同除以代數(shù)式a2-b2，而它的值可為0，故出錯(cuò).

解：（1）第③步出現(xiàn)錯(cuò)誤；

（2）代數(shù)式a2-b2的值可能為0；

（3）∵a2c2-b2c2=a4-b4，

∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2），

∴（a2-b2）（c2-a2-b2）=0，

∴a2-b2=0或c2-a2-b2=0.

∴a=b或c2=a2+b2.

所以三角形為等腰三角形或直角三角形.

【點(diǎn)評(píng)】利用等式的性質(zhì)解題時(shí)，一定要注意成立的條件.遇見此類問(wèn)題時(shí)要分類討論，防止出錯(cuò).

例2 （2016·衡陽(yáng)）如圖1，已知A，B是反比例函數(shù)y=（k＞0，x＞0）圖像上的兩點(diǎn)，BC∥x軸，交y軸于點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P從坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā)，沿O→A→B→C（圖中“→”所示路線）勻速運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為C，過(guò)P作PM⊥x軸，垂足為M.設(shè)三角形OMP的面積為S，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則S關(guān)于t的函數(shù)圖像大致為（ ）.

圖1

【分析】結(jié)合點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，將點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線分成O→A、A→B、B→C三段位置來(lái)進(jìn)行分析，三角形OMP面積的計(jì)算方式不同，通過(guò)函數(shù)變化的特點(diǎn)分析出面積變化的趨勢(shì)，從而得到答案.

解：設(shè)∠AOM=α，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度為a，

②當(dāng)點(diǎn)P從A運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，由反比例函數(shù)性質(zhì)可知△OPM的面積為k，保持不變；

③當(dāng)點(diǎn)P從B運(yùn)動(dòng)到C過(guò)程中，OM的長(zhǎng)在減少，△OPM的高與在B點(diǎn)時(shí)相同，故本段圖像應(yīng)該為一次函數(shù)的圖像.故選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題是運(yùn)動(dòng)變化中圖形的面積問(wèn)題.考查一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì).對(duì)函數(shù)概念的考查較深刻，對(duì)函數(shù)的性質(zhì)考查入木三分.

例3 （1）探究新知：如圖2，已知△ABC與△ABD的面積相等，試判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

圖2

（2）結(jié)論應(yīng)用：

①如圖3，點(diǎn)M、N在反比例函數(shù)y=k＞0，x＞0）的圖像上，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸，過(guò)點(diǎn)N作NF⊥x軸，垂足分別為E、F.MN∥EF成立嗎？為什么？

圖3

圖4

【分析】分別過(guò)點(diǎn)C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足為G，H，根據(jù)CG∥DH，得到△ABC與△ABD同底，而兩個(gè)三角形的面積相等，因而CG=DH，可以證明四邊形CGHD為矩形，AB∥CD.判斷MN與EF是否平行，根據(jù)（1）中的結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明S△EFM=S△EFN即可.

解：（1）分別過(guò)點(diǎn)C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足為G，H，則∠CGA=∠DHB=90°.

圖5

∴CG∥DH.

∵△ABC與△ABD的面積相等，

∴CG=DH.

∴四邊形CGHD為平行四邊形.

∴AB∥CD.

（2）①證明：連接MF，NE，如圖6.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x2，y2）.

圖6

∵點(diǎn)M，N在反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖像上，∴x·1y1=x·2y2=k.

②證明：連接FM、EN、MN，如圖7.同（2）可證MN∥EF，同法可證GH∥MN，故EF∥GH.

【點(diǎn)評(píng)】這是一個(gè)幾何問(wèn)題，考查推理與判斷.第一問(wèn)是整個(gè)問(wèn)題的基礎(chǔ)，其方法和結(jié)論對(duì)后面的解題具有提示與引領(lǐng)示范作用，是后面類比研究的靈魂.第二問(wèn)中，位置不同了，需借助等量代換，轉(zhuǎn)化與化歸；思想、方法相同，面積相等—三角形等高—平行四邊形，其數(shù)學(xué)本質(zhì)是反比例函數(shù)中變化中的不變性質(zhì)xy=k.

圖7

例4 （2017·徐州改編）已知二次函數(shù)y=x2-4的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，⊙C的半徑為 5，P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn).是否存在點(diǎn)P，使得△PBC為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖8

【分析】先求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；再按∠P為直角或∠C為直角進(jìn)行討論.

解：在y=x2-4中，令y=0，則x1=3，x2=-3，令x=0，則y=-4，∴B（3，0），C（0，-4）.

①當(dāng)PB與⊙相切時(shí)，即∠BPC為直角時(shí)，P點(diǎn)位置有2個(gè)，如圖9，分別為P1，P2，連接BC，

∵OB=3，OC=4，∴BC=5，

∵CP2⊥BP2，CP2= 5 ，∴BP2=25 ，過(guò)P2作P2E⊥x軸于E，P2F⊥y軸于F，

則△CP2F∽△BP2E，且相似比為1∶2.

設(shè)P2F=a，則P2E=2a，CF=2a-4，

（2a-4）2+a2=（ 5 ）2，

圖9

同理求得P（1-1，-2）.

②當(dāng)BC⊥PC時(shí)，即∠BCP為直角時(shí)，P點(diǎn)位置也有2個(gè)，如圖10，分別為P3，P4，過(guò)P4作PH⊥y軸于H，則△BOC∽△CHP，CH=，

44P4H=.

圖10

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)PB與⊙相切、BC⊥PC時(shí)，△PBC均為直角三角形，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.判斷靠知，說(shuō)理靠識(shí)，是為知識(shí).