武 濤, 薛 紅

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安 710048)

0 引 言

隨著期權(quán)定價(jià)的深入研究, 股票價(jià)格遵循 Ornstein-Uhlenbeck(簡稱 O-U)過程也被逐漸引入金融市場模型中.O-U過程是一類重要的移動平均過程, 最早由Sato和Yamazato[13]在1982年提出. 許多學(xué)者也對股票價(jià)格遵從O-U過程的期權(quán)實(shí)行了定價(jià)[14-16].冪型期權(quán)是奇異期權(quán)的一種, 它在到期日的價(jià)值不是用股價(jià)與執(zhí)行價(jià)格的差值,而是股票價(jià)格在到期日的某個指數(shù)冪與執(zhí)行價(jià)格之間的差值. 與傳統(tǒng)期權(quán)所不同的是, 冪型期權(quán)有能夠增強(qiáng)期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)的效果, 同時也有很大的變通性, 可以滿足各樣風(fēng)險(xiǎn)喜好的投資者的需求. 近幾年不少學(xué)者研究冪型期權(quán)[17-19]，并把O-U過程引入到模型中[20-24].本文借助雙分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動相關(guān)理論, 引入Ornstein-Uhlenbeck過程,假設(shè)股票價(jià)格服從雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動和Ornstein-Uhlenbeck過程下驅(qū)動的隨機(jī)微分方程,借助雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動和Ornstein-Uhlenbeck過程下金融市場數(shù)學(xué)模型,運(yùn)用保險(xiǎn)精算方法,推導(dǎo)出歐式冪型期權(quán)定價(jià)公式和歐式上封頂及下保底冪型期權(quán)定價(jià)公式, 豐富了期權(quán)定價(jià)的理論.

1 雙分?jǐn)?shù)Ornstein-Uhlenbeck過程下金融市場數(shù)學(xué)模型

假定股票價(jià)格{St,t≥0}遵循雙分?jǐn)?shù)Ornstein-Uhlenbeck過程

(1)

定理1 隨機(jī)微分方程(1)的解為

(2)

兩邊積分有

可得

得證.

注:當(dāng)α=0時,可得雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下股票價(jià)格過程:

定義2[16]價(jià)格過程{St,t≥0}在[0,t]上的期望回報(bào)率β(u),u∈[0,t]定義為

(3)

定理2 股票價(jià)格{St,t≥0}在[0,t]上的期望回報(bào)率β(u),u∈[0,t]滿足

(4)

當(dāng)α=0時,雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下股票價(jià)格期望回報(bào)率為β(u)=μ,u∈[0,t]

證明由定理1知

由于

ξ

得證.

2 歐式冪型期權(quán)定價(jià)

定義3[13]歐式冪期權(quán)在T時刻的價(jià)值定義為:股票到期日價(jià)格按期望回報(bào)率折現(xiàn)值的冪與執(zhí)行價(jià)(看作是無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)債券)按無風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)值的差在股票價(jià)格實(shí)際分布的概率測度下的數(shù)學(xué)期望, 這一定價(jià)稱為期權(quán)的保險(xiǎn)精算定價(jià). 用C(K,T)和P(K,T)分別表示執(zhí)行價(jià)格為K, 到期日為T的歐式看漲冪期權(quán)和看跌冪期權(quán)在t=0時刻的價(jià)格, 則根據(jù)精算定價(jià)方法知?dú)W式冪型期權(quán)的保險(xiǎn)精算價(jià)值

(5)

(6)

其中

定理3 執(zhí)行價(jià)格為K, 到期日為T的歐式看漲和看跌期權(quán)在t=0時刻的保險(xiǎn)精算價(jià)值

(7)

(8)

且

則

從而B={η>d1}.

由于

(9)

其中

由此可得

同理可得

推論1 當(dāng)K=1時, 可得分?jǐn)?shù)O-U過程下的歐式看漲和看跌冪型期權(quán)定價(jià)公式為

推論2 當(dāng)α→0時, 可得雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下的歐式冪型期權(quán)定價(jià)公式；當(dāng)α→0,K=1時, 可得分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下的歐式冪型期權(quán)定價(jià)公式(見文獻(xiàn)[21]).

3 歐式上封頂及下保底冪型期權(quán)定價(jià)

定理4 設(shè)L為給定的期權(quán)上限, 則歐式看漲和看跌上封頂冪型期權(quán)在0時刻保險(xiǎn)精算價(jià)格為

其中

證明歐式上封頂看漲冪型期權(quán)的損益為

(14)

利用定理3可得結(jié)果.

定理5 設(shè)R為給定的期權(quán)下限, 則歐式下保底看漲和看跌冪型期權(quán)0時刻保險(xiǎn)精算價(jià)格為

證明歐式下保底看漲冪型期權(quán)的損益為

(17)

利用定理3可得結(jié)果.

注1 當(dāng)L→+∞, 或L=0時, 可得雙分?jǐn)?shù)O-U過程下歐式看漲冪型期權(quán)定價(jià)公式.

推論3 當(dāng)K=1時, 可得分?jǐn)?shù)O-U過程下的歐式上封頂及下保底n次冪型期權(quán)定價(jià)公式.

推論4 當(dāng)n=1時, 可得雙分?jǐn)?shù)O-U過程下的歐式上封頂及下保底冪型期權(quán)定價(jià)公式.

推論5 當(dāng)α→0,K=1時, 可得分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下的歐式上封頂及下保底冪型期權(quán)定價(jià)公式[25].

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