楊帆， 劉兵， 吳元祥， 袁小會， 張紅衛(wèi)， 劉小寧

（武漢軟件工程職業(yè)學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，武漢430205）

0 引 言

金屬材料的斷后伸長率是指其試樣受外力（拉力）作用斷裂時，試樣伸長的長度與原來長度的百分比。斷后伸長率比較大，表明鋼材塑性好，成型加工方便，在生產(chǎn)中不容易出現(xiàn)裂紋；斷后伸長率太大，表明鋼材強(qiáng)度低，在相同外載時，鋼結(jié)構(gòu)顯得笨重；如果斷后伸長率太小，鋼結(jié)構(gòu)在加工中容易出現(xiàn)裂紋，不利于安全生產(chǎn)。因此，斷后伸長率是反映鋼材塑性的重要指標(biāo)之一，也是選擇鋼材型號的依據(jù)。

目前，工程上對鋼材或者鋼結(jié)構(gòu)抗拉強(qiáng)度與屈服強(qiáng)度的分布規(guī)律與分布參數(shù)進(jìn)行了一些探索[1-7]，但對鋼材斷后伸長率的研究并不充分，為給選擇鋼材型號提供塑性指標(biāo)的參考依據(jù)，文中應(yīng)用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識[8-9]，對鋼材斷后伸長率分布規(guī)律與分布參數(shù)的分析方法進(jìn)行了探索，以橋梁結(jié)構(gòu)鋼Q420NHY中厚板室溫同質(zhì)性拉伸試驗(yàn)數(shù)據(jù)[10-12]為基礎(chǔ)，研究了其斷后伸長率的分布規(guī)律與分布參數(shù)。

1 建立分析方法

1.1 同質(zhì)性試驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均值與精密度

基于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識可知，通過有限的有效試驗(yàn)數(shù)據(jù)，可分析鋼材斷后伸長率的分布規(guī)律與分布參數(shù)。為討論方便，假設(shè)鋼材斷后伸長率A是隨機(jī)變量。通過拉伸試驗(yàn)測得鋼材斷后伸長率A的n組同質(zhì)性試驗(yàn)數(shù)據(jù)Ai（i=1，2，…，n）時，其斷后伸長率的平均值與精密度分別為：

式中分別為斷后伸長率平均值與精密度，%。

1.2 分布規(guī)律的假設(shè)檢驗(yàn)

對鋼材斷后伸長率A分布規(guī)律進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的具體方法是：

1）假設(shè)鋼材斷后伸長率A是基本符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量。

2）把n組同質(zhì)性數(shù)據(jù)A1、A2、…、An分為M個區(qū)間，M=1+3.3lgn，取整數(shù)。

3）理論頻數(shù)。對于符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量A，其統(tǒng)計(jì)量Ai落在分組區(qū)間［a1，a2］，［a2，a3］，…，［aM，aM+1］內(nèi)的理論概率為：

其中：

n組同質(zhì)性數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量Ai位于分組區(qū)間［aj，aj+1］內(nèi)的理論頻數(shù)為n×pj。

4）計(jì)算每個分組區(qū)間實(shí)際頻數(shù)Nj與理論頻數(shù)n×pj差異的皮爾遜統(tǒng)計(jì)量之和：

5）確定皮爾遜統(tǒng)計(jì)量的臨界值對于M個區(qū)間，其自由度為f=M-1-2，若取顯著度為δ，則由自由度f與顯著度δ查得。

6）檢驗(yàn)。若則在顯著度為δ時，假設(shè)成立，否則假設(shè)不成立。

工程上一般取顯著度δ=0.05[13]，文中所用的χ2分布系數(shù)見表1。

表1 χ2系數(shù)

1.3 分布參數(shù)的取值區(qū)間

如果鋼材斷后伸長率A是基本符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其分布參數(shù)可用均值與標(biāo)準(zhǔn)差表示；均值與標(biāo)準(zhǔn)差的雙側(cè)置信度（1-α），是指均值與標(biāo)準(zhǔn)差屬于某一區(qū)間的概率，其中α是指均值與標(biāo)準(zhǔn)差位于該區(qū)間外的概率。文中在雙側(cè)置信度（1-α）時，分析均值與標(biāo)準(zhǔn)差的取值區(qū)間。在雙側(cè)置信度為（1-α）時，斷后伸長率均值μA的取值區(qū)間為：

其中

表3 斷后伸長率的皮爾遜統(tǒng)計(jì)量χ

表3 斷后伸長率的皮爾遜統(tǒng)計(jì)量χ

序號 [aj，aj+1]Nj pj n×pj（Nj-n·pj）2 n·pj χ2 σ備注12345[32.5，33.4][33.4，34.3][34.3，35.2][35.2，36.1][36.1，37.0]43453 0.1160 0.2161 0.2622 0.2065 0.0765 2.2040 4.1059 4.9818 3.9235 1.4535 1.4635 0.2979 0.1935 0.2954 1.6455 3.8957 n=19

式中，μAmin與μAmax分別為斷后伸長率均值μA在雙側(cè)置信度為（1-α）時的下限與上限，%。

文中取α=0.01，所用t分布系數(shù) t18,0.005取值 2.878。在雙側(cè)置信度為（1-α）時，斷后伸長率標(biāo)準(zhǔn)差σA的取值區(qū)間為

其中：

式中，σAmin與σAmax分別為斷后伸長率標(biāo)準(zhǔn)差在雙側(cè)置信度為（1-α）時的下限與上限，%。

工程上一般取α=0.01，文中所用χ2分布分布系數(shù)見表1。

2 同質(zhì)性試驗(yàn)數(shù)據(jù)及統(tǒng)計(jì)

Q420NHY是橋梁結(jié)構(gòu)鋼[14]，文獻(xiàn)［10］按標(biāo)準(zhǔn)[15]制作標(biāo)距為50 mm試樣，在UHF500KNI型液伺服萬能試驗(yàn)機(jī)上，獲得了Q420NHY室溫?cái)嗪笊扉L率的20組試驗(yàn)數(shù)據(jù)；在數(shù)據(jù)同質(zhì)性的雙側(cè)置信度為98%時，文獻(xiàn)［11］分析認(rèn)為其中19組試驗(yàn)數(shù)據(jù)具有同質(zhì)性，現(xiàn)將同質(zhì)性斷后伸長率試驗(yàn)值由小至大排列見表2，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)也列入表2。

表2 19組同質(zhì)性試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

3 斷后伸長率的分布規(guī)律與分布參數(shù)

3.1 分布規(guī)律

假設(shè)Q420NHY鋼室溫?cái)嗪笊扉L率基本符合正態(tài)分布。根據(jù)斷后伸長率的同質(zhì)性試驗(yàn)數(shù)據(jù)，將其分別分為5個區(qū)間，自由度f=5-1-2=2，取顯著度δ=0.05，由表1可知，皮爾遜統(tǒng)計(jì)量的臨界值χ22,0.05=5.991。

在Q420NHY鋼斷后伸長率的每個分組區(qū)間，實(shí)際頻數(shù)Nj與理論頻數(shù)n×pj差異的皮爾遜統(tǒng)計(jì)量之和見表3。

由表3可知：斷后伸長率的皮爾遜統(tǒng)計(jì)量之和χ2σ為3.8957，小于臨界值5.991，表明顯著度為0.05時，Q420NHY鋼室溫?cái)嗪笊扉L率是基本符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量。

3.2 分布參數(shù)

在雙側(cè)置信度為99%時，將表2的斷后伸長率有效統(tǒng)計(jì)值代入式（3）~式（8），得到Q420NHY鋼室溫?cái)嗪笊扉L率均值μA和標(biāo)準(zhǔn)差σA的取值區(qū)間：

4 結(jié)語

1）在試驗(yàn)數(shù)據(jù)同質(zhì)性的雙側(cè)置信度為98%時，基于拉伸試驗(yàn)數(shù)據(jù)，應(yīng)用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識，建立了研究Q420NHY鋼室溫?cái)嗪笊扉L率分布規(guī)律與分布參數(shù)的方法。

2）顯著度為0.05時，Q420NHY鋼室溫?cái)嗪笊扉L率是基本符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量。

3）雙側(cè)置信度為99%時，Q420NHY鋼室溫?cái)嗪笊扉L率的均值不小于33.79%且不大于35.61%，標(biāo)準(zhǔn)差不小于0.933%且不大于2.271%。

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