高亞男,胡新利,楊高艷

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安 710048)

0 引 言

人類T細(xì)胞白血病病毒I型(HTLV-I)是第一個(gè)被發(fā)現(xiàn)的與癌癥相關(guān)的人類逆轉(zhuǎn)錄病毒,主要感染CD4+T細(xì)胞,被感染的健康細(xì)胞先進(jìn)入潛伏期,表達(dá)Tax蛋白后轉(zhuǎn)為感染細(xì)胞[1-3].HTLV-1主要與眼、骨骼肌或中樞神經(jīng)系統(tǒng)的一系列亞急性或慢性炎性疾病相關(guān)[4-5].HTLV-I在宿主中主要以有絲分裂的方式傳播[6-7].近年來(lái)有許多學(xué)者提出了一些有意義的HTLV-I模型,有考慮健康細(xì)胞和感染細(xì)胞兩個(gè)倉(cāng)室的模型[8-9],以及考慮了潛伏倉(cāng)室的模型[10-13].隨著研究的深入,人們發(fā)現(xiàn)CTL免疫反應(yīng)對(duì)HTLV-I感染的影響很大,因此有一些學(xué)者研究了引入免疫反應(yīng)的HTLV-I感染模型[12-16].而這些模型考慮的都是特殊的線性免疫反應(yīng),并且關(guān)于HTLV-I感染的模型一般都假設(shè)健康CD4+T細(xì)胞以常數(shù)輸入,且病毒傳播速度較快,宿主體內(nèi)環(huán)境不變的情況下合理.綜上,在前人研究的基礎(chǔ)上建立一個(gè)考慮Logistic增長(zhǎng),具有潛伏期、非線性免疫反應(yīng)的四維HTLV-I模型,分析模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài).

1 模型建立

基于傳染病倉(cāng)室模型理論,建立HTLV-I倉(cāng)室模型.x,u,y分別表示健康的、潛伏感染的、感染的CD4+T細(xì)胞的數(shù)量，z表示HTLV-I特定CD8+T細(xì)胞(免疫細(xì)胞)的數(shù)量，γ是自然增長(zhǎng)固有比率,k是健康CD4+T細(xì)胞的承載能力,β是感染系數(shù),τ是潛伏感染細(xì)胞每天表達(dá)Tax的比例,感染細(xì)胞經(jīng)過(guò)有絲分裂增值sy,并假定全部轉(zhuǎn)入潛伏期.p是CTL介導(dǎo)溶解比率(每個(gè)CD8+T細(xì)胞殺死被感染細(xì)胞的比率),v是細(xì)胞毒素反應(yīng)性(特定CTL細(xì)胞遇到一個(gè)被感染細(xì)胞之后的平均增值比率).μ2,μ3,μ4分別表示潛伏感染細(xì)胞、感染細(xì)胞、特定CD8+T細(xì)胞的移出率.這樣,可以得到模型(1)，即

(1)

對(duì)于模型(1)有下面的結(jié)論:

定理1 模型(1)的解(x(t),u(t),y(t),z(t)),對(duì)于所有的t>0是非負(fù)有界的.

證明從模型(1)的方程中可以得到:

根據(jù)[17]中的引理2,模型(1)的非負(fù)初始條件的解對(duì)于所有t>0是非負(fù)的.

由模型(1)的第一個(gè)方程得到:

2 模型的平衡點(diǎn)

首先模型(1)總是存在平衡點(diǎn)P0=(k,0,0,0).通過(guò)再生矩陣[18]定義基本再生數(shù),有

下面求無(wú)免疫平衡點(diǎn)P1=(x1,u1,y1,0).

由模型(1)的第三式有

由模型(1)的第一式有

由模型(1)的第二式有

即R0>1時(shí)P1存在.

為了討論正平衡點(diǎn)P2的存在性,引入一個(gè)CTL免疫反應(yīng)閾值:

下面求平衡點(diǎn)P2=(x2,u2,y2,z2).

由模型(1)的第四式有

由模型(1)的第三式有

由模型(1)的第二式有

βx2y2-τu2-μ2u2+sy2=0?τβx2-τ(μ3+pz2)-μ2(μ3+pz2)+τs=0.

kγvp(τ+μ2)-γvp(τ+μ2)x2=kβ2μ4τ(x2-x1)+akβμ4p(τ+μ2).

定理2 如果R0≤1則存在平衡點(diǎn)P0;如果R0>1且R1≤1則存在平衡點(diǎn)P0,P1;如果R1>1則存在平衡點(diǎn)P0,P1,P2.

3 平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

定理3 如果R0<1,則無(wú)病平衡點(diǎn)P0是全局漸近穩(wěn)定的,如果R0>1則P0不穩(wěn)定.

證明取李雅普諾夫函數(shù)V1=τu+(τ+μ2)y.

定理4 如果R0>1且R1<1,無(wú)免疫平衡點(diǎn)P1是全局漸近穩(wěn)定的.

(2)

(3)

定理5 對(duì)于模型(1),如果R1>1則正平衡點(diǎn)P2是全局漸近穩(wěn)定的.

(4)

(5)

(6)

4 結(jié)束語(yǔ)

參考文獻(xiàn)(References)：

[1] 宋蓓,戴啟宇,王輝.人類T淋巴細(xì)胞病毒及其相關(guān)疾病的研究進(jìn)展[J].實(shí)用醫(yī)藥雜志,2009(8):73-75.

SONG B,DAI Q Y,WANG H.Research progress on human T-cell lymphntropic virus and the associated diseases[J].Practical Journal of Medicine & Pharmacy,2009(8):73-75.

[2] CARPENTIER A,BAREZ Y P,HAMAIDIA M，et al.Modes of human T cell leukemia virus type 1 transmission,replication and persistence[J].Viruses,2015,7(7):3603-3624.

[3] YOSHIDA M.Multiple viral strategies of HTLV-I for dysregulation of cell growth control[J].Annual Review of Immunology,2001,19(19):475-496.

[4] MATSUURA E,NOZUMA S,TASHIRO Y,et al.HTLV-1 associated myelopathy/tropical spastic paraparesis (HAM/TSP):A comparative study to identify factors that influence disease progression[J].Journal of the Neurological Sciences,2016,371:112-116.

[5] YAMANO Y,NAGAI M,BRENNAN M.Correlation of human T-cell lymph tropic virus type 1 (HTLV-1) mRNA with proviral DNA load,virus-specific CD8(+) T cells,and disease severity in HTLV-1-associated myelopathy (HAM/TSP)[J].Blood,2002,99(1):88-94.

[6] COOK L B,ELEMANS M,ROWAN A G.HTLV-I:Persistence and pathogenesis[J].Virology,2013,435(1):131-140.

[7] ASQUITH B,BANGHAM C R M.How does HTLV-I persist despite a strong cell-mediated immune response[J].Trends in Immunology,2008,19(1): 4-11.

[9] 王彩霞,王戰(zhàn)偉.一類具有后向分支的HTLV-I模型[J].河南科學(xué),2011,29(5):517-519.

WANG C X,WANG Z W.Backward bifurcation of a HTLV-I mode[J].Henan Sciences,2011,29(5):517-519.

[10] LI M Y,LIM A G.Modeling the role of tax expression in HTLV-I persistence in vivo[J].Bulletin of Mathematical Biology,2011,73(12):3008-3029.

[11] LI S M,ZHOU Y C.Global dynamics of an HTLV-I model with cell-to-cell infection and mitosis[J].Abstract & Applied Analysis,2014,2014:1-12.

[12] LIM A G,MAINI P K.HTLV-I infection:A dynamic struggle between viral persistence and host immunity[J].Journal of Theoretical Biology,2014,352(1786):92-108.

[13] ZHOU Y C,LI S M.Backward bifurcation of an HTLV-I model with immune response[J].Discrete and Continuous Dynamical Systems,2016,21 (3):863-881.

[15] WODARZ D,NOWAK M A,BANGHAM C R.The dynamics of HTLV-I and the CTL response[J].Immunology Today,1999,20(5):220-227.

[16] LANG J,LI M Y.Stable and transient periodic oscillations in a mathematical model for CTL response to HTLV-I infection[J].Journal of Mathematical Biology,2012,65(1):181-199.

[17] YANG X，CHEN L，CHEN J.Permanence and positive periodic solution for the single-species nonautonomous delay diffusive models[J].Computers and Mathematics with Applications,1996,32(4):109-116.

[18] DRIESSCHE P V D,WATMOUGH J.Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission[J].Mathematical Biosciences,2002,180(1/2):29-48.