李 夌， 杜 磊

(昆明理工大學 理學院， 云南 昆明 650093)

隨著近年來分析學的發(fā)展和創(chuàng)新，概率理論與函數論結合的方法被越來越多的人應用。指數函數系的完備性問題也得到了更好的發(fā)展[1-2]，其結果也被廣泛應用。

在文獻和中，令α(r)為一個定義在R上的非負連續(xù)函數，并且滿足

(1)

那么與α有關的Fock空間Fα，p(1

其中dm2(z)記為Lebesgu面積測度，C為整個復平面。

如果f在Fα，p中滿足

CloseL({znf,n≥0})=Fα，p,

就稱f在Fα，p中是循環(huán)的。其中L是E的線性閉包[3-4]。

在文獻中，Phragm?n-Lindel?f的論點表明在一定條件下如果多項式倍數pnf收斂到Fα，p中的一個元素，那么多項式不能足夠大到逼近Fα，p中的每一個元素，其中f∈Fα，p，pn是多項式。由文獻和，我們可以考慮指數函數系{eλz}(λ>0)在Fα，p(1

在這篇文章中將準解析的方法作為證明的基礎，討論函數系在右半平面是否解析[6]，進而是否完備。這是和文獻和完全不同的方法。同時在這里也會考慮在Fα，p(1

CloseL({znif,ni-ni-1≥1,ni∈N})=Fα，p。

最后，通過文獻，再結合使用文獻和中的Carleman公式來研究指數函數系{eλnz}(λn∈C)和缺項多項式{zni}在Fα，p(1

1 一些定義及引理

為了更方便的介紹我們的結論，先對一些必要的術語進行說明。

定義1[10]給定一個區(qū)間I?R和一個數列Mn>0，若C和ρ與f有關，且滿足

|f(n)(x)|≤CpnMn,x∈I;n=1,2,…,

我們就說f在I上無窮可微，屬于ΨI(Mn)類。

定義2[10]一個ΨI(Mn)類被稱為準解析的，若任給一個x0∈I，僅有唯一的f∈ΨI(Mn)滿足

fn(x0)=0,n=1,2,…,

則有f(x)≡0，x∈I。

引理1[10]如果

在以下的證明中，用A表示正常數，它在每次出現時可能不同。

引理2 若f(x)在任意區(qū)間I?R是無限可微的，且滿足

|f(n)(x)|≤AK(n),n=0,1,2,3,…,

(2)

其中K(n)是一個關于n的遞增函數。那么就存在一個函數g(z)在右半平面C+={x=Rz>0，z=x+iy}解析，且滿足

(3)

和

|g(z)|≤Ae2π|y|+K(x+1)。

(4)

證明不失一般性，我們可以假設[0,1]?I和b=1。定義

其中

那么由Taylor定理有

這說明存在一個函數g(z)在x>0的右半平面解析，所以對于在帶形區(qū)域n

因此式(3)也是滿足g(z)的。另外從

和式(2)及K(n)的增長性，可以得到當x>0時式(4)成立。

引理3[11]令β(x)為一個在R上滿足式(1)的非負凸函數，假定

β*(t)=sup{xt-β(x):x∈R}，t∈R

是函數β(x)的Young變換[12]。再假設λ(r)是一個在[0,+∞)上的增函數，且滿足

λ(R)-λ(r)≤A(logR-logr+1)(R>r>1),

那么存在一個在C+上的非零解析函數f(z)，滿足

|f(z)|≤Aexp{Ax+β(x)-xλ(|z|)},z=x+iy∈C+,

使得當且僅當存在a∈R時，

(5)

成立。

2 定理及證明

定理1 如果α(|z|)(|z|=r)滿足式(1)，α*(t)在任意有限區(qū)間I?R上有界，其中

α*(t)=sup{t|z|-α(|z|):t∈R+},

(6)

是Legendre變換或者是文獻中α(|z|)(|z|=r)的Young對偶函數。同時如果

(7)

其中，

α*(n)=sup{nlog|z|-α(|z|)},

(8)

那么對于任意的λ>0，函數eλz在Fα，p(1

證明如果對于一些λ>0，函數系{zneλz}在Fα，p(1

(9)

|P(z)| ≤e-α*(|z|+N+1)

和Fubini定理及Morera定理，可以得到P(z)在x>0的右半平面解析。那么P(n)(λ)=0，n=0，1，2，…，另外，對于x>0有

因此，選擇適當的A使得A>p2，A>q，可以得到

因為α*(x)在任意有限區(qū)間上有界，我們有

(10)

在任意有限區(qū)間I?R都成立。當λ>0時，可以選取適當的有限區(qū)間I?R滿足λ∈I。因此若P(n)(λ)=0，n=0，1，2，3，…，和式(9)、(10)成立，可以得到在I上P(x)≡0。再根據P(z)的解析性，我們可以得到P(z)≡0，所以L≡0，這與L是非零函數矛盾。

定理2 令

(11)

(12)

證明如果存在一些λ>0使得函數系{znieλz}在Fα，p(1

|P(z)| ≤eα*(|z|+N+1)

和Fubini定理及Morera定理，我們可以得到P(z)在x>0的右半平面解析。P(ni)(λ)=0，n=0，1，2，3，…，另外，對于x>0我們有

根據定理1的證明，我們有

因為α*(x)在任意有限區(qū)間上有界，我們可以得到在任意有限區(qū)間I?R上有

(13)

當λ>0時，我們可以找到一些有限區(qū)間I?R滿足λ∈I。因此，若P(ni)(λ)=0，n=0，1，2，3，…，再根據引理2可知存在一個函數|g(z)|在x>0的右半平面解析，并且滿足g(ni)=0和

|g(z)| ≤Ae2πy+α*Ax。

(14)

定義

其中

是文獻中的Fuchs乘積。在這里已知

|G(z)| ≥exλ(r)-Ax,x≥0,z∈ΩΛ,

(15)

|g1(z)| ≤AeAx+α*Ax+2πx2-xλ(r),

也就是說

|g1(z)| ≤AeAx+β(x)-xλ(r)

(16)

是成立的，其中β(x)如式(11)所定義。再根據式(12)和引理3，可以得到結論g1(z)≡0。因此g(z)≡0，進而有L≡0，這與L是非零函數矛盾。

定理3 若α(|z|)(|z|=r)滿足式(1)，α*(|z|)是遞增的，而且對于某些Δ={z：Θ10，滿足

(17)

其中

則函數系{eλnz}在Fα，p(1

證明若函數系{eλnz}在Fα，p(1

|P(z)| ≤eα*(|z|+N+1),

(18)

和Fubini定理及Morera定理，可以得到P(z)是一個整函數。對于Δ={z：Θ1

F(z)=P(zeiΘ0),

其中Θ0是常數且滿足

類似文獻[8-9]，對在x>0右半平面的F(z)應用Carleman公式，不失一般性，可以假設|λn|>1，則下式

成立，其中d(1，r)是一個關于r的函數，并且當r→+∞時，d(1，r)趨向于一個常數。由α*(|z|)的增長性和式(18)可以得到

這與式(17)矛盾。

定理4 若α(|z|)(|z|=r)滿足式(1)，并且

(19)

其中

ni是不同的正整數，則缺項多項式{zni}在Fα，p(1

證明若缺項多項式{zni}在Fα，p(1

那么可以得到

因此，

|P(z)| ≤Aeα*Ax,

(20)

其中d(1，r)是一個關于r的函數，并且當r→+∞時，d(1，r)趨向于一個常數。由式(18)可以得到

這與式(19)矛盾。

3 結束語

1998年，A.A.Borichev和Bernard Beauzamy研究了在Fock型空間中函數的循環(huán)性條件，也研究了一些多項式的循環(huán)性和完備性。2010年，楊向東、易才鳳兩位教授討論了在推廣的Bergman-Fock空間中一種隨機指數系的完備性，還對實軸上的加權Banach空間討論了類似的問題。本文則是在Fock型空間中對所提出的幾種指數函數系與缺項多項式的循環(huán)性和完備性同時進行了討論。該研究是對Fock型空間的一些性質進行了補充和完善，也為相關問題的研究提供了新的思路和方法。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 楊向東，易才鳳.Fock型空間中隨機指數函數系的完備性.數學物理學報，2010，30(2)：411-416.

[2]柯思宇.指數系與隨機指數系的完備性.北京：北京師范大學，2010：49-55.

[3]BORICHEV A A.Estimates from below and cyclicity in Bergman-type spaces.Imm International Mathematics Research Notices，1996(12)：603-611.

[4]BEAUZAMY B.Introduction to Operator Theory and Invariant Subspaces.Amsterdam：Elsevier Science Publishers，1988：148-152.

[5]BORICHEV A A.The polynomial approximation property in Fock-type spaces.Mathmatica Scandinavica，1998，82(2)：256-264.

[6]楊向東，鄧冠鐵.半平面中解析函數的積分表示及在逼近中的應用.數學物理學報，2008，28A(6)：1242-1250.

[7]DENG G T.Incompleteness and closure of a linear span of exponential system in a weighted Banach space.Journal of Approximation Theory，2003，125：1-9.

[8]BOAS R P.Entire Functions.New York：Academic Press Inc，1954：351-362.

[9]LEVIN B Y.Lectures on Entire Functions.Providence：American Mathematical Society，1996：196-223.

[10] KOOSIS P.The Logarithmic Integral，Vol. I.Cambridge：Cambridge University Press，1988：15-77.

[11] MALLIAVIN P.Sur quelques procedes d’extrapolation.Acta Math，1995，83：179-255.

[12] ROCKAFELLAR R.Convex Analysis.Princeton：Princeton University Press，1970.