白廣明
從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手,運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、不等式或方程與不等式的組合),將問(wèn)題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系通過(guò)適當(dāng)設(shè)元建立起方程(組),然后通過(guò)解方程(組)或不等式(組)來(lái)使問(wèn)題獲解的思維方式是方程思想.
方程與函數(shù)本身就有必然的聯(lián)系,通過(guò)建立相等關(guān)系,求出未知數(shù)的值,因此解決函數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵就是找出相等關(guān)系,建立變量之間的等量關(guān)系.此類(lèi)問(wèn)題常見(jiàn)的形式和解題方法有:用待定系數(shù)法列出關(guān)于函數(shù)解析中待定系數(shù)的方程(組),通過(guò)解方程(組)求出待定系數(shù)的值;將函數(shù)圖像及坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)與方程的根對(duì)應(yīng)起來(lái);利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系解題.
例1 (2017·安順)如圖1,直線(xiàn)y=-x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C,經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)y=x2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A,頂點(diǎn)為P.
(1)求該拋物線(xiàn)的解析式;
(2)在該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)M,使以C,P,M為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
圖1
【分析】(1)由直線(xiàn)解析式可求得B、C坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線(xiàn)解析式;(2)由拋物線(xiàn)解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)以及對(duì)稱(chēng)軸方程,再分MC=MP、MC=PC和MP=PC三種情況,便可得到關(guān)于M點(diǎn)坐標(biāo)的方程,從而求得M點(diǎn)的坐標(biāo).
解:(1)∵直線(xiàn)y=-x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C,
∴B(3,0),C(0,3),
∵拋物線(xiàn)y=x2+bx+c過(guò)B、C兩點(diǎn),
∴拋物線(xiàn)解析式為y=x2-4x+3.
(2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為x=2,P(2,-1),設(shè)M(2,t),且C(0,3),
∵△CPM為等腰三角形,
③當(dāng)PC=PM時(shí),則有 | t+1|=2,解得t=-1+25或t=-1-25,此時(shí)M(2,-1+2)或M(2,-1-25).
綜上所述,存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M,其坐標(biāo)為:(2,)或(2,7)或(2,-1+25)或(2,-1-25).
【點(diǎn)評(píng)】本題是函數(shù)與方程相結(jié)合的綜合題,找出等量關(guān)系、構(gòu)建方程是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵,同時(shí),又考查了分類(lèi)討論思想.
解直角三角形充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想,方程思想體現(xiàn)在:利用勾股定理建立方程,利用三角函數(shù)建立等量關(guān)系,利用圖形的性質(zhì)建立等量關(guān)系.
例2 (2017·宿遷)如圖2所示,飛機(jī)在一定高度上沿水平直線(xiàn)飛行,先在點(diǎn)A處測(cè)得正前方小島C的俯角為30°,面向小島方向繼續(xù)飛行10km到達(dá)B處,發(fā)現(xiàn)小島在其正后方,此時(shí)測(cè)得小島的俯角為45°.如果小島高度忽略不計(jì),求飛機(jī)飛行的高度(結(jié)果保留根號(hào)).
圖2
【分析】過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB,垂足為H,則CH的長(zhǎng)度即為飛機(jī)飛行的高度.設(shè)CH=xkm,在Rt△ACH中,用x表示出AH的長(zhǎng),在Rt△BCH中,∠BHC=90°,可得BH=CH=x,根據(jù)AH+HB=10列出方程,解方程求得x的值,即飛機(jī)飛行的高度.
圖3
解:如圖3,過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB,垂足為H,設(shè)CH=xkm,在Rt△ACH中,∠AHC=90°,∠CAH=30°,所以AH=3x;在Rt△BCH中,∠BHC=90°,∠CBH=45°,所以BH=CH=x.因?yàn)锳H+HB=10,所以 3x+x=10,解得x==5-5.
答:飛機(jī)飛行高度為(53-5)km.
【點(diǎn)評(píng)】構(gòu)造直角三角形是解直角三角形問(wèn)題的關(guān)鍵,之后再適當(dāng)設(shè)未知數(shù),建立相等關(guān)系列出方程,求出未知數(shù)的值即可解答.
整式中很多內(nèi)容與方程有必然的聯(lián)系,同類(lèi)項(xiàng)的定義以及整式的化簡(jiǎn)中就隱含著相等關(guān)系,解決這類(lèi)題的方法:同類(lèi)項(xiàng)的定義,代數(shù)中的恒等變形,利用對(duì)比法.
例3 已知A=7x2-mx+n,B=-4y2+2x-1,若A+B中不含有一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng),求m2-2mn+n2的值.
∴m2-2mn+n2=(m-n)2=1.
例4 單項(xiàng)式3x2y5m+4n與-2xm+2ny4是同類(lèi)項(xiàng),求nm的值.
【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)同類(lèi)項(xiàng)的定義,所含字母相同,相同字母的指數(shù)相同,可列出關(guān)于m,n的方程組,再求解.
數(shù)與形的結(jié)合思想是求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法,它會(huì)使抽象的問(wèn)題具體化,復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.與幾何圖形有關(guān)的計(jì)算題,若可用方程思想去建立等量關(guān)系來(lái)解決,會(huì)使問(wèn)題簡(jiǎn)單化.
1.三角形和四邊形與方程思想.
例5 (2016·揚(yáng)州)如圖4,AC為矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn),將邊AB沿AE折疊,使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)M處,將邊CD沿CF折疊,使點(diǎn)D落在AC上的點(diǎn)N處.
【分析】A+B中不含有一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng),即A+B中一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都為0,構(gòu)建方程組求解.
解:A+B=7x2-mx+n+(-4y2+2x-1)
=7x2-4y2+(-m+2)x+n-1,
圖4
(1)求證:四邊形AECF是平行四邊形;
(2)若 AB=6,AC=10,求四邊形 AECF 的面積.
【分析】(1)先利用“兩直線(xiàn)平行,內(nèi)錯(cuò)角相等”證明∠BAC=∠DCA,根據(jù)折疊的性質(zhì)得出角相等,即∠BAE=∠EAC,∠DCF=∠NCF,進(jìn)而得出∠EAC=∠FCA,再根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線(xiàn)平行”,得出AE∥CF,從而證明四邊形AECF是平行四邊形;(2)可以先在Rt△ABC和Rt△CME中利用勾股定理構(gòu)造方程求得CE的長(zhǎng)度,再根據(jù)平行四邊形的面積公式求得四邊形AECF的面積.
證明:(1)∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA,
由折疊可得∠BAE=∠EAC=∠BAC,
∠DCF=∠NCF=∠DCA,
所以∠EAC=∠FCA,AE//CF,
∴四邊形AECF是平行四邊形.
(2)因?yàn)锳B=6,AC=10,△ABC為直角三角形,由勾股定理,得BC=8.設(shè)EM=x,那么BE=EM=x,所以CE=BC-BE=8-x,CM=AC-AM=ACAB=10-6=4.
所以x2+42=(8-x)2,解得x=3.
所以S四邊形AECF=2S△ACE
【點(diǎn)評(píng)】本題通過(guò)設(shè)未知數(shù)列方程求解,體現(xiàn)了變量間的關(guān)系,運(yùn)用了方程思想.
2.圓與方程思想.
例6 如圖5,從⊙O外一點(diǎn)A作⊙O的切線(xiàn)AB、AC,切點(diǎn)分別為B、C,且⊙O直徑BD=6,連接CD、AO.
(1)求證:CD∥AO;
(2)設(shè)CD=x,AO=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量x的取值范圍;
(3)若AO+CD=11,求AB的長(zhǎng).
圖5
【分析】(1)連接BC交OA于E點(diǎn),根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理和等腰三角形中三線(xiàn)合一定理,可得∠OEB=90°,根據(jù)直徑對(duì)的圓周角為直角可得∠BCD=90°,再根據(jù)“同位角相等,兩直線(xiàn)平行”即可證明CD∥AO;(2)如圖6,根據(jù)“兩直線(xiàn)平行,同位角相等”,可得∠3=∠4,再證得△BCD∽△ABO,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式,再由題意可得x的取值范圍;(3)由(2)中關(guān)系式和(3)中的條件可得到關(guān)于x和y的方程組,解方程組可得CD,AO的長(zhǎng),再在Rt△AOB中根據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng).
解:(1)連接BC交OA于E點(diǎn),
圖6
∵AB、AC是⊙O的切線(xiàn),
∴AB=AC,∠1=∠2,
∴AE是△ABC的中線(xiàn),
∵O是BD的中點(diǎn),∴CD∥AO.
(2)∵CD∥AO,∴∠3=∠4,
∵AB是⊙O的切線(xiàn),DB是直徑,∴∠DCB=∠ABO=90°,
【點(diǎn)評(píng)】這是一道典型的應(yīng)用方程求解的幾何問(wèn)題,相等關(guān)系是利用了相似三角形的性質(zhì)和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.