張正娣 劉亞楠 李靜 畢勤勝

1 引 言

實(shí)際工程系統(tǒng)中存在著大量的諸如干摩擦[1]、碰撞[2]、開關(guān)[3]等非光滑因素,導(dǎo)致相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型產(chǎn)生向量場的非光滑特性.而根據(jù)向量場光滑性程度的不同,非光滑系統(tǒng)一般可以被分為三類:1)非光滑連續(xù)系統(tǒng),系統(tǒng)的向量場連續(xù),而Jacobian矩陣不連續(xù),如蔡氏電路系統(tǒng)[4];2)Filippov系統(tǒng),系統(tǒng)的向量場和Jacobian矩陣不連續(xù),而狀態(tài)空間連續(xù),如干摩擦系統(tǒng)[5];3)非光滑脈沖系統(tǒng),系統(tǒng)的向量場、Jacobian矩陣和狀態(tài)空間均不連續(xù),如碰撞系統(tǒng)[6].

由于非光滑向量場存在著各種類型的非光滑分界面,使得軌跡產(chǎn)生了一些特殊的穿越分界面模式[7],從而導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)出現(xiàn)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性,而傳統(tǒng)的非線性分析方法無法解釋這些行為的產(chǎn)生機(jī)理[8].長期以來,非光滑系統(tǒng)復(fù)雜性及其機(jī)理分析一直是非線性動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的熱點(diǎn)和前沿課題之一[9].圍繞非光滑系統(tǒng),國內(nèi)外學(xué)者開展了大量的研究工作,相關(guān)結(jié)果大都是基于數(shù)值仿真得到的,如Kahan和Sicardi-Schifi no[10]討論了非光滑電路中的同宿分岔行為,Baptista[11]給出了雙渦卷系統(tǒng)中間歇現(xiàn)象等.而由于分析方法的不足,相關(guān)理論研究大都停留在平衡點(diǎn)和極限環(huán)的穩(wěn)定性及其余維一分岔上.如對于穿越分界面的平衡點(diǎn),以Leine為代表的學(xué)者們將微分包含理論[12]引入到其穩(wěn)定性分析中,通過引入輔助參數(shù),得到形式上光滑的平衡點(diǎn)穿越分界面時(shí)的向量場,根據(jù)其廣義Jacobian矩陣特征值隨輔助參數(shù)變化時(shí)穿越零值及純虛軸的情況,給出平衡點(diǎn)的不同非光滑分岔的形式及其分岔結(jié)構(gòu)和行為[13];而對于極限環(huán),則通過引入非光滑映射,得到相應(yīng)的Floquet乘子,按照其穿越單位圓的形式,給出相應(yīng)的非光滑分岔結(jié)構(gòu)和行為[14].由于實(shí)際非光滑向量場特性的復(fù)雜性,加上高余維分岔及高維系統(tǒng)的復(fù)雜性,相關(guān)理論分析大都局限在低維系統(tǒng)的低余維非光滑分岔上[15].

同時(shí),在實(shí)際工程中經(jīng)常會(huì)涉及不同尺度的耦合,這些不同尺度可以是時(shí)間上的,如催化反應(yīng)中存在著兩種不同反應(yīng)速率之間的耦合[16],航空航天器中存在著快速的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)與相對較慢的平動(dòng)之間的耦合[17];也可以是空間上的,如繩系衛(wèi)星[18]和輸電塔線體系[19]中存在著剛?cè)狁詈?不同尺度之間的耦合,使得無量綱模型出現(xiàn)不同量級向量場分量之間的耦合,導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生特殊的動(dòng)力學(xué)特性,通常表現(xiàn)為大幅振蕩與微幅振蕩之間的耦合[20].對不同尺度之間耦合導(dǎo)致的復(fù)雜行為的研究,最早可以追溯到Cardin等[21]在探索行星軌跡時(shí)建立的奇異攝動(dòng)方程,但是,直到諾貝爾獎(jiǎng)獲得者Hodgkin和Huxley[22]建立了兩快一慢的神經(jīng)元模型,成功地再現(xiàn)了神經(jīng)元的簇發(fā)放電行為以后,不同尺度耦合才引起了國內(nèi)外學(xué)者的高度關(guān)注[23].但是,由于缺乏有效的分析方法,相關(guān)工作大都局限在現(xiàn)象報(bào)道和數(shù)值仿真上[24].直到Izhikevich[25]引入Rinzel的快慢分析法,才將相關(guān)研究提升到機(jī)理分析的層次.從那時(shí)起,大量的不同簇發(fā)振蕩及其機(jī)理分析的結(jié)果見諸報(bào)道,但大部分工作都是針對自治系統(tǒng)即時(shí)域上的不同尺度耦合開展的[26].

由于周期激勵(lì)會(huì)引起不同頻率參與系統(tǒng)的振蕩,而當(dāng)周期激勵(lì)頻率與系統(tǒng)的固有頻率之間存在著量級差距,即存在頻域上的不同尺度耦合時(shí),會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生類似的簇發(fā)振蕩行為[27],而頻域上的不同尺度耦合系統(tǒng)不存在明顯的快慢子系統(tǒng).為此,本課題組提出了一系列相關(guān)的分析方法[28],得到了各種激勵(lì)模式下的簇發(fā)振蕩現(xiàn)象及其產(chǎn)生機(jī)理.

而對于周期激勵(lì)下的非光滑F(xiàn)ilippov系統(tǒng),當(dāng)周期激勵(lì)頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的固有頻率時(shí),不同尺度耦合效應(yīng)的研究工作尚不多見,不僅是由于Filippov系統(tǒng)本身的復(fù)雜性[29],同時(shí),也是因?yàn)轭l域上不同尺度耦合簇發(fā)振蕩的特殊性[30].因此,有必要開展相關(guān)的研究工作,探討非光滑F(xiàn)ilippov系統(tǒng)的各種復(fù)雜運(yùn)動(dòng)及其產(chǎn)生機(jī)理.

為深入揭示非光滑F(xiàn)ilippov系統(tǒng)的尺度效應(yīng),本文以相對簡單但非常經(jīng)典的Duffi ng振子為例,通過引入對狀態(tài)變量的分段控制,適當(dāng)選取參數(shù),建立了頻域上兩尺度耦合的非光滑F(xiàn)ilippov系統(tǒng).考慮當(dāng)周期激勵(lì)頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的固有頻率的情形,將整個(gè)周期激勵(lì)項(xiàng)視為慢變參數(shù),分析不同區(qū)域內(nèi)及分界面上廣義自治系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其分岔,結(jié)合轉(zhuǎn)換相圖,得到了兩種典型參數(shù)條件下的不同簇發(fā)振蕩及相應(yīng)的分岔機(jī)理.

2 數(shù)學(xué)模型

為便于說明非光滑系統(tǒng)中的尺度效應(yīng),現(xiàn)以經(jīng)典的Duffi ng振子為例,引入對狀態(tài)變量的分段控制,可以建立如下的非光滑動(dòng)力學(xué)模型

其中ω=A sin(?t),對應(yīng)于周期激勵(lì)項(xiàng),A表示振幅,g(x)=[sgn(x?1)?1]/2對應(yīng)于分段控制項(xiàng).顯然,系統(tǒng)的狀態(tài)相平面由非光滑分界面(記為Σ:={(x,y)|x=1})分為兩個(gè)光滑子區(qū)域,即區(qū)域D+:={(x,y)|x>1}和區(qū)域D?:={(x,y)|x<1},分別對應(yīng)著不同的子系統(tǒng).系統(tǒng)的軌跡在不同的區(qū)域內(nèi)受不同子系統(tǒng)的控制,從而導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性,同時(shí),當(dāng)周期激勵(lì)頻率?遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的固有頻率ωN時(shí),即??ωN,由于存在頻域上的不同尺度耦合,會(huì)導(dǎo)致諸如簇發(fā)振蕩等特殊的非線性行為.在此必須指出的是,與線性系統(tǒng)不同,非線性系統(tǒng)的固有頻率與系統(tǒng)的狀態(tài)相關(guān),如對于系統(tǒng)(1),其固有頻率可以由設(shè)定A=0時(shí)相平面上平衡點(diǎn)相應(yīng)一對共軛特征值的虛部決定,并隨著狀態(tài)變量x的變化而變化.

3 含慢變參數(shù)廣義自治系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其分岔分析

當(dāng)?? ωN,也即周期激勵(lì)頻率與系統(tǒng)固有頻率之間存在量級差距時(shí),相應(yīng)狀態(tài)變量主要按照固有頻率振蕩.在固有頻率對應(yīng)的任一周期t∈ [t0,t0+2π/ωN]內(nèi),周期激勵(lì)項(xiàng)ω =A sin(?t)在ωA=A sin(?t0)和ωB=A sin(?t0+2π?/ωN)之間變化,可見ωA≈ωB,這說明ω在固有頻率的任一周期內(nèi)變化很小.因此,可以把整個(gè)周期激勵(lì)項(xiàng)ω看作慢變參數(shù),進(jìn)而得到含慢變參數(shù)的廣義自治系統(tǒng).從另外的角度,若把整個(gè)周期激勵(lì)項(xiàng)視為慢子系統(tǒng),而把含慢變參數(shù)的廣義自治系統(tǒng)視為快子系統(tǒng),快慢兩子系統(tǒng)的耦合構(gòu)成兩尺度耦合系統(tǒng)(1).快子系統(tǒng)將決定系統(tǒng)的沉寂態(tài)和激發(fā)態(tài)的形式,而慢子系統(tǒng)則會(huì)對系統(tǒng)的軌跡起到調(diào)節(jié)作用.因此,首先需要分析快子系統(tǒng)即含慢變參數(shù)廣義自治系統(tǒng)的分岔特性.

由于非光滑分界面的存在,含慢變參數(shù)廣義自治系統(tǒng)在不同區(qū)域內(nèi)表現(xiàn)為不同的形式.下面分析在不同區(qū)域中及非光滑分界面上該系統(tǒng)的分岔特性.

3.1 區(qū)域D±內(nèi)的平衡點(diǎn)穩(wěn)定性及分岔分析

在區(qū)域D±中,含慢變參數(shù)廣義自治系統(tǒng)的平衡點(diǎn)可以表示為E±=(x0±,0),其中x0±滿足

其穩(wěn)定性由如下特征方程決定:

由(3)式可知,當(dāng)μ >0,?α +3β[x0±+g(x0±)]2>0時(shí),E±為穩(wěn)定的平衡點(diǎn).由于無量綱阻尼系數(shù)μ>0,不會(huì)產(chǎn)生Hopf分岔,而當(dāng)滿足條件

相應(yīng)特征值穿越零值時(shí),平衡點(diǎn)失穩(wěn).由(2)式可知,系統(tǒng)的平衡線為典型的S形曲線,故系統(tǒng)可能會(huì)產(chǎn)生fold分岔,導(dǎo)致跳躍現(xiàn)象.

3.2 分界面上的非光滑分岔分析

由于系統(tǒng)向量場在分界面Σ:={(x,y)|x=1}上不連續(xù),因此,軌線穿越分界面Σ :={(x,y)|x=1}時(shí)可能出現(xiàn)非光滑分岔,可以通過微分包含理論[12]來分析.引入輔助參數(shù)q,利用Clarke導(dǎo)數(shù)得到廣義Jacobian矩陣

其中J+,J?分別對應(yīng)于區(qū)域D+和區(qū)域D?內(nèi)平衡點(diǎn)相應(yīng)的Jacobian矩陣,其廣義特征方程可以表示為

進(jìn)而可知相應(yīng)的特征根為:

同樣可知,在非光滑分界面上,不會(huì)產(chǎn)生Hopf分岔,而當(dāng)

相應(yīng)特征根穿越零值,在分界面可能會(huì)產(chǎn)生非光滑fold分岔,導(dǎo)致軌跡在非光滑分界面上的跳躍現(xiàn)象.

在區(qū)域D±內(nèi)及分界面上的這些分岔行為將直接影響到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性,而這些分岔的產(chǎn)生與否和系統(tǒng)參數(shù)存在著密切的關(guān)系,為進(jìn)一步說明相關(guān)的分岔特性,圖1給出了μ=0.1,α=1.0,A=5.0,?=0.01,β分別為β=0.5和β=2.0時(shí),快子系統(tǒng)隨慢變參數(shù)ω變化的平衡曲線及其分岔特性,其中實(shí)線表示穩(wěn)定解,虛線代表不穩(wěn)定解.同時(shí),紅色曲線表示該解雖然存在,但由于分界面所對應(yīng)的子系統(tǒng)的限制,其解不可能實(shí)現(xiàn),而藍(lán)色表示該解與相應(yīng)子系統(tǒng)在同一定義域,是真實(shí)存在的.

圖1 μ=0.1,α=1.0,A=5.0,?=0.01時(shí)的平衡曲線及其分岔 (a)β=0.5;(b)β=2.0Fig.1.Equilibrium branches as well as bifurcation points forμ=0.1,α=1.0,A=5.0,?=0.01:(a)β=0.5;(b)β=2.0.

從圖1中可以看出,兩子系統(tǒng)所對應(yīng)的平衡曲線均存在兩個(gè)fold分岔點(diǎn),加上平衡曲線與分界面的交點(diǎn),從而導(dǎo)致相應(yīng)平衡曲線被分為性質(zhì)不同的四段.如對于β=0.5時(shí)的E?曲線,可以分為四段,其中EB?1穩(wěn)定,EB?2不穩(wěn)定,且均能實(shí)現(xiàn);而EB?3不穩(wěn)定,EB?4穩(wěn)定,但均不能實(shí)現(xiàn).

在非光滑分界面Σ與平衡曲線的交點(diǎn)上,其相應(yīng)的廣義Jacobian矩陣所對應(yīng)的特征值分布定性相同,當(dāng)平衡點(diǎn)穿越分界面時(shí),在β=0.5時(shí),q=2/3,而在β=2.0時(shí),q=1/6,廣義特征值穿越零值,可能會(huì)產(chǎn)生非光滑fold分岔.

雖然表面上圖1(a)和圖1(b)兩種情形相似,但進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn),兩者存在著明顯的區(qū)別,在β=0.5時(shí),隨著慢變參數(shù)ω的增加,相應(yīng)的位于D?區(qū)域內(nèi)的子系統(tǒng)存在著可以實(shí)現(xiàn)的穩(wěn)定平衡曲線EB?1,該平衡曲線直到抵達(dá)Π2時(shí)才會(huì)產(chǎn)生fold分岔,而在D+區(qū)域內(nèi)的穩(wěn)定平衡曲線EB+4從ω變化到Π1時(shí)就會(huì)產(chǎn)生失穩(wěn),隨著ω的減小一直保持穩(wěn)定.而當(dāng)β=2.0時(shí),在D?區(qū)域內(nèi)的穩(wěn)定平衡曲線EB?1當(dāng)ω增加到Π1時(shí)就會(huì)失穩(wěn),而EB+4從ω變化到Π2時(shí)才會(huì)產(chǎn)生失穩(wěn).也就是說,當(dāng)β =0.5時(shí),在ω ∈ (?∞;+∞)區(qū)間內(nèi),存在著EB?1和EB+4之間變化的穩(wěn)定平衡曲線,而當(dāng)β=2.0時(shí),在ω∈(?∞;WP1]區(qū)間內(nèi)存在穩(wěn)定的平衡曲線EB?1,而在ω∈[WP2,+∞)區(qū)間內(nèi)存在穩(wěn)定的EB+4,其中WP1和WP2分別對應(yīng)于截面Π1和Π2時(shí)相應(yīng)的ω值,滿足WP1

由于兩種情形下系統(tǒng)平衡曲線的性質(zhì)在ω∈(WP1;WP2)區(qū)間上存在著本質(zhì)的不同,從而導(dǎo)致系統(tǒng)可能會(huì)產(chǎn)生不同的尺度效應(yīng),下面分別探討這兩種情形下系統(tǒng)的不同振蕩行為及其產(chǎn)生機(jī)理.

4 簇發(fā)振蕩及其機(jī)理分析

為進(jìn)一步揭示上述兩種情形下振蕩行為之間的本質(zhì)區(qū)別,在此引入轉(zhuǎn)換相圖的概念[28].由于上述平衡曲線及其分岔分析都是基于將慢變量ω作為參數(shù)得到的,即給出了平衡曲線及分岔行為與ω之間的關(guān)系,而傳統(tǒng)的相圖給出的是不同狀態(tài)變量之間的關(guān)系,無法反映這些平衡曲線及其分岔對其振蕩行為的影響規(guī)律.因此,有必要引入能夠反映狀態(tài)變量與慢變量之間關(guān)系的轉(zhuǎn)換相圖.

傳統(tǒng)的相圖反映的是隨時(shí)間變化不同變量之間的關(guān)系,對于本文的系統(tǒng)模型而言,傳統(tǒng)相圖可以表示為Γ:≡{[x(t),y(t)],?t∈R},在此基礎(chǔ)之上,定義

為轉(zhuǎn)換相圖,即將ω視為廣義狀態(tài)變量,能夠描述狀態(tài)變量與慢變量ω之間的相互關(guān)系.

4.1 β=0.5

圖2 β=0.5時(shí)系統(tǒng)振蕩行為 (a)(x,y)平面上的相圖;(b)x的時(shí)間歷程Fig.2.Oscillatory behavior of system forβ=0.5:(a)Phase portrait on the(x,y)plan;(b)the time history of x.

圖2 給出了β=0.5時(shí)系統(tǒng)在(x,y)平面上的相圖及其相應(yīng)的狀態(tài)變量x的時(shí)間歷程.從圖2(a)中可以發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)軌跡可以分為位于D±區(qū)域中的兩個(gè)部分,表現(xiàn)為分別趨于穩(wěn)定焦點(diǎn)E±的逐漸收斂過程.當(dāng)軌跡抵達(dá)E±時(shí),由于慢變量的作用,軌跡產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象而趨向分界面Σ,同時(shí),在軌跡穿越分界面Σ時(shí),存在非光滑行為.

從圖2(b)中相應(yīng)的時(shí)間歷程可以發(fā)現(xiàn),狀態(tài)變量x在大幅振蕩和微幅振蕩之間來回變化,分別對應(yīng)于SP±和QS±,表現(xiàn)為典型的周期簇發(fā)振蕩特性,其振蕩周期與ω完全一致,也即T=2π/?.

為揭示這一簇發(fā)振蕩的產(chǎn)生機(jī)理,圖3給出了相應(yīng)的轉(zhuǎn)換相圖及其與平衡曲線之間的疊加圖.從圖3(a)中可以非常清楚地看出,按照分界面的劃分,系統(tǒng)軌跡可以分為分別位于區(qū)域D±的兩部分,不同區(qū)域中的軌線隨著慢變量ω的變化,又分別存在著趨于穩(wěn)定平衡點(diǎn)的漸進(jìn)過程和從平衡點(diǎn)產(chǎn)生跳躍的過程.

圖3 β=0.5時(shí)簇發(fā)振蕩 (a)(ω,x)平面上的轉(zhuǎn)換相圖;(b)轉(zhuǎn)換相圖與平衡曲線的疊加圖Fig.3.Bursting oscillatory forβ=0.5:(a)Transformed phase portrait on the(ω,x)plane;(b)the overlap of equilibrium branches and transformed phase portrait on the(ω,x)plane.

為說明其振蕩機(jī)理,下面分析轉(zhuǎn)換相圖與平衡曲線的疊加圖(圖3(b)).假設(shè)軌跡從M1點(diǎn)出發(fā),對應(yīng)于慢變量ω取最小值ω=?5.0,由于M1位于區(qū)域D?內(nèi),因而軌跡受D?內(nèi)子系統(tǒng)控制,而該子系統(tǒng)存在穩(wěn)定的平衡曲線EB?1,因此軌跡幾乎嚴(yán)格沿EB?1運(yùn)動(dòng),表現(xiàn)為沉寂態(tài)QS?,直到軌跡抵達(dá)分岔點(diǎn)FB?2,產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象.由于此時(shí)軌跡依然受D?內(nèi)子系統(tǒng)控制,軌跡將跳向D+區(qū)域內(nèi)的穩(wěn)定平衡曲線EB?4.在該跳躍過程中,當(dāng)軌跡穿越分界面Σ后,軌跡轉(zhuǎn)為受D+內(nèi)子系統(tǒng)控制,而該子系統(tǒng)在D+區(qū)域內(nèi)存在穩(wěn)定的平衡曲線EB+4,因而軌跡將逐漸振蕩趨于穩(wěn)定平衡曲線EB+4.由于從分界面到EB+4之間存在一定的距離,而EB+4為焦點(diǎn)型平衡曲線,因此存在著振蕩趨于該穩(wěn)定平衡曲線的過程,導(dǎo)致大幅振蕩,對應(yīng)于激發(fā)態(tài)SP+.隨著ω的繼續(xù)增加,激發(fā)態(tài)的振蕩幅值逐漸減小,直至軌跡穩(wěn)定于平衡曲線EB+4上,進(jìn)而幾乎嚴(yán)格沿該平衡曲線運(yùn)動(dòng),進(jìn)入沉寂態(tài)QS+.

當(dāng)軌跡運(yùn)動(dòng)到M2點(diǎn),也即ω增大到最大至ω=+5.0時(shí),隨著時(shí)間的增加,ω將逐漸減小,使得軌跡掉頭,此時(shí)軌跡受D+區(qū)域內(nèi)子系統(tǒng)控制,因此幾乎嚴(yán)格沿EB+4反向運(yùn)動(dòng).當(dāng)軌跡穿越分界面Σ進(jìn)入D?區(qū)域時(shí),軌跡轉(zhuǎn)而受D?區(qū)域內(nèi)子系統(tǒng)控制,因此軌跡將趨向焦點(diǎn)型平衡曲線EB?1,導(dǎo)致大幅振蕩,對應(yīng)于激發(fā)態(tài)SP?.隨著ω的繼續(xù)減小,其激發(fā)態(tài)的振蕩幅值也逐漸減小,直至軌跡穩(wěn)定到平衡曲線EB?1上,進(jìn)入沉寂態(tài)QS?,并幾乎嚴(yán)格沿EB?1運(yùn)動(dòng),直到軌跡抵達(dá)出發(fā)點(diǎn)M1,完成一個(gè)周期的振蕩.

必須指出的是,軌跡兩次穿越分界面的性質(zhì)不同,在ω增加過程中的穿越,是由于D?區(qū)域中平衡曲線的光滑fold分岔引起的,而在ω減少過程中的穿越,是由于軌跡抵達(dá)平衡曲線與分界面交點(diǎn)時(shí)產(chǎn)生非光滑fold分岔引起的,這不僅可以從上述的微分包含理論說明,也可以從軌跡的跳躍過程得到證實(shí).這也導(dǎo)致在兩區(qū)域D±內(nèi),產(chǎn)生激發(fā)態(tài)的機(jī)理是不一樣的.在D?區(qū)域內(nèi),由于fold分岔,使得軌跡跳向D+區(qū)域內(nèi)的另一穩(wěn)定平衡曲線,而在這一過程中,一旦軌跡穿越分界面,就會(huì)產(chǎn)生趨向D+區(qū)域內(nèi)子系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡曲線.而在D+區(qū)域內(nèi),當(dāng)軌跡沿穩(wěn)定平衡曲線運(yùn)動(dòng)到分界面時(shí),由于控制系統(tǒng)發(fā)生突變,導(dǎo)致軌跡跳向D?區(qū)域內(nèi)子系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡曲線.同為跳躍現(xiàn)象,一種是由光滑fold分岔引起的,而另一種是由非光滑fold分岔引起的.另外,兩激發(fā)態(tài)分別對應(yīng)于從軌跡和分界面交點(diǎn)處向不同區(qū)域內(nèi)子系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)的收斂的暫態(tài)過程,因此其相應(yīng)簇發(fā)振蕩的頻率可以由焦點(diǎn)型平衡點(diǎn)特征值的一對共軛復(fù)根的虛部決定.

另外,當(dāng)非光滑分界面為快子系統(tǒng)的平衡曲線時(shí),在其相應(yīng)的簇發(fā)振蕩中存在著擦邊運(yùn)動(dòng)行為[31],非光滑分岔決定著擦邊運(yùn)動(dòng)的開始和終結(jié)及軌跡穿越分界面的模式[32].而在本文中,由于子系統(tǒng)的平衡曲線直接穿越非光滑分界面,兩子系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡曲線及其相應(yīng)吸引域分別存在于不同的區(qū)域中,導(dǎo)致了其簇發(fā)振蕩中的擦邊運(yùn)動(dòng),并直接決定著擦邊運(yùn)動(dòng)的開始和結(jié)束.

從幾何結(jié)構(gòu)上,該簇發(fā)振蕩表現(xiàn)為圍繞不同平衡點(diǎn)的振蕩,因此,可以稱為周期非光滑點(diǎn)-點(diǎn)型簇發(fā)振蕩.而從分岔形式上,其沉寂態(tài)向激發(fā)態(tài)的轉(zhuǎn)換分別由光滑fold分岔和非光滑fold分岔引起,因此,該簇發(fā)振蕩也可以稱為周期光滑fold/非光滑fold簇發(fā).

4.2 β=2.0

由上述分析可知,增加參數(shù)β值,會(huì)導(dǎo)致平衡曲線的變化,從而可能會(huì)改變振蕩吸引子的結(jié)構(gòu).圖4給出了β=2.0時(shí)系統(tǒng)在(x,y)平面上的相圖及其相應(yīng)的狀態(tài)變量x的時(shí)間歷程.

從圖4中可以看出,系統(tǒng)軌跡雖然也是圍繞兩平衡點(diǎn)振蕩,但是其穿越非光滑分界面的方式發(fā)生了很大的變化,不僅表現(xiàn)在穿越次數(shù)的增加,同時(shí),在y軸上穿越范圍也顯著變化.特別地,由圖4(b)可知,軌跡在非光滑分界面上發(fā)生了擦邊運(yùn)動(dòng),這也可以從圖5中狀態(tài)變量x的時(shí)間歷程中得到證實(shí).

從圖5中的時(shí)間歷程及其局部放大圖可以發(fā)現(xiàn),其軌跡依然表現(xiàn)為周期振蕩,且同樣包含兩個(gè)沉寂態(tài)QS±和兩個(gè)激發(fā)態(tài)SP±.然而與β=0.5時(shí)相比,發(fā)生了明顯的變化,主要表現(xiàn)在:1)軌跡存在著多次穿越分界面的非光滑行為,參見圖4(b)和圖5(c);2)軌跡會(huì)沿分界運(yùn)動(dòng)一定的時(shí)間區(qū)間,即產(chǎn)生擦邊運(yùn)動(dòng),參見圖5(d);3)兩區(qū)域中激發(fā)態(tài)的振蕩周期發(fā)生變化,參見圖5(b)和圖5(c).

導(dǎo)致激發(fā)態(tài)周期發(fā)生變化的主要原因是,對于圖5(b)中的激發(fā)態(tài),由于整個(gè)激發(fā)振蕩的過程不穿越分界面,其振蕩頻率可以由位于區(qū)域D?中的平衡曲線所對應(yīng)特征值共軛復(fù)根的虛部近似,經(jīng)計(jì)算可知兩特征值為λ1,2=?0.1±2.16i,從而可得激發(fā)態(tài)振蕩頻率的理論值近似等于2.16,這與圖5(b)中的數(shù)值仿真結(jié)果?1=2π/T1=2.09符合良好.而對于圖5(c)中的激發(fā)振蕩,其相應(yīng)軌跡來回穿越分界面Σ,因此其振蕩頻率分別由兩部分組成,即分別由從分界面到位于D±中不同吸引子振蕩趨近部分組成,經(jīng)計(jì)算其振蕩的理論解近似為3.17,這也與數(shù)值仿真結(jié)果?2=2π/T2=3.14非常一致.

為進(jìn)一步說明β=2.0時(shí)振蕩行為的產(chǎn)生機(jī)理及上述兩種不同模式簇發(fā)振蕩之間的區(qū)別,圖6給出了β=2.0時(shí)簇發(fā)振蕩的轉(zhuǎn)換相圖及其與平衡曲線的疊加圖.從圖6(a)中可以看出,系統(tǒng)軌跡在D±區(qū)域內(nèi)分別圍繞兩穩(wěn)定平衡曲線振蕩,兩振蕩過程之間出現(xiàn)了兩種形式的連接方式,一是跳躍連接,二是先沿非光滑分界面上運(yùn)行一段時(shí)間后,再產(chǎn)生跳躍連接.

圖4 β=2.0時(shí)系統(tǒng)振蕩行為 (a)(x,y)平面上的相圖;(b)(x,y)平面上的局部放大圖Fig.4.Oscillatory behavior of system forβ=2.0:(a)Phase portrait in the(x,y)plan;(b)the locally enlarged parts in the(x,y)plan.

圖5 β=2.0時(shí)x的時(shí)間歷程及其局部放大圖Fig.5.Time history of x forβ=2.0 and its locally enlarged part.

圖6 β=2.0時(shí)的簇發(fā)振蕩 (a)(ω,x)平面上轉(zhuǎn)換相圖;(b)轉(zhuǎn)換相圖與平衡曲線疊加圖及局部放大圖(c)和(d)Fig.6.Bursting oscillatory for β =2.0:(a)Transformed phase portrait on the(ω,x)plane;(b)the overlap of equilibrium branches and transformed phase portrait on the(ω,x)plane and the locally enlarged parts of the overlap in(c)and(d).

為進(jìn)一步說明簇發(fā)振蕩模式的機(jī)理,下面分析其轉(zhuǎn)換相圖與平衡曲線之間的疊加圖.依然假設(shè)系統(tǒng)軌跡從M1點(diǎn)出發(fā),對應(yīng)于慢變量ω取最小值ω=?5.0(參見圖6(b)),由于M1點(diǎn)在D?區(qū)域內(nèi),因而軌跡受D?內(nèi)子系統(tǒng)控制,而該子系統(tǒng)存在穩(wěn)定的平衡曲線EB?1,因此軌跡幾乎嚴(yán)格沿EB?1運(yùn)動(dòng),表現(xiàn)為沉寂態(tài)QS?,直到軌跡抵達(dá)與分岔點(diǎn)FB?2點(diǎn)對應(yīng)相同ω值的M3點(diǎn)(參見圖6(c)),由fold分岔產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象.由于此時(shí)軌跡依然受D?內(nèi)子系統(tǒng)控制,軌跡將跳向D+區(qū)域內(nèi)的穩(wěn)定平衡曲線EB+4.

4.2.1 圍繞分界面振蕩機(jī)理

在該跳躍過程中,當(dāng)軌跡穿越分界面Σ后,軌跡轉(zhuǎn)為受D+內(nèi)子系統(tǒng)控制,而該子系統(tǒng)僅在D?區(qū)域內(nèi)存在穩(wěn)定的平衡曲線EB+3,因而軌跡又穿越分界面返回D?區(qū)域,轉(zhuǎn)為受D?內(nèi)子系統(tǒng)控制,同樣,該子系統(tǒng)僅在D+區(qū)域內(nèi)存在穩(wěn)定的平衡曲線EB?4,軌跡只能穿越分界面回到區(qū)域D+.由于不同區(qū)域中子系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡曲線與該子系統(tǒng)分別位于不同的D±區(qū)域內(nèi),因此,控制軌跡的系統(tǒng)在兩子系統(tǒng)之間交替變化,從而導(dǎo)致軌跡來回穿越非光滑分界面,形成這種特殊形式的激發(fā)態(tài)SP+.

隨著ω的繼續(xù)增加,激發(fā)態(tài)的振蕩幅值逐漸減小.當(dāng)軌跡抵達(dá)M5點(diǎn)時(shí)(參見圖6(d)),一旦軌跡進(jìn)入?yún)^(qū)域D+后,由于控制系統(tǒng)與其相應(yīng)的穩(wěn)定吸引子均位于同一區(qū)域D+內(nèi),因此軌跡將逐漸穩(wěn)定于相應(yīng)的穩(wěn)定平衡曲線EB+4上,進(jìn)入沉寂態(tài)QS+(參見圖6(d)).當(dāng)軌跡幾乎嚴(yán)格沿穩(wěn)定平衡曲線EB+4運(yùn)動(dòng)到M2時(shí),即對應(yīng)于ω取最大值ω=+5.0,隨著時(shí)間的繼續(xù)增加,ω將逐漸減小,從而導(dǎo)致軌跡幾乎嚴(yán)格沿EB+4反向運(yùn)動(dòng)(參見圖6(b)).當(dāng)軌跡運(yùn)動(dòng)到穩(wěn)定平衡曲線與分界面的交點(diǎn),也即截面Π2上的M5點(diǎn)時(shí),隨著ω的繼續(xù)減小,會(huì)產(chǎn)生擦邊運(yùn)動(dòng)(參見圖6(d)).

4.2.2 擦邊運(yùn)動(dòng)機(jī)理

當(dāng)軌跡運(yùn)動(dòng)到分界面上的M5時(shí),由上述分析可知,當(dāng)ω取值范圍在兩截面Π1和Π3之間時(shí),控制軌跡的系統(tǒng)和其所對應(yīng)的穩(wěn)定平衡曲線分別位于不同D±區(qū)域內(nèi),一旦軌跡穿越分界面則必將反向返回,而在M5點(diǎn)軌跡與分界面之間的距離為零,因此在兩子系統(tǒng)的交替作用下,軌跡只能駐留在分界面上,從而導(dǎo)致軌跡的擦邊現(xiàn)象.

當(dāng)軌跡沿分界面擦邊運(yùn)動(dòng)到位于截面Π3與分界面的交點(diǎn),即圖6(c)中的M6點(diǎn)時(shí),一旦軌跡進(jìn)入D?,由于控制軌跡的子系統(tǒng)與相應(yīng)的穩(wěn)定平衡曲線均位于同一區(qū)域D?內(nèi),因此,軌跡將跳向穩(wěn)定平衡曲線EB?1,由于分界面與焦點(diǎn)型穩(wěn)定平衡曲線EB?1之間存在一定的距離,從而導(dǎo)致大幅振蕩趨近過程,產(chǎn)生激發(fā)態(tài)SP?.隨著ω的繼續(xù)減小,軌跡的振蕩幅值也將逐漸減小,直到軌跡穩(wěn)定于平衡曲線EB?1上.當(dāng)軌跡幾乎嚴(yán)格沿穩(wěn)定平衡曲線EB?1運(yùn)動(dòng)到出發(fā)點(diǎn)M1時(shí),完成一個(gè)周期的簇發(fā)振蕩.

4.2.3 擦邊運(yùn)動(dòng)時(shí)間

顯然,當(dāng)ω取值位于兩截面Π1和Π3之間時(shí),會(huì)產(chǎn)生擦邊運(yùn)動(dòng),因此擦邊運(yùn)動(dòng)的時(shí)間可以根據(jù)ω從截面Π1變化到截面Π3所需的時(shí)間來近似.從圖7中可以得到擦邊運(yùn)動(dòng)時(shí)間的理論近似值為TC=19.42,而從其相應(yīng)數(shù)值計(jì)算中的時(shí)間歷程(圖5(d))可以得到相應(yīng)擦邊運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為TS=18.63,兩者符合良好.

從幾何結(jié)構(gòu)上,該簇發(fā)振蕩依然為周期非光滑點(diǎn)-點(diǎn)型簇發(fā),而從分岔機(jī)理上,該振蕩則為周期非光滑fold-sliding簇發(fā)振蕩.

從上述不同參數(shù)條件下系統(tǒng)行為的分析可以發(fā)現(xiàn),快子系統(tǒng)的平衡曲線及其相應(yīng)的分岔特性不僅直接影響到系統(tǒng)的簇發(fā)振蕩形式,其與分界面之間的關(guān)系也會(huì)影響簇發(fā)振蕩軌跡穿越分界面時(shí)的動(dòng)力學(xué)行為.

圖7 ω在兩截面Π1和Π3之間的變化情況Fig.7.The change ofωbetweenΠ1 andΠ3.

5 結(jié) 論

周期激勵(lì)下Filippov系統(tǒng)存在頻域上不同尺度耦合時(shí)會(huì)產(chǎn)生各種簇發(fā)振蕩行為.周期激勵(lì)頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的固有頻率的情形,可以將整個(gè)周期激勵(lì)項(xiàng)視為慢變參數(shù),從而得到相應(yīng)的快子系統(tǒng),即廣義自治系統(tǒng).非光滑分界面將整個(gè)狀態(tài)平面劃分為不同的區(qū)域,隨慢變量的變化,在各個(gè)區(qū)域中子系統(tǒng)存在著不同的平衡曲線及分岔特性.同時(shí),在非光滑分界面上,平衡點(diǎn)也會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的非光滑分岔行為,這些平衡曲線及分岔特性,不僅影響整個(gè)激勵(lì)系統(tǒng)簇發(fā)振蕩的結(jié)構(gòu),也會(huì)影響軌跡在分界面上的行為.必須指出的是,在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)控制子系統(tǒng)與相應(yīng)穩(wěn)定平衡曲線在同一區(qū)域時(shí),軌跡將逐漸穩(wěn)定于該平衡曲線,而當(dāng)控制子系統(tǒng)與相應(yīng)穩(wěn)定平衡曲線在不同區(qū)域時(shí),軌跡將產(chǎn)生穿越非光滑分界面的行為.其穿越方式與穩(wěn)定平衡曲線的具體分布密切相關(guān),在不同條件下,會(huì)產(chǎn)生直接穿越現(xiàn)象,也會(huì)產(chǎn)生沿分界面的擦邊運(yùn)動(dòng),其產(chǎn)生機(jī)理可以通過相應(yīng)子系統(tǒng)及其平衡曲線的性質(zhì)得到.

[1]Duan C,Singh R 2005 J.Sound Vib.285 1223

[2]Siefert A,Henkel F O 2014 Nucl.Eng.Des.269 130

[3]Chen Z Y,Wang Y M 2016 J.Henan Sci.Univ.37 87(in Chinese)[陳章耀,王亞茗 2016河南科技大學(xué)學(xué)報(bào) 37 87]

[4]Galvanetto U 2001 J.Sound Vib.248 653

[5]Carmona V,Fernández-García S,Freire E 2012 Physica D 241 623

[6]Dercole F,Gragnani A,Rinaldi S 2007 Theor.Popul.Biol.72 197

[7]Zhang S J,Zhou L B,Lu Q S 2007 J.Mech.39 132(in Chinese)[張思進(jìn),周利彪,陸啟韶 2007力學(xué)學(xué)報(bào) 39 132]

[8]Zhang X F,Chen X K,Bi Q S 2012 J.Mech.44 576(in Chinese)[張曉芳,陳小可,畢勤勝 2012力學(xué)學(xué)報(bào) 44 576]

[9]Zhou Z,Tan Y,Xie Y 2016 Mech.Syst.Sig.Process.83 439

[10]Kahan S,Sicardi-Schifi no A C 1999 Physica A 262 144

[11]Baptista M S 1999 Physica D 132 325

[12]Leine R I 2006 Physica D 223 121

[13]Leine R I,Glocker C 2003 Eur.J.Mech.A:Solids 22 193

[14]Leine R I,Campen D H V 2006 Eur.J.Mech.25 595

[15]Izhikevich E M,Desai N S,Walcott E C 2003 Trends Neurosci.26 161

[16]Vanag V K,Epstein I R 2011 Phys.Rev.E 84 066209

[17]Jia Z,Leimkuhler B 2003 Future Gener.Comp.Syst.19 415

[18]Yu B S,Jin D P,Pang Z J 2014 Science China E 8 858(in Chinese)[余本嵩,金棟平,龐兆君 2014中國科學(xué) 8 858]

[19]Yang S C,Hong H P 2016 Eng.Struct.123 490

[20]Ji Y,Bi Q S 2010 Phys.Lett.A 374 1434

[21]Cardin P T,de Moraes J R,da Silva P R 2015 J.Math.Anal.Appl.423 1166

[22]Hodgkin A L,Huxley A F 1990 Bull.Math.Biol.52 25

[23]Ferrari F A S,Viana R L,Lopes S R,Stoop R 2015 Neural Networks 66 107

[24]Huang X G,Xu J X,He D H,Xia J L,LüZ J 1999 Acta Phys.Sin.48 1810(in Chinese)[黃顯高,徐健學(xué),何岱海,夏軍利,呂澤均1999物理學(xué)報(bào)48 1810]

[25]Izhikevich E M 2000 Int.J.Bifurcation Chaos 10 1171

[26]Shimizu K,Saito Y,Sekikawa M 2015 Physica D 241 1518

[27]Han X J,Bi Q S 2012 Int.J.Non Linear Mech.89 69

[28]Wu T Y,Chen X K,Zhang Z D,Zhang X F,Bi Q S 2017 Acta Phys.Sin.66 35(in Chinese)[吳天一,陳小可,張正娣,張曉芳,畢勤勝2017物理學(xué)報(bào)66 35]

[29]Tana X,Qinc W,Liud X,Jin Y,Jiangb S 2016 J.Nonlinear Sci.Appl.9 3948

[30]Premraj D,Suresh K,Palanivel J 2017 Commun.Nonlinear Sci.50 103

[31]Yang X F,Zhang Z D,Li S L 2017 J.Henan Sci.Univ.38 65(in Chinese)[楊秀芳,張正娣,李紹龍 2017河南科技大學(xué)學(xué)報(bào)38 65]

[32]Yang X F 2017 M.S.Dissertation(Zhenjiang:Jiangsu University)(in Chinese)[楊秀芳 2017碩士學(xué)位論文(鎮(zhèn)江:江蘇大學(xué))]