周 勇 孟玉潔 姚關(guān)心 許新勝

(安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院 安徽 蕪湖 241002)

1 引言

“靜電場(chǎng)的描繪”是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的重要實(shí)驗(yàn)[1].由于直接測(cè)量靜電場(chǎng)比較困難，一般用穩(wěn)恒電流場(chǎng)來模擬靜電場(chǎng).同軸圓柱形電容器電極間的等勢(shì)線呈同心圓狀分布，等勢(shì)線圓的半徑與電勢(shì)之間的關(guān)系滿足理論解析公式

(1)

2 傳統(tǒng)數(shù)據(jù)處理方法的定性分析

基于一組等勢(shì)點(diǎn)確定等勢(shì)線圓半徑的傳統(tǒng)做法是：首先取3個(gè)等勢(shì)點(diǎn),根據(jù)幾何法作圖確定圓心的位置；然后測(cè)量圓心到各等勢(shì)點(diǎn)的距離并取所有距離的平均值.

傳統(tǒng)的“三點(diǎn)定圓心，求平均半徑”方法存在一些問題.例如：

問題1：幾何法作圖可能存在誤差，導(dǎo)致所確定的圓心位置不精確.即便對(duì)于同一份實(shí)驗(yàn)記錄，每個(gè)人作圖得到的圓心位置間也會(huì)存在一定的差別.此外，在測(cè)量圓心到各等勢(shì)點(diǎn)距離時(shí)也存在誤差.

問題2：受實(shí)驗(yàn)條件限制，各等勢(shì)線并非精確的圓形，而且記錄等勢(shì)點(diǎn)時(shí)也可能存在誤差，因此不同“三等勢(shì)點(diǎn)”組合所確定的圓心一般情況下并不重合，圓心位置的誤差也參差不齊.關(guān)于“三等勢(shì)點(diǎn)”組合選擇對(duì)圓心位置誤差的影響，目前尚未見有定量的研究.為減小誤差，一般建議所選組合中的3個(gè)等勢(shì)點(diǎn)應(yīng)盡量均勻分布(即成近似的正三角形)[2]；該建議主要是經(jīng)驗(yàn)性的，尚無定量的測(cè)試結(jié)果予以驗(yàn)證和支持.

為盡量減小上述問題對(duì)最終實(shí)驗(yàn)結(jié)果精度的影響，本文中首先對(duì)記錄的等勢(shì)點(diǎn)進(jìn)行數(shù)量化，然后在此基礎(chǔ)上對(duì)傳統(tǒng)數(shù)據(jù)處理方法的精度進(jìn)行定量分析，最后針對(duì)傳統(tǒng)方法中所存在的問題提出一種基于“圓最小二乘法擬合”的數(shù)據(jù)處理方案并對(duì)結(jié)果進(jìn)行定量分析.

3 傳統(tǒng)數(shù)據(jù)處理方法的定量分析

3.1 實(shí)驗(yàn)條件及實(shí)驗(yàn)記錄的數(shù)量化

實(shí)驗(yàn)采用JD-LE-I型靜電場(chǎng)描繪儀.選用同軸圓柱形電容器(圓柱電極直徑Da≈12 mm；圓環(huán)電極內(nèi)直徑Db≈90 mm，厚度d≈7 mm)，電極間電勢(shì)差U0=10 V，導(dǎo)電介質(zhì)為自來水.等勢(shì)線電勢(shì)選定為0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 4.0 V，對(duì)應(yīng)每條等勢(shì)線記錄8個(gè)呈米字型分布的等勢(shì)點(diǎn).電容器電極布局如圖1中陰影區(qū)域所示.

為方便后續(xù)的數(shù)據(jù)處理和定量分析，我們首先對(duì)實(shí)驗(yàn)記錄的等勢(shì)點(diǎn)進(jìn)行數(shù)量化，得到所有等勢(shì)點(diǎn)的坐標(biāo).具體方法：將等勢(shì)點(diǎn)記錄紙按100%比例掃描成圖片；在圖片上建立坐標(biāo)系，借助計(jì)算機(jī)軟件(如Origin等)確定所有等勢(shì)點(diǎn)的坐標(biāo).圖1顯示了實(shí)驗(yàn)所記錄等勢(shì)點(diǎn)的位置和數(shù)量化時(shí)所采用的坐標(biāo)系.

圖1 電極布局及等勢(shì)點(diǎn)在等勢(shì)線上的分布

3.2 傳統(tǒng)數(shù)據(jù)處理方法的定量分析

首先，基于傳統(tǒng)數(shù)據(jù)處理方法，即任取“三等勢(shì)點(diǎn)”組合，來確定圓心的位置.已知等勢(shì)點(diǎn)坐標(biāo){(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)}，圓心的坐標(biāo)(xc,yc)可以通過求解方程組

(2)

精確得到.這里借助SciPy[3]中optimize模塊的fsolve函數(shù)求該非線性方程組的數(shù)值解.基于實(shí)驗(yàn)中記錄的對(duì)應(yīng)某條等勢(shì)線的8個(gè)等勢(shì)點(diǎn)，通過編寫計(jì)算機(jī)程序，可以方便快捷地計(jì)算所有56個(gè)“半徑”的數(shù)值.相比于傳統(tǒng)方法，采用解析方法可有效地減小圓心的幾何作圖誤差和圓心到各等勢(shì)點(diǎn)距離(“半徑”)的測(cè)量誤差.這里我們用“半徑”的標(biāo)準(zhǔn)差來度量各圓心位置的精度(表1)，標(biāo)準(zhǔn)差越小說明圓心位置越精確(對(duì)嚴(yán)格的圓，標(biāo)準(zhǔn)差為零).

表1 基于傳統(tǒng)方法計(jì)算所得等勢(shì)線半徑R的誤差分布

對(duì)于電勢(shì)為0.5 V的情況，不同“三等勢(shì)點(diǎn)”組合計(jì)算所得“半徑”的標(biāo)準(zhǔn)差之間差別很大：最大標(biāo)準(zhǔn)差(2.26 mm)明顯大于直尺的測(cè)量誤差限(0.5 mm)，此時(shí)圓心位置誤差較大；最小標(biāo)準(zhǔn)差(0.31 mm)小于直尺測(cè)量誤差限，此時(shí)圓心位置較精確.對(duì)于其他電勢(shì)值，結(jié)論與0.5 V情況類似.這表明，基于傳統(tǒng)方法確定等勢(shì)線的圓心位置時(shí)，需慎重選擇“三等勢(shì)點(diǎn)”組合.只有“半徑”標(biāo)準(zhǔn)差小于直尺測(cè)量誤差限的“三等勢(shì)點(diǎn)”組合(“優(yōu)質(zhì)組合”)所給出的圓心位置才是可靠的.

經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為，當(dāng)3個(gè)等勢(shì)點(diǎn)的連線接近正三角形時(shí)，其所確定的圓心位置誤差較小，即應(yīng)為“優(yōu)質(zhì)組合”.計(jì)算了所有“三等勢(shì)點(diǎn)”組合所確定三角形內(nèi)角的標(biāo)準(zhǔn)差，并用這些標(biāo)準(zhǔn)差來度量各“等勢(shì)點(diǎn)”三角形偏離正三角形的程度(標(biāo)準(zhǔn)差越小越接近正三角形，正三角形標(biāo)準(zhǔn)差為零).研究結(jié)果表明，當(dāng)“等勢(shì)點(diǎn)”三角形最接近于正三角形的時(shí)候，其對(duì)應(yīng)的“半徑”標(biāo)準(zhǔn)差也是最小的；除去個(gè)別特殊情況，按照“正三角形”規(guī)則選出的“三等勢(shì)點(diǎn)”組合均接近“優(yōu)質(zhì)組合”，即傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)規(guī)則基本有效.需要指出的是，實(shí)驗(yàn)中也發(fā)現(xiàn)：對(duì)于某些與正三角形偏離較大的情況，其對(duì)應(yīng)的“三等勢(shì)點(diǎn)”組合也有可能是“優(yōu)質(zhì)組合”.

為盡可能地保證圓心位置的精度，可以對(duì)3個(gè)不同的“三等勢(shì)點(diǎn)”“優(yōu)質(zhì)組合”確定的圓心取平均.統(tǒng)計(jì)了不同電勢(shì)值情況下“優(yōu)質(zhì)組合”的數(shù)目，并在此基礎(chǔ)上計(jì)算了隨機(jī)抽取的3個(gè)不同組合全部為“優(yōu)質(zhì)組合”的幾率.結(jié)果表明，該幾率最高僅為50%左右，最低可至11%.即在完全隨機(jī)地選擇3個(gè)“三等勢(shì)點(diǎn)”組合來確定平均圓心位置情況下，得到可靠結(jié)果的可能性最高不超過50%，大概率情況下結(jié)果不甚可靠.這也說明，在選擇“三等勢(shì)點(diǎn)”組合時(shí)需要格外慎重.

4 改進(jìn)的數(shù)據(jù)處理方法及定量分析

基于上述原因，提出一種利用“圓最小二乘法擬合”[4]的方案來確定圓心的位置.具體地，借助SciPy中optimize模塊的leastsq函數(shù)對(duì)試探圓心的位置進(jìn)行優(yōu)化，最優(yōu)化結(jié)果對(duì)應(yīng)所有8個(gè)“半徑”標(biāo)準(zhǔn)差的最小值.由于所有等勢(shì)點(diǎn)均參與“圓最小二乘法擬合”，這就避免了傳統(tǒng)方法中因“三等勢(shì)點(diǎn)”組合選擇方法的不同所引起的主觀誤差.擬合所得各等勢(shì)線如圖1中虛線所示.

與前一部分相同，我們用“半徑”標(biāo)準(zhǔn)差來度量圓心位置的精度，相關(guān)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示.對(duì)于這里考察的所有7組不同電勢(shì)值情況，“半徑”標(biāo)準(zhǔn)差均小于直尺測(cè)量誤差限(0.5 mm)，其中最大標(biāo)準(zhǔn)差0.31 mm，最小標(biāo)準(zhǔn)差0.16 mm，平均標(biāo)準(zhǔn)差0.24 mm.比較可知，改進(jìn)型方法的“半徑”標(biāo)準(zhǔn)差與傳統(tǒng)方法的最小標(biāo)準(zhǔn)差非常相近.對(duì)于大多數(shù)情況，二者之間的差別不超過0.01 mm；最大差別(4.0 V電勢(shì)情況)也僅為0.03 mm，遠(yuǎn)小于直尺的測(cè)量誤差限，即采用改進(jìn)型方法亦可達(dá)到傳統(tǒng)方法的最佳可能精度.由于計(jì)算機(jī)程序處理數(shù)據(jù)的高效性，我們可以通過記錄更多的等勢(shì)點(diǎn)來提高圓心位置的擬合精度，而由此導(dǎo)致的計(jì)算機(jī)計(jì)算時(shí)間可以忽略不計(jì)；傳統(tǒng)的幾何作圖方法不具有這方面的優(yōu)勢(shì).

表2 基于改進(jìn)型方法計(jì)算得到的等勢(shì)線圓心坐標(biāo)和半徑誤差分布

5 結(jié)論

對(duì)“靜電場(chǎng)的描繪”這一重要大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)處理方法進(jìn)行了定性和定量的分析研究.分析的基礎(chǔ)是實(shí)驗(yàn)中所記錄等勢(shì)點(diǎn)位置的數(shù)量化，這一步是整個(gè)數(shù)據(jù)處理過程中的主要誤差來源.對(duì)傳統(tǒng)數(shù)據(jù)處理方法的定量分析表明：“三等勢(shì)點(diǎn)”組合的選擇對(duì)所得圓心位置的精度有重大影響；基于定量的誤差分析，在具體選擇時(shí)可考慮遵循經(jīng)驗(yàn)性的“正三角形”選點(diǎn)規(guī)則；在隨機(jī)選擇“三等勢(shì)點(diǎn)”組合的情況下，得到可靠的平均圓心位置的概率很低.本文提出的基于“圓最小二乘法”擬合的數(shù)據(jù)處理方案，可在回避“三等勢(shì)點(diǎn)”組合選擇主觀隨意性的同時(shí)，充分利用所有等勢(shì)點(diǎn)的信息，并達(dá)到與傳統(tǒng)數(shù)值處理方法類似的精度，且該精度有望通過增加等勢(shì)點(diǎn)的數(shù)目來獲得進(jìn)一步的提高.由于改進(jìn)后的數(shù)據(jù)處理方法相比傳統(tǒng)方法所具有的優(yōu)勢(shì)，我們建議師生在實(shí)驗(yàn)教學(xué)過程中參考使用.

參 考 文 獻(xiàn)

1 方正華. 大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教程(一級(jí)). 合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2010. 102～106

2 付芳芳, 李慶明, 侯雙印. 模擬法描繪靜電場(chǎng)實(shí)驗(yàn)中數(shù)據(jù)處理方法比較. 物理通報(bào), 2016, 35(7) ：101～102

3 Jones E, Oliphant E, Peterson P, et al. SciPy: Open Source Scientific Tools for Python. 2001-. http://www.scipy.org/

4 張韻華. 數(shù)值計(jì)算方法與算法. 北京：科學(xué)出版社，2006. 59～73