，，， ， (.三峽大學(xué) 水利與環(huán)境學(xué)院，湖北 宜昌 44300； .中國(guó)電建集團(tuán) 貴陽(yáng)勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司，貴陽(yáng) 55008)

1 研究背景

徐變對(duì)混凝土的受力和變形性能有顯著影響，在混凝土結(jié)構(gòu)計(jì)算中不容忽視。徐變模型是反映徐變度或徐變變形隨時(shí)間變化規(guī)律的數(shù)學(xué)函數(shù)式，徐變預(yù)測(cè)的有效性和準(zhǔn)確性很大程度上取決于徐變模型的選取。

徐變模型一直是土木工程界研究的熱點(diǎn)，在有足夠多徐變?cè)囼?yàn)資料的情況下，可用數(shù)學(xué)方法直接建立徐變與加載齡期及持荷時(shí)間的關(guān)系。常用的徐變表達(dá)式可分為2大類(lèi)：一類(lèi)是表示徐變與持荷時(shí)間的關(guān)系，如冪函數(shù)式、對(duì)數(shù)函數(shù)式、雙曲線函數(shù)式等；另一類(lèi)是表示徐變與加載齡期及持荷時(shí)間的關(guān)系，如冪指數(shù)函數(shù)式、多項(xiàng)式指數(shù)函數(shù)式。在缺乏足夠多徐變資料的情況下，往往要通過(guò)經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)估算徐變值，常用的徐變估算方法有CEB/FIP方法、ACI方法、BAPⅡ方法、CS方法、以及朱伯芳提出的朱氏公式和成都勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院提出的由彈性模量推算徐變的方法。上述徐變模型各有局限性及適用性[1-4]，各徐變模型在精度上也存在一定的差異[5-6]。

分?jǐn)?shù)階微積分是一個(gè)解決物理力學(xué)建模難題的有力工具。例如理想固體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系滿足胡克(Hooke)定律，理想流體滿足牛頓(Newton)定律，介于理想固體和理想流體之間的材料應(yīng)滿足σ(t)-dβε(t)/dtβ(0≤β≤1)的關(guān)系，它不僅包含了理想固體和理想液體，而且刻畫(huà)了處于它們之間的其他材料。分?jǐn)?shù)階微積分流變模型的引入，僅僅需要少數(shù)幾個(gè)參數(shù)就可以模擬出復(fù)雜的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，這是整數(shù)階微積分流變模型難以比擬的。但是到目前為止，分?jǐn)?shù)階微積分主要應(yīng)用于巖體蠕變、電磁學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、混沌系統(tǒng)[7-9]等方面，而將分?jǐn)?shù)階微積分運(yùn)用于混凝土徐變模型的實(shí)例很少。因此，本文基于分?jǐn)?shù)階微積分理論建立了混凝土徐變模型，將該理論引入混凝土徐變分析。

2 混凝土分?jǐn)?shù)階徐變模型

2.1 軟體元件

設(shè)有一種元件代表處于理想流體和固體之間某種狀態(tài)的物體，該物體稱(chēng)為軟體，該元件稱(chēng)為軟體元件[10]，軟體元件本構(gòu)方程為

(1)

式中：σ(t)表示應(yīng)力；t為時(shí)間；η為黏彈性系數(shù)。當(dāng)β=1，該元件就是阻尼器元件，代表理想流體；當(dāng)β=0，該元件變?yōu)閺椈稍?，代表理想固體。當(dāng)σ(t)為常數(shù)時(shí)，即應(yīng)力不變的情況下，軟體元件將描述流變行為的徐變，對(duì)式(1)兩側(cè)進(jìn)行拉普拉斯變換及逆變換，同時(shí)利用卷積定理[11]，可得

(2)

在應(yīng)力不變的情況下，當(dāng)β不同時(shí)，式(2)表示的是一系列的徐變曲線,即通過(guò)改變?chǔ)?，軟體元件就能描述處于理想固體和理想液體之間的不同狀態(tài)的流變行為。

圖1 帶軟體元件的廣義開(kāi)爾文模型Fig.1 Generalized Kelvin model with software component

2.2 帶軟體元件的廣義開(kāi)爾文模型

混凝土是由多種成分組成的復(fù)合材料，描述混凝土的徐變性能需要將不同的流變?cè)M(jìn)行組合。本文通過(guò)帶軟體元件的廣義開(kāi)爾文模型對(duì)混凝土徐變性能進(jìn)行分析，帶軟體元件的廣義開(kāi)爾文模型[11]見(jiàn)圖1。

帶軟體元件的廣義開(kāi)爾文模型本構(gòu)方程[11]為

(3)

式中D為分?jǐn)?shù)階微積分算子。

當(dāng)σ(t)為常數(shù)時(shí)，由Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階微積分算子理論，可得

2.3 分?jǐn)?shù)階徐變模型

朱伯芳[12]對(duì)比了廣義開(kāi)爾文模型與混凝土徐變?nèi)崃康牡依死?Dirichlet)級(jí)數(shù)之間的關(guān)系，認(rèn)為目前混凝土工程上常用的8參數(shù)徐變模型是考慮了混凝土齡期的廣義開(kāi)爾文模型。此外，由于混凝土的徐變不僅與持荷時(shí)間有關(guān)，還與加載齡期有關(guān)。因此，當(dāng)應(yīng)力不變的情況下，根據(jù)Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階微積分算子理論，結(jié)合式(4)和混凝土徐變特性，本文建立了考慮加載齡期的混凝土分?jǐn)?shù)階徐變模型的表達(dá)式為

C(t,τ)=(f1+g1τ-p1)·

(5)

式中：C(t,τ)為加荷齡期τ、持荷時(shí)間t-τ的徐變度；f1，g1，p1，r1，β均為待定系數(shù)，且0<β≤1。

當(dāng)β=1時(shí)，得到徐變模型表達(dá)式為C(t,τ)=(f1+g1τ-p1)[1-e-r1(t-τ)]，該模型簡(jiǎn)化為考慮混凝土齡期的4參數(shù)模型。

3 算例分析

為驗(yàn)證分?jǐn)?shù)階徐變模型的準(zhǔn)確性及方便與其他的徐變模型相比較，本文采用優(yōu)化算法對(duì)建立的分?jǐn)?shù)階徐變模型、常用的8參數(shù)模型、4參數(shù)模型進(jìn)行參數(shù)反演。模型參數(shù)反演是一個(gè)非線性規(guī)劃中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，文獻(xiàn)[12]對(duì)于參數(shù)反演的方法有詳細(xì)介紹，本文不再重復(fù)列出。復(fù)合形算法[13]適合解決有約束條件的優(yōu)化問(wèn)題，而且計(jì)算結(jié)果較為可靠，故本文使用復(fù)合形法確定待定參數(shù)，并基于MatLab語(yǔ)言編寫(xiě)計(jì)算程序，然后結(jié)合各算例中的徐變度試驗(yàn)值對(duì)各徐變模型進(jìn)行參數(shù)優(yōu)選。

3.1 算例1

采取文獻(xiàn)[12]中龔嘴重力壩基礎(chǔ)部分混凝土的徐變?cè)囼?yàn)資料，見(jiàn)表1。

表1 龔嘴重力壩徐變度試驗(yàn)值Table 1 Creep test results of Gongzui gravity dam

注：加載齡期為720 d時(shí)持荷時(shí)間720 d的徐變數(shù)據(jù)缺失

針對(duì)龔嘴重力壩的混凝土徐變度試驗(yàn)值，對(duì)所建立的分?jǐn)?shù)階徐變模型、8參數(shù)模型、4參數(shù)模型進(jìn)行參數(shù)反演。

對(duì)式(5)進(jìn)行收斂性分析，當(dāng)n>40時(shí)，分?jǐn)?shù)階模型表達(dá)式基本處于收斂。故本算例在編寫(xiě)MatLab程序時(shí)，取n=41。經(jīng)過(guò)敏感性分析發(fā)現(xiàn)，f1，r1，β較其他2個(gè)參數(shù)敏感；通過(guò)對(duì)初始復(fù)合形法不斷調(diào)試，優(yōu)化得到模型參數(shù)見(jiàn)表2。

表2 分?jǐn)?shù)階模型參數(shù)反演結(jié)果Table 2 Results of parameter inversion of fractionalorder model

根據(jù)反演出的參數(shù)結(jié)果，確定出分?jǐn)?shù)階模型徐變度表達(dá)式為

C(t,τ)=(6.87+32.35τ-0.38)·

(6)

同理，反演出4參數(shù)模型徐變度表達(dá)式為

C(t,τ)=(1.54+7.81τ-0.39)[1-e0.078(t-τ)] 。

(7)

根據(jù)文獻(xiàn)[12]可得8參數(shù)模型徐變度表達(dá)式及徐變度計(jì)算值。 圖2給出龔嘴重力壩各加荷齡期的徐變?cè)囼?yàn)值、分?jǐn)?shù)階模型計(jì)算值、8參數(shù)模型計(jì)算值、4參數(shù)模型計(jì)算值的徐變過(guò)程線對(duì)比。

圖2 龔嘴重力壩各加荷齡期的徐變過(guò)程對(duì)比Fig.2 Comparison of creep process of Gongzui gravity dam among different ages of loading

3.2 算例2

算例2采取文獻(xiàn)[14]中錦屏工程混凝土的徐變?cè)囼?yàn)資料，見(jiàn)表3。

表3 錦屏工程徐變度試驗(yàn)值Table 3 Creep test results of Jinping arch dam

針對(duì)錦屏工程混凝土徐變?cè)囼?yàn)值，對(duì)所建立的分?jǐn)?shù)階徐變模型、8參數(shù)模型及4參數(shù)模型進(jìn)行參數(shù)反演。

對(duì)式(5)進(jìn)行收斂性分析，本算例在編寫(xiě)MatLab程序時(shí)，取n=47,通過(guò)對(duì)初始復(fù)合形不斷調(diào)試，優(yōu)化得到分?jǐn)?shù)階模型參數(shù)。根據(jù)參數(shù)反演結(jié)果，得到分?jǐn)?shù)階模型徐變度表達(dá)式為

C(t,τ)=(0.17+20.66τ-0.53)·

(8)

同理，經(jīng)參數(shù)反演得到8參數(shù)模型表達(dá)式為

C(t,τ)=(0.82+12.08τ-0.88)[1-e-0.406(t-τ)]+

(0.32+15.68τ-0.634)[1-e-0.001 5(t-τ)] 。

(9)

反演出4參數(shù)模型徐變度表達(dá)式為

C(t,τ)=(1.31+13.29τ-0.86)[1-e0.186(t-τ)] 。

(10)

圖3給出錦屏工程混凝土各加荷齡期的徐變?cè)囼?yàn)值、分?jǐn)?shù)階模型計(jì)算值、8參數(shù)模型計(jì)算值、4參數(shù)模型計(jì)算值的徐變過(guò)程線對(duì)比。

圖3 錦屏工程各加荷齡期的徐變過(guò)程對(duì)比Fig.3 Comparison of creep process of Jinping arch dam among different ages of loading

分析圖2、圖3可知：

(1)對(duì)比分?jǐn)?shù)階模型、4參數(shù)模型,可以看出：當(dāng)加載齡期<28 d時(shí)，分?jǐn)?shù)階模型、4參數(shù)模型均具有較高的擬合精度；而當(dāng)加載齡期≥28 d時(shí)，分?jǐn)?shù)階模型較4參數(shù)模型的擬合效果要好，如4參數(shù)模型徐變度在持荷90 d后幾乎不再增長(zhǎng)，而分?jǐn)?shù)階模型可反映出混凝土徐變度隨持荷時(shí)間增加而增長(zhǎng)的趨勢(shì)。

(2)對(duì)于圖2來(lái)說(shuō),當(dāng)加荷齡期較長(zhǎng)時(shí)，分?jǐn)?shù)階模型擬合效果較8參數(shù)模型略好，如當(dāng)加荷齡期為90 d時(shí)，分?jǐn)?shù)階模型與試驗(yàn)值的非線性相關(guān)系數(shù)為0.95，而8參數(shù)模型的非線性相關(guān)系數(shù)為0.93；加荷齡期較短時(shí)，8參數(shù)模型更優(yōu)，如當(dāng)加荷齡期為7 d時(shí)，分?jǐn)?shù)階模型與試驗(yàn)值的非線性相關(guān)系數(shù)為0.91，而8參數(shù)模型的非線性相關(guān)系數(shù)為0.92。對(duì)于圖3來(lái)說(shuō),當(dāng)加荷齡期為3，7 d時(shí)分?jǐn)?shù)階模型與8參數(shù)模型擬合效果較為接近，分?jǐn)?shù)階模型與試驗(yàn)值的非線性相關(guān)系數(shù)為0.90，8參數(shù)模型與試驗(yàn)值非線性相關(guān)系數(shù)為0.91；但在加荷齡期在28 d后，則分?jǐn)?shù)階擬合效果更優(yōu)。

(3)總體上來(lái)說(shuō)，分?jǐn)?shù)階模型擬合徐變度過(guò)程線和徐變度試驗(yàn)過(guò)程線吻合效果較好，擬合表達(dá)式的精度較高，如分?jǐn)?shù)階計(jì)算值與試驗(yàn)值最大比值為0.78，且各加荷齡期計(jì)算值與試驗(yàn)值的非線性相關(guān)系數(shù)均在0.9以上，這說(shuō)明將分?jǐn)?shù)階模型運(yùn)用于混凝土徐變預(yù)測(cè)中是行之有效的。

4 結(jié) 論

本文將分?jǐn)?shù)階微積分流變模型應(yīng)用于混凝土的徐變研究中，給出了考慮加載齡期的混凝土分?jǐn)?shù)階徐變模型的表達(dá)式，并結(jié)合工程實(shí)例中土徐變度實(shí)測(cè)值優(yōu)化反演模型參數(shù)。得到如下結(jié)論：

(1)結(jié)合龔嘴重力壩混凝土及錦屏工程混凝土徐變度試驗(yàn)值，基于混凝土分?jǐn)?shù)階微積分徐變模型，采用復(fù)合形法優(yōu)化反演出徐變度表達(dá)式中的5個(gè)參數(shù)，采用此模型所得的徐變度計(jì)算值和試驗(yàn)值吻合效果較好。

(2)分?jǐn)?shù)階模型能較為準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)混凝土徐變，與8參數(shù)模型預(yù)測(cè)效果接近的同時(shí)，也克服了8參數(shù)模型所需要確定的參數(shù)較多的缺點(diǎn)，是一種良好的混凝土徐變預(yù)測(cè)模型。

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