，，， ， (.三峽大學 水利與環(huán)境學院，湖北 宜昌 44300； .中國電建集團 貴陽勘測設計研究院有限公司，貴陽 55008)

1 研究背景

徐變對混凝土的受力和變形性能有顯著影響，在混凝土結構計算中不容忽視。徐變模型是反映徐變度或徐變變形隨時間變化規(guī)律的數(shù)學函數(shù)式，徐變預測的有效性和準確性很大程度上取決于徐變模型的選取。

徐變模型一直是土木工程界研究的熱點，在有足夠多徐變試驗資料的情況下，可用數(shù)學方法直接建立徐變與加載齡期及持荷時間的關系。常用的徐變表達式可分為2大類：一類是表示徐變與持荷時間的關系，如冪函數(shù)式、對數(shù)函數(shù)式、雙曲線函數(shù)式等；另一類是表示徐變與加載齡期及持荷時間的關系，如冪指數(shù)函數(shù)式、多項式指數(shù)函數(shù)式。在缺乏足夠多徐變資料的情況下，往往要通過經(jīng)驗公式來估算徐變值，常用的徐變估算方法有CEB/FIP方法、ACI方法、BAPⅡ方法、CS方法、以及朱伯芳提出的朱氏公式和成都勘測設計研究院提出的由彈性模量推算徐變的方法。上述徐變模型各有局限性及適用性[1-4]，各徐變模型在精度上也存在一定的差異[5-6]。

分數(shù)階微積分是一個解決物理力學建模難題的有力工具。例如理想固體的應力-應變關系滿足胡克(Hooke)定律，理想流體滿足牛頓(Newton)定律，介于理想固體和理想流體之間的材料應滿足σ(t)-dβε(t)/dtβ(0≤β≤1)的關系，它不僅包含了理想固體和理想液體，而且刻畫了處于它們之間的其他材料。分數(shù)階微積分流變模型的引入，僅僅需要少數(shù)幾個參數(shù)就可以模擬出復雜的應力-應變關系，這是整數(shù)階微積分流變模型難以比擬的。但是到目前為止，分數(shù)階微積分主要應用于巖體蠕變、電磁學、神經(jīng)網(wǎng)絡、混沌系統(tǒng)[7-9]等方面，而將分數(shù)階微積分運用于混凝土徐變模型的實例很少。因此，本文基于分數(shù)階微積分理論建立了混凝土徐變模型，將該理論引入混凝土徐變分析。

2 混凝土分數(shù)階徐變模型

2.1 軟體元件

設有一種元件代表處于理想流體和固體之間某種狀態(tài)的物體，該物體稱為軟體，該元件稱為軟體元件[10]，軟體元件本構方程為

(1)

式中：σ(t)表示應力；t為時間；η為黏彈性系數(shù)。當β=1，該元件就是阻尼器元件，代表理想流體；當β=0，該元件變?yōu)閺椈稍?，代表理想固體。當σ(t)為常數(shù)時，即應力不變的情況下，軟體元件將描述流變行為的徐變，對式(1)兩側進行拉普拉斯變換及逆變換，同時利用卷積定理[11]，可得

(2)

在應力不變的情況下，當β不同時，式(2)表示的是一系列的徐變曲線,即通過改變β，軟體元件就能描述處于理想固體和理想液體之間的不同狀態(tài)的流變行為。

圖1 帶軟體元件的廣義開爾文模型Fig.1 Generalized Kelvin model with software component

2.2 帶軟體元件的廣義開爾文模型

混凝土是由多種成分組成的復合材料，描述混凝土的徐變性能需要將不同的流變元件進行組合。本文通過帶軟體元件的廣義開爾文模型對混凝土徐變性能進行分析，帶軟體元件的廣義開爾文模型[11]見圖1。

帶軟體元件的廣義開爾文模型本構方程[11]為

(3)

式中D為分數(shù)階微積分算子。

當σ(t)為常數(shù)時，由Riemann-Liouville型分數(shù)階微積分算子理論，可得

2.3 分數(shù)階徐變模型

朱伯芳[12]對比了廣義開爾文模型與混凝土徐變?nèi)崃康牡依死?Dirichlet)級數(shù)之間的關系，認為目前混凝土工程上常用的8參數(shù)徐變模型是考慮了混凝土齡期的廣義開爾文模型。此外，由于混凝土的徐變不僅與持荷時間有關，還與加載齡期有關。因此，當應力不變的情況下，根據(jù)Riemann-Liouville型分數(shù)階微積分算子理論，結合式(4)和混凝土徐變特性，本文建立了考慮加載齡期的混凝土分數(shù)階徐變模型的表達式為

C(t,τ)=(f1+g1τ-p1)·

(5)

式中：C(t,τ)為加荷齡期τ、持荷時間t-τ的徐變度；f1，g1，p1，r1，β均為待定系數(shù)，且0<β≤1。

當β=1時，得到徐變模型表達式為C(t,τ)=(f1+g1τ-p1)[1-e-r1(t-τ)]，該模型簡化為考慮混凝土齡期的4參數(shù)模型。

3 算例分析

為驗證分數(shù)階徐變模型的準確性及方便與其他的徐變模型相比較，本文采用優(yōu)化算法對建立的分數(shù)階徐變模型、常用的8參數(shù)模型、4參數(shù)模型進行參數(shù)反演。模型參數(shù)反演是一個非線性規(guī)劃中的數(shù)學問題，文獻[12]對于參數(shù)反演的方法有詳細介紹，本文不再重復列出。復合形算法[13]適合解決有約束條件的優(yōu)化問題，而且計算結果較為可靠，故本文使用復合形法確定待定參數(shù)，并基于MatLab語言編寫計算程序，然后結合各算例中的徐變度試驗值對各徐變模型進行參數(shù)優(yōu)選。

3.1 算例1

采取文獻[12]中龔嘴重力壩基礎部分混凝土的徐變試驗資料，見表1。

表1 龔嘴重力壩徐變度試驗值Table 1 Creep test results of Gongzui gravity dam

注：加載齡期為720 d時持荷時間720 d的徐變數(shù)據(jù)缺失

針對龔嘴重力壩的混凝土徐變度試驗值，對所建立的分數(shù)階徐變模型、8參數(shù)模型、4參數(shù)模型進行參數(shù)反演。

對式(5)進行收斂性分析，當n>40時，分數(shù)階模型表達式基本處于收斂。故本算例在編寫MatLab程序時，取n=41。經(jīng)過敏感性分析發(fā)現(xiàn)，f1，r1，β較其他2個參數(shù)敏感；通過對初始復合形法不斷調試，優(yōu)化得到模型參數(shù)見表2。

表2 分數(shù)階模型參數(shù)反演結果Table 2 Results of parameter inversion of fractionalorder model

根據(jù)反演出的參數(shù)結果，確定出分數(shù)階模型徐變度表達式為

C(t,τ)=(6.87+32.35τ-0.38)·

(6)

同理，反演出4參數(shù)模型徐變度表達式為

C(t,τ)=(1.54+7.81τ-0.39)[1-e0.078(t-τ)] 。

(7)

根據(jù)文獻[12]可得8參數(shù)模型徐變度表達式及徐變度計算值。 圖2給出龔嘴重力壩各加荷齡期的徐變試驗值、分數(shù)階模型計算值、8參數(shù)模型計算值、4參數(shù)模型計算值的徐變過程線對比。

圖2 龔嘴重力壩各加荷齡期的徐變過程對比Fig.2 Comparison of creep process of Gongzui gravity dam among different ages of loading

3.2 算例2

算例2采取文獻[14]中錦屏工程混凝土的徐變試驗資料，見表3。

表3 錦屏工程徐變度試驗值Table 3 Creep test results of Jinping arch dam

針對錦屏工程混凝土徐變試驗值，對所建立的分數(shù)階徐變模型、8參數(shù)模型及4參數(shù)模型進行參數(shù)反演。

對式(5)進行收斂性分析，本算例在編寫MatLab程序時，取n=47,通過對初始復合形不斷調試，優(yōu)化得到分數(shù)階模型參數(shù)。根據(jù)參數(shù)反演結果，得到分數(shù)階模型徐變度表達式為

C(t,τ)=(0.17+20.66τ-0.53)·

(8)

同理，經(jīng)參數(shù)反演得到8參數(shù)模型表達式為

C(t,τ)=(0.82+12.08τ-0.88)[1-e-0.406(t-τ)]+

(0.32+15.68τ-0.634)[1-e-0.001 5(t-τ)] 。

(9)

反演出4參數(shù)模型徐變度表達式為

C(t,τ)=(1.31+13.29τ-0.86)[1-e0.186(t-τ)] 。

(10)

圖3給出錦屏工程混凝土各加荷齡期的徐變試驗值、分數(shù)階模型計算值、8參數(shù)模型計算值、4參數(shù)模型計算值的徐變過程線對比。

圖3 錦屏工程各加荷齡期的徐變過程對比Fig.3 Comparison of creep process of Jinping arch dam among different ages of loading

分析圖2、圖3可知：

(1)對比分數(shù)階模型、4參數(shù)模型,可以看出：當加載齡期<28 d時，分數(shù)階模型、4參數(shù)模型均具有較高的擬合精度；而當加載齡期≥28 d時，分數(shù)階模型較4參數(shù)模型的擬合效果要好，如4參數(shù)模型徐變度在持荷90 d后幾乎不再增長，而分數(shù)階模型可反映出混凝土徐變度隨持荷時間增加而增長的趨勢。

(2)對于圖2來說,當加荷齡期較長時，分數(shù)階模型擬合效果較8參數(shù)模型略好，如當加荷齡期為90 d時，分數(shù)階模型與試驗值的非線性相關系數(shù)為0.95，而8參數(shù)模型的非線性相關系數(shù)為0.93；加荷齡期較短時，8參數(shù)模型更優(yōu)，如當加荷齡期為7 d時，分數(shù)階模型與試驗值的非線性相關系數(shù)為0.91，而8參數(shù)模型的非線性相關系數(shù)為0.92。對于圖3來說,當加荷齡期為3，7 d時分數(shù)階模型與8參數(shù)模型擬合效果較為接近，分數(shù)階模型與試驗值的非線性相關系數(shù)為0.90，8參數(shù)模型與試驗值非線性相關系數(shù)為0.91；但在加荷齡期在28 d后，則分數(shù)階擬合效果更優(yōu)。

(3)總體上來說，分數(shù)階模型擬合徐變度過程線和徐變度試驗過程線吻合效果較好，擬合表達式的精度較高，如分數(shù)階計算值與試驗值最大比值為0.78，且各加荷齡期計算值與試驗值的非線性相關系數(shù)均在0.9以上，這說明將分數(shù)階模型運用于混凝土徐變預測中是行之有效的。

4 結 論

本文將分數(shù)階微積分流變模型應用于混凝土的徐變研究中，給出了考慮加載齡期的混凝土分數(shù)階徐變模型的表達式，并結合工程實例中土徐變度實測值優(yōu)化反演模型參數(shù)。得到如下結論：

(1)結合龔嘴重力壩混凝土及錦屏工程混凝土徐變度試驗值，基于混凝土分數(shù)階微積分徐變模型，采用復合形法優(yōu)化反演出徐變度表達式中的5個參數(shù)，采用此模型所得的徐變度計算值和試驗值吻合效果較好。

(2)分數(shù)階模型能較為準確地預測混凝土徐變，與8參數(shù)模型預測效果接近的同時，也克服了8參數(shù)模型所需要確定的參數(shù)較多的缺點，是一種良好的混凝土徐變預測模型。

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