賀美美

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710127)

矩陣作為一種基本的數(shù)學(xué)工具,在數(shù)值分析、優(yōu)化領(lǐng)域和概率統(tǒng)計(jì)等眾多學(xué)科都有著極其廣泛的應(yīng)用。而在矩陣的理論研究中,有關(guān)矩陣的歐幾里得范數(shù)、譜范數(shù)的研究是非常重要的。近年來，多名學(xué)者針對(duì)Teoplitz矩陣、循環(huán)矩陣Hankel矩陣等一些特殊矩陣的譜范數(shù)作了相應(yīng)的探究[1-10]。例如,文獻(xiàn)[1]給出了一種包含F(xiàn)ibonacci和Lucas數(shù)的特殊矩陣的譜范數(shù)的上下界。文獻(xiàn)[3]給出了包含F(xiàn)ibonacci和Lucas數(shù)的r-Teoplitz矩陣的譜范數(shù)的上下界。文獻(xiàn)[5]給出了包含k-Fibonacci和k-Lucas數(shù)的r循環(huán)矩陣的譜范數(shù)的上下界。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1定義Fn為第n個(gè)Fibonacci數(shù),對(duì)任意的非負(fù)整數(shù)n,Fibonacci數(shù)具有如下的遞推公式

(1)

定義2[11]定義Fn為第n個(gè)調(diào)和Fibonacci數(shù),即Fibonacci數(shù)的前n項(xiàng)倒數(shù)和。如下

(2)

(3)

(4)

定義4設(shè)A=[aij]是一個(gè)n×n階矩陣,AH表示A的共軛轉(zhuǎn)置,λi表示AAH的特征值,則矩陣A的歐幾里得范數(shù)和譜范數(shù)分別為

(5)

(6)

定義5定義矩陣A的最大行范數(shù)r1(A)和最大列范數(shù)c1(A)分別為

(7)

(8)

定義6[12]設(shè)B=[bij],C=[cij]都是n×n階矩陣,定義矩陣B和C的Hadamard乘積為

(9)

性質(zhì)1[13-14]u(x)的微分算子定義為Δu(x)=u(x+1)-u(x),則有

(10)

性質(zhì)2[12，15]關(guān)于矩陣的兩種范數(shù)有如下性質(zhì)

‖A‖2≤r1(B)c1(C),

(11)

其中矩陣A，B，C滿足A=B°C，

(12)

2 主要結(jié)果及證明

證明對(duì)式(3)作初等行變換得到

|F|=

于是

引理1設(shè)A是一個(gè)n×n階可逆矩陣,B是一個(gè)n×1階矩陣,c是任意實(shí)數(shù)。若

則M的逆是

其中λ=c-BTA-1B。

證明根據(jù)矩陣逆的定義，很容易驗(yàn)證MM-1=En+1。

定理2設(shè)F是形如式(3)的n×n階矩陣,則F是可逆矩陣,并且它的逆是一個(gè)對(duì)稱三角矩陣。矩陣F的逆為

F-1=

證明由定理1可知矩陣F是可逆的。為了證明這個(gè)定理,本文采用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)n=2時(shí),結(jié)論成立;此時(shí)

即對(duì)(n+1)×(n+1)階矩陣結(jié)論仍成立，從而證明了定理。

定理3設(shè)F是形如式(3)的n×n階矩陣,則矩陣F的歐幾里得范數(shù)是

其中

證明由式(5)得到

其中

從而

定理4設(shè)F是形如式(3)的n×n階矩陣,我們可以得到矩陣F譜范數(shù)的上下界,即

其中ki,j=min(i,j)+1，則有F=A°B。

根據(jù)r1(A)和c1(B)的定義，得到

根據(jù)式(11)可得到

‖F(xiàn)‖2≤r1(A)c1(B)=

證明由定理1得到

則

從而結(jié)論(i)成立;由結(jié)論(i)得到

則結(jié)論(ii)成立;為了證明結(jié)論(iii),我們用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)n=2時(shí),結(jié)論成立;此時(shí)

假設(shè)結(jié)論(iii)對(duì)n成立,即

則有

即結(jié)論(iii)對(duì)n+1也成立,從而證明了定理。

定理6設(shè)e°F是形如式(4)中的n×n階矩陣,則有

證明對(duì)上述矩陣作初等行變換得到

det(e°F)=

從而

令式(10)中的u(i)=Fi且Δv(i)=1,便得到Δu(i)=1/Fi+1,v(i)=i和Ev(i)=i+1。于是有

從而便證明了定理。

定理7設(shè)e°F是形如式(4)中的n×n階矩陣,則它的逆是

(e°F)-1=

證明與定理2類似,用數(shù)學(xué)歸納法便可以證明結(jié)論。

定理8設(shè)e°F是形如式(4)中的n×n階矩陣,則可以得到矩陣e°F的譜范數(shù)的上界是

證明設(shè)

則有e°F=A°B。再根據(jù)r1(A)和c1(B)的定義,可以得到

最后根據(jù)式(11)，有

‖e°F‖2≤r1(A)c1(B)=

定理9設(shè)e°F是形如式(4)的n×n階矩陣,Dn表示矩陣e°F的順序主子式。即

Dn=det(e°F)。

則有

證明由定理6可知

則

從而證明了結(jié)論。

參考文獻(xiàn)：

[1] JAFARI-PETROUDI S H, PIROUZ M. On the bounds for the spectral norm of particular matrices with Fibonacci and Lucas numbers [J]. International Journal of Advances in Applieel Mathematics and Mechanics, 2016,3(4):82-90.

[2] AKBULAK M, BOZKURT D. On the norms of Toeplitz matrices involving Fibonacci and Lucas numbers [J]. Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 2008, 37(2): 89-95.

[3] HASON G, RAMAZA T. On the norms ofr-Toeplitz matrices involving Fibonacci and Lucas numbers [J]. Advances in Linear Algebra & Matrix Theory, 2016, 6(2): 31-39.

[4] SOLAK S. On the norms of circulant matrices with the Fibonacci and Lucas numbers [J]. Applied Mathematics & Computation, 2005, 160(1): 125-132.

[5] SHEN Shou-qiang, CEN Jian-miao. On the spectral norms ofr-circulant matrices with thek-Fibonacci andk-Lucas numbers [J]. International Journal of Contemporary Mathematical Sciences, 2010, 5(12): 569-578.

[6] BAHSI M, SOLAK S. On the norms ofr-circulant matrices with the hyper-Fibonacci and Lucas numbers [J].Journal of Mathematical Inequalities, 2014, 8(4): 693-705.

[7] HASON G, RAMAZA T. On the spectral norm ofr-circulant matrices with the Pell and Pell-Lucas numbers [J]. Journal of Inequalities and Applications, 2016, 2(16): 65-71.

[8] AKBULAK M, BOZKURT D. On the norms of Hankel matrices involving Fibonacci and Lucas numbers [J].Selcuk Jourral of Applied Mathematics, 2008, 9(2): 45-52.

[9] GUNGOR A D. Lower bounds for the norms of Cauchy-Toeplitz and Cauchy-Hankel matrices [J]. Applied Mathematics and Computation,2004, 157(3): 599-604.

[10] SOLAK S, BOZKURT D. On the spectral norm of Cauchy-Toeplitz and Cauchy-Hankel matrices [J].Applied Mathematics and Computation,2003, 140(2-3): 231-238.

[11] RABINOWITZ S. Algorithmic summation of reciprocals of products of Fibonacci numbers [J].The Fibonacci Quarterly, 1999, 37(2): 122-127.

[12] HORN R A, JOHNSON C R. Topics in Matrix Analysis [M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1991: 298-356.

[13] TUGLU N, CAN K, KESIM S. On the harmonic and hyperharmonic Fibonacci numbers [J]. Advances in Difference Equations,2015: 297.

[14] GRAHAM R L, KNUTH D E, PATASHNIK O. Concrete Mathematics [M].6nd ed.Boston: Addison-Wesley Publishing Company, 1989: 258-268.

[15] ZIELKE G. Some remarks on matrix norms, condition numbers and error estimates for linear equation [J]. Linear Algebra and its Applications, 1988, 110(11): 29-41.