管 飚

二階動態(tài)電路的分析是《電路》本科課程中的重點和難點，也是培養(yǎng)學(xué)生電路分析能力的重要基礎(chǔ)知識之一。但是，在大多數(shù)通用的教材中，主要是對RLC動態(tài)二階電路進行簡要的理論分析，而配套的實驗設(shè)備基本是GLC并聯(lián)電路，與教材的匹配不夠完善。這樣，學(xué)生很難直觀地觀察RLC二階電路的實驗效果，使得教學(xué)效果不夠理想。本文在理論分析的基礎(chǔ)上，通過Multisim軟件對RLC二階動態(tài)電路進行仿真，便于學(xué)生增加對RLC二階電路的感性認識，全面地理解和掌握RLC二階動態(tài)電路[1，2，3]。

圖1 RLC串聯(lián)二階電路原理圖

如圖1所示，電路中含有電阻和電感兩個串聯(lián)的動態(tài)儲元件，據(jù)此電路建立的方程為二階微分方程，常將這種電路稱為RLC二階串聯(lián)電路。本文主要討論電路中電容電壓在零狀態(tài)和零輸入下的響應(yīng)變化，以及電路中電容電壓與電流的關(guān)系，這種關(guān)系也可以稱為動態(tài)軌跡[4，5]。

1 二階電路的理論分析

根據(jù)基爾霍夫電壓定律[6]，由圖1可得：

uR(t)+uL(t)+uC(t)=uS(t)

(1)

為了求出電容兩端的電壓，只需要求出電路中電感和電阻兩端的電壓，然后代入方程(1)。其中，由于是串聯(lián)電路，那么流經(jīng)三個元件的電流是相同的，即：

(2)

電阻和電感兩端的電壓分別為：

(3)

(4)

將上面兩個表達式(3)和(4)代入方程(1)，可得如下的表達式：

(5)

方程(5)中，uS(t)是一個方波信號。在激勵信號的前半周期，uS(t)=US，是零狀態(tài)響應(yīng)，方程(5)是一個二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。在激勵信號的后半周期，uS(t)=0，是零輸入響應(yīng)，方程是二階常系數(shù)齊次線性微分方程。方程(5)的特征方程為：

LCp2+RCp+1=0

(6)

方程(6)相應(yīng)的特征根為：

(7)

特征方程的根，也稱為電路的固有頻率，從方程(7)可以看出，電路的固有頻率只與電路中的電阻、電感和電容的參數(shù)有關(guān)，與輸入信號無關(guān)。這樣，通過更改電阻的阻值，就可以改變電路的固有頻率。

在激勵信號的前半周期，激勵信號幅值為正，電容電壓為零，這時二階電路的響應(yīng)是零狀態(tài)響應(yīng)，而在激勵信號的后半周期，信號的幅值為零，電容電壓不為零，這時，二階電路的響應(yīng)是零輸入響應(yīng)。在激勵信號發(fā)生跳變時，二階電路響應(yīng)從一個穩(wěn)定狀態(tài)過渡到另一個穩(wěn)定狀態(tài)，這種過渡稱為暫態(tài)過程，與電路本身的固有頻率有關(guān)。根據(jù)特征方程根的不同，二階電路的暫態(tài)過程可以分為欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼。根據(jù)方程(7)根號內(nèi)算式的值，特征方程的根可以分為下列三類情況。

這時，p1和p2是兩個不相等的實數(shù)根，微分方程的通解為：

uC(t)=A1ep1t+A2ep2t+uS(t)

(8)

只要求出A1和A2的值，就可以求出電容兩邊的電壓。對方程兩邊求導(dǎo)數(shù)，可得：

(9)

在激勵信號的前半個周期，t=0時，初始條件有uC=0，I0=0，uS=US，電路是零狀態(tài)響應(yīng)，方程(8)和(9)可簡化為：

(10)

解方程組可得：

(11)

代入方程(8)后可以解得電容電壓在零狀態(tài)下的表達式：

(12)

在激勵信號的后半個周期，t=0時，初始條件有uC=US，I0=0，uS=0，電路是零輸入響應(yīng)，方程(8)和(9)可以簡化為：

(13)

解方程組可得：

(14)

代入方程(8)后可以解得電容電壓在零輸入時的響應(yīng)：

(15)

這時p1和p2是兩個相等的實數(shù)根，微分方程(5)的解有如下形式：

uC(t)=(A1+A2t)ept+uS(t)

(16)

對方程(16)兩邊求導(dǎo)數(shù)，可以得到：

(17)

同樣，在激勵信號的前半個周期，t=0時，初始條件有uC=0，I0=0，uS=US，前兩個方程可簡化為：

(18)

解方程組后可以到：

(19)

將方程(19)代入方程(16)后可以得到電容電壓在零狀態(tài)下的響應(yīng)方程：

uC(t)=US-USept(1-pt)

(20)

在激勵信號的后半個周期，t=0時，初始條件有uC=US，I0=0，uS=0，方程(16)和(17)可以化簡為：

(21)

解上面的方程組后可以到

(22)

計算結(jié)果(22)代入方程(16)后可以得到電容電壓在零輸入下的響應(yīng)方程：

uC(t)=USept(1-pt)

(23)

這時，根號內(nèi)的表達式為負數(shù)，p1和p2是一對共軛復(fù)數(shù)。

uC(t)=e-αt[A1cos(ωdt)+A2sin(ωdt)]+uS(t)

(24)

對方程(24)兩邊求導(dǎo)數(shù)，可以得到：

(25)

在前半個周期，t=0時，初始條件有uC=0，I0=0，uS=US，方程(24)和(25)可簡化為：

(26)

解方程組后可以得到：

(27)

計算結(jié)果代入方程(24)后可以得到電容電壓在零狀態(tài)下的響應(yīng)方程：

(28)

在后半個周期，t=0時，初始條件有uC=US，I0=0，uS=0，方程(24)和(25)可簡化為：

(29)

解方程組(29)，可以得到：

(30)

計算結(jié)果代入方程(24)后可以得到電容電壓在零輸入下的響應(yīng)方程：

(31)

2 RLC二階電路的Multisim軟件仿真

Multisim是美國國家儀器有限公司推出的一款仿真軟件，適用于板級的模擬和數(shù)字電路的設(shè)計工作，使用者可以交互式地構(gòu)建電路原理圖，并對電路進行仿真，因此非常適合于電路基礎(chǔ)的實驗教學(xué)任務(wù)。本文使用NI Multisim v 10作為仿真工具。

根據(jù)上一小節(jié)的計論，電路的仿真也同樣分為三個部分，每一部分給出了電容電壓的響應(yīng)變化，即暫態(tài)過程，以及電容電壓隨電流的變化軌跡，即狀態(tài)軌跡。

圖2 實驗電路圖

實驗用電路圖如圖2所示。示波器的通道A端接在電容的兩端，用于顯示電容兩端電壓的響應(yīng)變化。為了顯示電容電壓與電路中電流的關(guān)系，就需要在示波器上顯示出電流量。但是，由于雙蹤示波器只能用于觀察電壓量，因此，需要接入一個較小的電阻R1，作用是將電流量轉(zhuǎn)化為電壓量，便于示波器的觀測，接在示波器的通道B端。

取R2=4.0kΩ，方程(6)有兩個不相等的實數(shù)根，RLC電路過渡的性質(zhì)為過阻尼的非振蕩過程，圖3顯示的是電容電壓在過阻尼狀態(tài)下的暫態(tài)過程，圖4顯示的是電容電壓在過阻尼狀態(tài)下與電流的關(guān)系。

圖3 過阻尼狀態(tài)暫態(tài)過程

圖4 過阻尼狀態(tài)軌跡

根據(jù)電路圖2，取R2=2.0kΩ，方程(6)有兩個相等的實數(shù)根，這時，RLC電路的過渡性質(zhì)為臨界阻尼的非振蕩過程。圖5顯示的是電容電壓在臨界阻尼狀態(tài)下的暫態(tài)過程，圖6顯示的是電容電壓在臨界阻尼狀態(tài)下與電流的關(guān)系。

圖5 臨界阻尼狀態(tài)暫態(tài)過程

圖6 臨界阻尼狀態(tài)軌跡

根據(jù)電路圖2，取R2=0.4kΩ，方程(6)有兩個不相等的復(fù)數(shù)根，這時，RLC電路的過渡性質(zhì)為欠阻尼的振蕩過程。圖7顯示的是電容電壓在欠阻尼狀態(tài)下的暫態(tài)過程，圖8顯示的是電容電壓在欠阻尼狀態(tài)下與電流的關(guān)系。

圖7 欠阻尼狀態(tài)暫態(tài)過程

圖8 欠阻尼狀態(tài)軌跡

與傳統(tǒng)的實驗手段相比，Multisim仿真軟件不需要專用的機房，不受時間和地點的限制，方便學(xué)生的學(xué)習(xí)。同時，軟件的元件庫中元件類型豐富，學(xué)生可以方便地選擇所需要的元件，可以方便地構(gòu)建自己設(shè)計的電路圖，可以實時地觀測電路的響應(yīng)波形。這些都是傳統(tǒng)的實驗手段很難具備的。

3 結(jié)束語

通過前面的理論分析和軟件仿真，可以使學(xué)生建立理論公式與實際的電壓響應(yīng)波形之間的聯(lián)系，可以加深對RLC串聯(lián)二階電路的理性和感性認識。同時，通過對Multisim仿真軟件的使用，也可以讓學(xué)生自己動手，練習(xí)使用仿真軟件進行電路的仿真實驗，這樣可以增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有利于學(xué)生養(yǎng)成勤于思考、主動學(xué)習(xí)的習(xí)慣。

[參 考 文 獻]

[1] 李琳芳，劉艷昌，崔微微.基于Multisim與Matlab的二階系統(tǒng)響應(yīng)分析與仿真[J].河南科技學(xué)院學(xué)報,2015,43(4)：59-63.

[2] 李劍清.Multisim在電路實驗教學(xué)中的應(yīng)用[J].浙江工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2007,35(5)：543-546.

[3] 齊跡.RLC串聯(lián)二階電路響應(yīng)的分析與仿真[J].齊齊哈爾大學(xué)學(xué)報,2007,23(3)：33- 36.

[4] 李姿,李曼,王津.二階電路暫態(tài)過程與狀態(tài)軌跡的實驗研究[J].科協(xié)論壇(下半月)，2013(08)：37-38.

[5] 李如琦，陳軍靈.Multisim仿真軟件在電工電子實驗教學(xué)中的應(yīng)用[J].廣西大學(xué)學(xué)報，2005，27增刊，85-87.

[6] 邱關(guān)源. 電路·第5版[M]. 北京：高等教育出版社，2006.