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        正確區(qū)分增根、無解、有解

        2018-06-21 05:55:24
        初中生世界 2018年22期
        關(guān)鍵詞:公分母正數(shù)負數(shù)

        丁 霞

        解分式方程通常是在分式方程兩邊同時乘最簡公分母,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.有時由于x的取值范圍發(fā)生變化,得到的整式方程的解不一定是原分式方程的解,這種在解題過程中增加的解稱為分式方程的增根.本文以一個含有字母系數(shù)的分式方程為例,幫助同學們正確理解、區(qū)分“增根、無解、有解”的問題.

        一、會產(chǎn)生增根

        【分析】分式方程要產(chǎn)生增根,最簡公分母必須為零,即x=2或x=-2.因此可通過x=2或x=-2來討論k的取值問題.

        【解】去分母得:2(x+2)+kx=3(x-2).

        化簡整理得:(1-k)x=10.

        若方程產(chǎn)生增根,則增根為x=2或x=-2.

        將x=2代入(1-k)x=10,得:k=-4.將x=-2代入(1-k)x=10,得:k=6.故當k=-4或k=6時,原方程會產(chǎn)生增根.

        【點評】利用增根的定義求解的問題是較為重要的題型,解決的方法是:(1)將分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程;(2)讓最簡公分母為零,確定增根;(3)將增根代入轉(zhuǎn)化后的整式方程,解之就可得到欲求的待定系數(shù)的值.

        二、不會產(chǎn)生增根

        【分析】“不會產(chǎn)生增根”是“會產(chǎn)生增根”的對立面,由此我們可以先求出分式方程產(chǎn)生增根時k的值,然后把這些值一一排除,即可得到分式方程不會產(chǎn)生增根時k的值.

        【解】同例1,得到當k=-4或k=6時,原方程會產(chǎn)生增根.故當k≠-4且k≠6時,原方程不會產(chǎn)生增根.

        【點評】當k=-4時,分式方程產(chǎn)生增根x=2;當k=6時,分式方程產(chǎn)生增根x=-2,故當k≠-4且k≠6時,原方程不會產(chǎn)生增根.這里需要注意的是:連接詞用“且”,不能用“或”,也就是k≠-4、k≠6必須都滿足時,分式方程才不會產(chǎn)生增根.

        三、無解

        【分析】將分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,整式方程無解則原方程無解;整式方程雖有解,但這個解使最簡公分母為零,是增根,則原方程也無解.

        【解】同例1,得到:(1-k)x=10.

        當 k=1時,得:0·x=10,該方程無解,從而原方程也無解.當原方程有增根時,原方程也無解.若原方程產(chǎn)生增根,則增根為x=2或x=-2.

        將 x=2代入(1-k)x=10,得:k=-4,即當k=-4時,原方程會產(chǎn)生增根x=2,無解;將x=-2代入(1-k)x=10,得:k=6,即當k=6時,原方程會產(chǎn)生增根x=-2,無解.

        綜上所述:當k=1或k=-4或k=6時,原方程無解.

        【點評】分式方程無解不僅僅是由于有增根,也有可能是由于轉(zhuǎn)化得到的整式方程本身就無解.因此,大家考慮問題要全面.

        四、有解

        【分析】分式方程有解,說明去分母后得到的整式方程不但有解,而且它的解一定不是增根.

        【解】同例1,得到:(1-k)x=10.

        因為方程有解,且這個解不是增根,所以,(1)k≠1;(2)x≠2,即 k≠-4;(3)x≠-2,即k≠6.綜上所述:當 k≠1且 k≠-4且 k≠6時,原方程有解.

        【點評】無解的反面即為有解.

        五、解為正數(shù)(負數(shù))

        【分析】先去分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,再對得到的整式方程進行討論.

        【解】同例1,得到:(1-k)x=10.

        因為解是正數(shù),從而有x>0且x≠2.則解之得:k<1且k≠ -4.綜上所述:當k<1且k≠-4時,原方程的解是正數(shù).

        【點評】解含有字母系數(shù)的分式方程,通常是去分母,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,把未知數(shù)用含字母系數(shù)的代數(shù)式表示,然后根據(jù)條件列不等式.需要注意的是解為正數(shù)(負數(shù)),意味著方程一定有解,因此要排除增根!

        分式方程的增根不是原方程的根,但增根一定是由分式方程得到的整式方程的根,利用這一點可以解決有關(guān)增根的問題.

        同類訓練:

        參考答案:

        1.當k=-4或k=-10時,原方程會產(chǎn)生增根.

        2.當 k≠-3且 k≠5時,原方程不會產(chǎn)生增根.

        3.當k=1或k=2時,原方程無解.

        4.當k≠-5且k≠-3時,原方程有解.

        5.當 k<2 且 k≠時,原方程的解是負數(shù).

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