孔雙玉

歸納猜想型問題也是規(guī)律探索型問題，主要有“數(shù)、式、圖形”等類型，對同學(xué)們的觀察、歸納、分析及推理能力要求較高，經(jīng)常以選擇、填空、壓軸題的形式出現(xiàn).我們常用的解析模式是“特殊—一般—特殊”，這也是人類認(rèn)識新生事物的一般規(guī)律.歸納猜想有利于培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力，是學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)知識所必備的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.下面讓我們一起在相關(guān)問題的解析中，感受“歸納猜想”的魅力.

一、歸納數(shù)式的變化規(guī)律

例1 觀察下列等式：

第1層 1+2=3

第2層 4+5+6=7+8

第3層 9+10+11+12=13+14+15

第4層 16+17+18+19+20=21+22+23+24

……

在上述數(shù)字寶塔中，從上往下數(shù)，數(shù)字2016在第 層.

【分析】本題的塔狀數(shù)式規(guī)律看似明顯，同學(xué)們往往抓不住觀察的“要點(diǎn)”，而兩端數(shù)據(jù)的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，則是本題的突破口，不同視角的觀察、歸納、猜想，也成就了數(shù)學(xué)的趣味性.

解：由觀察可知：

1=12；4=22；9=32；16=42；…

經(jīng)計(jì)算，易知442＜2016＜452

所以2016在第44層.

【點(diǎn)評】數(shù)學(xué)源于自然，在貌似平常的自然現(xiàn)象中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律，能讓我們感受到數(shù)學(xué)的奇妙與魅力，這也是中考命題的源泉.

例2 把所有正奇數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，現(xiàn)有等式Am=（i，j）表示正奇數(shù)m是第i組第j個(gè)數(shù)（從左往右數(shù)），如A7=（2，3），則A2015=（ ）.

A.（31，50）B.（32，47）

C.（33，46）D.（34，42）

【分析】本題考查同學(xué)們對于數(shù)據(jù)的次序及個(gè)數(shù)的準(zhǔn)確認(rèn)知.我們首先要認(rèn)清數(shù)據(jù)在數(shù)軸上的數(shù)點(diǎn)表示，而且要對等差數(shù)列求和的相關(guān)知識有所了解，并能夠準(zhǔn)確應(yīng)用.

解：令2n-1=2015，解得n=1008，

經(jīng)計(jì)算，易知 312＜1008＜322，所以1008-312=47.

綜上可知，A2015=（32，47）.

【點(diǎn)評】要想準(zhǔn)確快速地解決此類問題，必需有意識地培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的層次性，從數(shù)點(diǎn)和數(shù)列求和的不同視角審視問題，積累等差數(shù)列相關(guān)的性質(zhì)、運(yùn)算技巧，同時(shí)為高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

二、歸納圖形的變化規(guī)律

例3 如圖1，已知直角三角形ACB，AC=3，BC=4，過直角頂點(diǎn)C作CA1⊥AB，垂足為A1，再過 A1作 A1C1⊥BC，垂足為 C1；過 C1作 C1A2⊥AB，垂足為 A2，再過 A2作 A2C2⊥BC，垂足為C2……這樣一直作下去，得到一組線段：CA1，A1C1，C1A2……則第10條線段A5C5= .

圖1

【分析】直角三角形相關(guān)知識是中考數(shù)學(xué)考查的重點(diǎn)，尤其像這種垂直線段的迭代關(guān)系，一定要著眼于抓住變化中的“不變量”，加以歸納、運(yùn)用.

在Rt△AA1C中，易知A1C=3sinA，

【點(diǎn)評】直角三角形中銳角三角函數(shù)的靈活運(yùn)用是中考的熱點(diǎn)問題，在迭代規(guī)律的應(yīng)用中，要及時(shí)觀察歸納數(shù)據(jù)規(guī)律，并加以合理的猜想運(yùn)用，這會讓我們體會到數(shù)學(xué)的簡約之美、應(yīng)用之美.

例4 如圖2，對面積為1的△ABC逐次進(jìn)行以下操作：第一次操作，分別延長AB、BC、CA 至點(diǎn) A1、B1、C1，得到 A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA.順次連接 A1、B1、C1，得到△A1B1C1，記其面積為S1；第二次操作，分別延長A1B1、B1C1、C1A1至 點(diǎn) A2、B2、C2，使 得 A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，順次連接 A2、B2、C2，得到△A2B2C2，記其面積為S2……按此規(guī)律繼續(xù)下去，可得到△A5B5C5，則其面積S5=_____.

圖2

【分析】本題考查同學(xué)們的觀察發(fā)現(xiàn)能力，以及對于三角形面積比例問題的敏銳性.易錯(cuò)點(diǎn)在于，誤認(rèn)為是三角形的相似變化，實(shí)則不然，需要運(yùn)用輔助線分割處理，才能歸納出迭代操作中面積的變化規(guī)律.

解：連接A1C，

由A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，

【點(diǎn)評】迭代操作問題的解決，關(guān)鍵在于每一次操作后圖形變化規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、歸納；同時(shí)，平面幾何問題的解決也往往需要輔助線的幫助.

三.歸納坐標(biāo)的變化規(guī)律

例5點(diǎn)B（11，y1）、B（22，y2）、…、B（nn，yn）（n是正整數(shù)）依次為一次函數(shù)y=x+圖像上的點(diǎn)，如圖4，已知點(diǎn)A（1x1，0）、A（2x2，0）、…、A（nxn，0）（n是正整數(shù)）依次為x軸正半軸上的點(diǎn)，已知x1=a（0＜a＜1），△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…、△AnBnAn+1分別是以B1、B2、B3、…、Bn為頂點(diǎn)的等腰三角形.

圖4

（1）寫出B2、Bn兩點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）求x2、x（3用含a的代數(shù)式表示）；分析圖形中各等腰三角形底邊長度之間的關(guān)系，寫出你認(rèn)為成立的兩個(gè)結(jié)論.

（3）當(dāng)a（0＜a＜1）變化時(shí)，在上述所有的等腰三角形中，是否存在直角三角形？若存在，求出相應(yīng)的a的值；若不存在，請說明理由.

【分析】本題主要考查初等函數(shù)的應(yīng)用及觀察、歸納、分析論證的綜合能力，尤其是奇數(shù)位置、偶數(shù)位置上等腰三角形底邊長規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，是解析問題的突破口.

解：（1）因?yàn)辄c(diǎn) B2，Bn在直線 y=x+上，且橫坐標(biāo)分別為2，n，

（2）由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)及數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離的概念，易知：

x2=1+（1-a）=2-a，

x3=2+［2-（2-a）］=2+a.

結(jié)論 1：頂點(diǎn)為 B1，B3，B5…這些奇數(shù)位置上的等腰三角形底邊的長都等于2-2a；

結(jié)論 2：頂點(diǎn)為 B2，B4，B6…這些偶數(shù)位置上的等腰三角形底邊的長都等于2a；

結(jié)論3：每相鄰的兩個(gè)等腰三角形底邊之和都等于常數(shù)2.

（3）設(shè)第n個(gè)等腰三角形恰好是直角三角形，則這個(gè)三角形的底邊長等于高yn的2倍.

由（2）知：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有

綜上所述，存在等腰直角三角形.當(dāng)a=時(shí)，第一個(gè)三角形是等腰三角形；當(dāng)a=時(shí)，第二個(gè)三角形是等腰直角三角形；當(dāng)a=時(shí)，第三個(gè)三角形是等腰直角三角形.

【點(diǎn)評】面對函數(shù)情境中坐標(biāo)的變化，問題解決的關(guān)鍵點(diǎn)在于等腰三角形底邊長度規(guī)律的歸納、猜想及應(yīng)用，其次才是n范圍的限定求值.