謝合亮，游 濤

(1.中央財經(jīng)大學 統(tǒng)計與數(shù)學學院，北京 100081；2.深圳證券交易所綜合研究所，深圳 518028)

一、引 言

期權(quán)定價模型一直是金融衍生品領(lǐng)域熱門的研究方向。最早的期權(quán)定價模型稱為Black-Scholes(B-S)模型，該模型第一次給出了完整的歐式期權(quán)的定價方法[1]。之后，Merton給出了計算期權(quán)合理價格的理論，Stoll比較了看漲和看跌期權(quán)的差異，這一系列研究成果對完善期權(quán)定價理論做出了重要貢獻[2-3]。從當時的研究成果可以看出，B-S模型的公式推導是在滿足大量的假設(shè)條件下進行的，而在實際應(yīng)用中這些條件往往并不存在。在假設(shè)的模型沒有確定的解析解的情況下，可以運用數(shù)值解近似逼近解析解，如二叉樹期權(quán)定價方法和蒙特卡洛模擬法[3]。這類期權(quán)定價模型都是由經(jīng)濟學家提出，而且需要一定的假設(shè)條件，根據(jù)一些市場信息(例如無風險利率、到期時間)來確定模型結(jié)構(gòu)。

與之不同的是，機器學習方法在確定期權(quán)定價方面建立的是一種算法模型，將經(jīng)濟變量作為輸入數(shù)據(jù)，而輸出為期權(quán)價格，輸入和輸出之間的復雜關(guān)系由算法本身對大量數(shù)據(jù)的學習得到，不需考慮模型本身的經(jīng)濟學原理。機器學習可以用于訓練回歸模型，比如核函數(shù)模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，這方面的研究文獻也不少。如Malliaris和Salchenberger提出了一種利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行期權(quán)定價的模型，并與B-S模型進行了比較，發(fā)現(xiàn)基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的期權(quán)定價預測值的誤差更小，而且不需要在嚴格的統(tǒng)計假設(shè)條件下進行[4]。Hutchinson提出了一種利用機器學習方法對金融衍生品進行資產(chǎn)定價的非參數(shù)方法，通過模擬B-S期權(quán)定價公式，并且對普通最小二乘法，徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)，多層感知器和投影追蹤四種方法進行了比較，研究結(jié)果表明，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)期權(quán)定價法更加準確和有效。Garcia和Timmermann研究發(fā)現(xiàn)，當采用與B-S公式相同的變量作為前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的輸入變量時，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的期權(quán)定價預測值比Black-Scholes模型具有更小的均方誤差[5]。但是，研究人員也發(fā)現(xiàn)，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來預測期權(quán)價格也有一個缺點，就是對所有期權(quán)都使用一個算法模型，這容易高估執(zhí)行期較遠的期權(quán)而低估已經(jīng)快到期的期權(quán)，這一問題與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)容易過擬合有很大的關(guān)系[6]。Gradojevic等研究了一種非參數(shù)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(MNN)模型來對標準普爾500指數(shù)的歐式看漲期權(quán)進行定價，實驗結(jié)果表明，與其他期權(quán)定價模型相比，MNN方法始終保持優(yōu)異的樣本外的定價能力，并得出結(jié)論，模塊化提高了標準前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)期權(quán)定價模型的泛化能力[7]。對于如何提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在樣本外期權(quán)定價的預測能力，Guidolin 、Hahn 與Tang也都進行了深入的研究[5，8，9]。

深度學習是從機器學習中的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Artificial Neural Network，ANN)發(fā)展出來的新方法，Bengio等和Hinton等人發(fā)現(xiàn)多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以先通過逐層預訓練，再用反向傳播算法進行精調(diào)的方式實行有效學習，至此神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)再次被人們所重視[10-11]。由于深度學習是近幾年才興起的機器學習方法，并且算法本身極為復雜。從已有國內(nèi)外文獻來看，深度學習在金融領(lǐng)域的應(yīng)用研究文獻還很少，并且主要集中在指數(shù)、期貨價格預測方面，通過對大量高頻交易數(shù)據(jù)進行分析，預測未來價格的漲跌。在期權(quán)定價方面，有少量的研究成果出現(xiàn)，如Heaton等研究了深度學習在金融領(lǐng)域的應(yīng)用，并認為在金融衍生品定價方面，深度學習可以具有很強的優(yōu)勢[12]。Yang等設(shè)計了一種帶有門限函數(shù)的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行歐式期權(quán)定價研究，并發(fā)現(xiàn)這種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對SP500指數(shù)期權(quán)的定價準確率要高于BS模型等傳統(tǒng)期權(quán)定價模型[13]。國內(nèi)利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行期權(quán)定價研究的論文還很少，運用深度學習進行期權(quán)定價的研究文獻還未出現(xiàn)[14]。

深度學習方法比傳統(tǒng)機器學習方法更加適應(yīng)高維、非線性的復雜數(shù)據(jù)，同時金融數(shù)據(jù)往往具有時間序列數(shù)據(jù)的特征，而遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Recurrent Neural Networks，RNN)是專門設(shè)計用于處理序列數(shù)據(jù)的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。從這一角度考慮，本文從傳統(tǒng)的B-S期權(quán)定價算法入手，根據(jù)期權(quán)定價的特征，將深度學習算法LSTM引入到傳統(tǒng)的期權(quán)定價理論，提出了一種全新的LSTM期權(quán)定價的方法，并利用國內(nèi)ETF50期權(quán)進行實證分析，驗證深度學習在金融衍生品定價方面的應(yīng)用。

二、LSTM深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與期權(quán)定價理論

(一)LSTM深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

深度學習由于包含多個隱藏層，是一種比傳統(tǒng)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)更加強大的算法。含多個隱藏層的多層感知器就是一種深度學習結(jié)構(gòu)。多層感知器包含兩個以上的隱藏層，層與層之間是全連接的，每層的節(jié)點之間是無連接的(如圖1)。從圖1還能看出，在多層全連接前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，上一層的每個節(jié)點都同下一層的每個節(jié)點相連接，每條連接線都代表一個不同的權(quán)重。

圖1 含有兩個隱藏層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

在深度學習領(lǐng)域，多層感知器雖然在很多方面都具有出色的表現(xiàn)，卻不能分析輸入信息之間的整體邏輯序列，然而這些序列數(shù)據(jù)往往含有大量的內(nèi)容，這種信息彼此之間有著復雜的時間關(guān)聯(lián)性，并且信息的長度也不同，這是傳統(tǒng)的多層感知器無法解決的問題，遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就是為了解決系列問題而產(chǎn)生的。而在遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，一個序列的輸出與前面的輸入有關(guān)，網(wǎng)絡(luò)會對前面的信息進行記憶并用于當前輸出的計算中，即隱藏層節(jié)點之間有聯(lián)系，這種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出了更好的預測能力。遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過使用帶自反饋的神經(jīng)元，能夠處理任意長度的序列，這更加符合生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)。傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不能共享每個網(wǎng)絡(luò)層參數(shù)，但在遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中，每層都共享參數(shù)，這就大大降低了整個網(wǎng)絡(luò)中需要學習的參數(shù)。圖2為一個展開的遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，其中xt為某一時刻的輸入，是一個n維向量，ht代表t時刻的隱藏狀態(tài)，ot代表t時刻的輸出，輸入層到隱藏層的權(quán)重為U，隱藏層到隱藏層的權(quán)重為W，隱藏層到輸出層的權(quán)重為V。

圖2 遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的工作原理包括兩個階段，第一個階段是前饋階段，在t=0時刻，首先將U、V、W進行隨機初始化，h0通常初始化為0，然后進行以下計算：

s1=Ux1+Wh0

h1=f(s1)

o1=g(Vh1)

(1)

根據(jù)時間的推進，此時的狀態(tài)h1作為時刻0的記憶狀態(tài)參與下一步的預測活動，有：

s2=Ux2+Wh1

h2=f(s2)

o2=g(Vh2)

(2)

同理：

st=Uxt+Wht-1

ht=f(Uxt+Wht-1)

ot=g(Vht)

(3)

其中f是激活函數(shù)，通常為tanh，relu，sigmoid函數(shù)，g通常是softmax函數(shù)，幾種函數(shù)的表達式見表1。

表1 遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)常用激活函數(shù)表

由于遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要做序列化預測，逐步預測出o0,o1…ot,ot+1…的值，對于每一時刻t，輸出結(jié)果ot會產(chǎn)生一定的損失Lt，損失的判斷可以采用交叉信息熵(Cross-entropy)或者均方誤差(Mse)等。整個序列的損失為L=∑tLt，目標就是要求?。?/p>

(4)

其中，損失L關(guān)于U的梯度為：

(5)

并且，ht是關(guān)于U和ht-1的函數(shù)，而ht-1又是關(guān)于U和ht-2的函數(shù)，利用鏈式法則得:

(6)

其中

(7)

所以

(8)

設(shè)γ=‖UTdiag(f′(hi-1))‖則括號中為γt-k。若γ>1，當t-k→,γt-k→，將造成系統(tǒng)不穩(wěn)定，存在所謂的梯度爆炸問題。如果γ<1，t-k→，γt-k→0，則存在梯度消失問題。簡單的遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論上可以建立長時間間隔的狀態(tài)之間的依賴關(guān)系，但由于存在梯度爆炸和梯度消失的問題，在實際訓練過程中只能學到短周期的依賴關(guān)系。

圖3 LSTM網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖

為了解決循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)梯度消失或梯度爆炸的問題，研究人員發(fā)現(xiàn)了一個更加巧妙的方法，即引入一個新的狀態(tài)ct，專門來進行線性的反饋傳遞，同時將ct的信息非線性。但是，由于ct和ct-1是線性關(guān)系，不斷積累的xt信息，會使ct越來越大，LSTM通過引入門機制來控制信息的積累速度，并可選擇遺忘之前累積的信息，是遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一個變體，可以有效地解決簡單遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的梯度爆炸和梯度消失問題。圖5為LSTM模型的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。LSTM模型引入了一組記憶單元，在t時刻，記憶單元ct記錄了到當期時刻為止的所有歷史信息，這些信息受三個門控制，這三個門分別叫做輸入門it,遺忘門ft和輸出門ot，三個門都是logistic函數(shù)，元素值在[0,1]范圍中。LSTM模型的基本結(jié)構(gòu)為：

it=σ(W(i)xt+U(i)ht-1)

ft=σ(W(f)xt+U(f)ht-1)

ot=σ(W(o)xt+U(o)ht-1)

ht=ot?tanh(ct)

(9)

其中，xt為當前的輸入，σ為logistic函數(shù)，遺忘門ft控制每個內(nèi)存單元加入多少新的信息，輸出門ot控制每一個內(nèi)存單元輸出多少信息，因此LSTM可以學習到長周期的歷史信息。

(二)期權(quán)定價理論

1973年black和scholes 建立的歐式看漲期權(quán)定價公式：V=SN(d1)-Ke-rTN(d2)。其中S為標的資產(chǎn)價格，K為期權(quán)到期執(zhí)行價格，T為期權(quán)的到期時間，t為時間變量，r為在T時刻到期的無風險利率。

black-scholes期權(quán)定價模型推導的假設(shè)條件為：

標的資產(chǎn)的價格St遵循幾何Brown運動

dSt=μStdt+σStdWt

(10)

即

(11)

其他假設(shè)條件還有：期權(quán)有效期內(nèi)沒有股利支付、無風險利率r是常數(shù)、不考慮交易費用和稅收成本且資產(chǎn)都高度可分、市場不存在無風險套利機會、投資者能夠以相同的r進行借貸、證券交易是連續(xù)的。

設(shè)V=V(S,t)是歐式期權(quán)價格，它在期權(quán)的到期日t=T時

構(gòu)造資產(chǎn)組合：

∏=V-ΔS

這里的Δ是標的資產(chǎn)的數(shù)量，選取適當?shù)摩な沟迷?t,t+dt)時間段內(nèi)，資產(chǎn)組合∏是無風險的。在時刻t+dt，投資組合的回報是：

得到：

dVt-ΔdSt=r∏rdt=r(Vt-ΔSt)dt

(12)

帶入式(12)得：

(13)

由于式(13)右端為是無風險的，則等式左邊隨機項dWt的系數(shù)為0，即選?。?/p>

帶入式(13)得到：

(14)

得到歐式期權(quán)價格變化的B-S偏微分方程。

從以上模型的介紹可以看出，B-S模型需要在布朗運動的假設(shè)條件下進行隨機過程分解，從而構(gòu)造出一個復雜精細的數(shù)學公式，變量之間有著確定的關(guān)系。而LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)只關(guān)注神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型自身內(nèi)部結(jié)構(gòu)的合理性，而對變量之間的結(jié)構(gòu)完全沒有任何要求，也是就是說在相同的變量條件下，LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造出的期權(quán)定價模型與B-S推導出的偏微分方程式(14)可能并無任何結(jié)構(gòu)上的相似。因此，在金融資產(chǎn)價格預測方面，利用算法模型與傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)模型進行對比，從而分析兩種模型的優(yōu)劣將有重大理論和實踐意義。

三、實證分析

實驗數(shù)據(jù)為2016—2017年之間已經(jīng)退市的部分執(zhí)行期在3個月以上的期權(quán)，包括看漲期權(quán)和看跌期權(quán)，部分實驗期權(quán)數(shù)據(jù)見表2。根據(jù)B-S期權(quán)定價模型和其他文獻的研究成果[22]，對看漲和看跌期權(quán)定價需要考慮以下因素：

S：標的資產(chǎn)價格

K：期權(quán)到期執(zhí)行價格

r：無風險利率

T：期權(quán)到期時間

Sigma：歷史波動率

表2 實驗樣本數(shù)據(jù)集表

注：數(shù)據(jù)來源于wind資訊。

(一)看漲期權(quán)定價預測

為了對模型預測效果進行對比，實驗將對看漲期權(quán)和看跌期權(quán)分開進行。其中，看漲期權(quán)數(shù)據(jù)共4 281行，看跌期權(quán)數(shù)據(jù)4 373行，將每種期權(quán)的前4 000行數(shù)據(jù)作為訓練集，剩余數(shù)據(jù)作為測試集。本次實驗共得到看漲期權(quán)價格預測值280個，看跌期權(quán)價格預測值372個。根據(jù)50ETF期權(quán)的特點，模型的輸入為：50ETF開盤價(S)、為期權(quán)到期執(zhí)行價格(K)、6個月國債收益率(r)、期權(quán)到期時間/365(T)、90天歷史波動率(sigma)。模型的輸出為：期權(quán)預測值(P)。在tensorflow深度學習環(huán)境下，構(gòu)建雙層LSTM網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，損失函數(shù)判斷標準采用均方誤差(mean squared error,MSE)，參數(shù)學習算法采用隨機梯度下降(Stochastic Gradient Descent,SGD)，每個mini-batch設(shè)為30。在Epoch=10的情況下，實驗結(jié)果見圖4與圖5。

圖4 訓練集loss 變化情況圖(Epoch=10)

圖5 預測值與真實值對比圖(Epoch=10)

從圖4可以看出，當Epoch=10時，損失函數(shù)開始逐步趨向平穩(wěn)，但仍然有下降的趨勢。從圖5來看，預測值與真實值差距很大，表明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在Epoch=10的情況下還沒有學習到數(shù)據(jù)的特征，說明模型的泛化能力很差。在繼續(xù)增加迭代的次數(shù)的情況下，當Epoch=50時，實驗結(jié)果見圖6、圖7。

圖6 訓練集loss 變化情況圖(Epoch=50)

圖7 預測值與真實值對比圖(Epoch=50)

從圖6可以看出，當Epoch=10時，損失函數(shù)開始有收斂的趨勢，但之后損失又快速下降，在Epoch=40時損失函數(shù)逐漸出現(xiàn)收斂趨勢。從圖7來看，預測值已經(jīng)能較好的擬合真實值，說明LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在迭代次數(shù)增加的情況可以很好的學習到數(shù)據(jù)中包含的信息，模型泛化能力逐漸提高。為了讓實驗結(jié)果更加可靠，繼續(xù)增加迭代次數(shù)，當Epoch=100時，實驗結(jié)果見圖8、圖9。

圖8 訓練集loss 變化情況圖(Epoch=100)

圖9 預測值與真實值對比圖(Epoch=100)

從圖8可以看出，當Epoch=100時，損失函數(shù)不再下降，說明模型已經(jīng)收斂。從圖9來看，利用收斂后的模型產(chǎn)生的預測值能很好的擬合真實值，說明LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對期權(quán)價格有較好的預測能力。

(二)看跌期權(quán)定價預測

為了繼續(xù)考察LSTM網(wǎng)絡(luò)的預測能力，繼續(xù)進行跌期權(quán)定價預測試驗，利用與看漲期權(quán)定價預測同樣的LSTM網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，在Epoch=10的情況下，預測結(jié)果見圖10、圖11。

從圖10可以看出，當Epoch=10時，損失函數(shù)在下降并開始平穩(wěn)。從圖11的模型預測結(jié)果來看，預測效果不佳，說明LSTM網(wǎng)絡(luò)還需要繼續(xù)學習。在Epoch=50時，實驗結(jié)果見圖12、圖13。

圖10 訓練集loss 變化情況圖(Epoch=10)

圖11 預測值與真實值對比圖(Epoch=10)

圖12 訓練集loss 變化情況圖(Epoch=50)

圖13 預測值與真實值對比圖(Epoch=50)

從圖12可以看出，當Epoch=50時，損失函數(shù)依然沒有完全收斂。從圖13來看，相對于圖11，在迭代次數(shù)增加到50時，LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的泛化能力已經(jīng)有了很大程度的提高。繼續(xù)增加迭代次數(shù)，當Epoch=100時，實驗結(jié)果見圖14、圖15。

圖14 訓練集loss 變化情況圖(Epoch=100)

圖15 預測值與真實值對比圖(Epoch=100)

從圖14的實驗結(jié)果可以看出，當Epoch=100時，損失函數(shù)已經(jīng)收斂，同時從圖15可以看出，預測值能一定程度的擬合真實值，但預測效果不如看漲期權(quán)，這也符合看跌期權(quán)定價模型準確率低于看漲期權(quán)定價模型的一般規(guī)律。

(三)模型預測對比

為了更直觀地比較LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預測效果，將LSTM網(wǎng)絡(luò)的預測結(jié)果與傳統(tǒng)的B-S 蒙特卡洛方法進行對比。B-S Monte Carlo可以這樣理解：在風險中性的條件下，考慮與市場變量S有關(guān)的期權(quán)，利率設(shè)為常數(shù)，期權(quán)到期時間為T，則期權(quán)定價過程可以由以下過程進行：

第一步，在風險中性條件下對變量S的變化路徑進行抽樣；

第二步，計算期權(quán)收益；

第三步，多次重復第一和第二步獲得多個期權(quán)收益分布；

第四步，求第三步的獲得的多個期權(quán)的期望值，并以無風險利率進行貼現(xiàn)，貼現(xiàn)后的現(xiàn)值則為期權(quán)定價的值。

利用B-S Monte Carlo期權(quán)定價算法，對每個預測的期權(quán)價格進行250 000次蒙特卡洛模擬，并將其結(jié)果與LSTM預測結(jié)果進行對比，看漲期權(quán)預測結(jié)果見圖16。

圖16 看漲期權(quán)LSTM與B-S預測對比圖

從圖16可以看出，LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對看漲期權(quán)的預測效果要明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的B-S Monte Carlo算法。同樣條件下兩種方法對看跌期權(quán)的預測見圖17。

圖17 看跌期權(quán)LSTM預測情況圖

表3 看漲期權(quán)B-S Monte Carlo 、LSTM模型比較表

從表3可以看出，對于看漲50EFT期權(quán)，在250 000次蒙特卡洛模擬條件下，傳統(tǒng)B-S模型均方誤差(MSE)為0.001 638，而在100次迭代條件下的LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的MSE值為0.000 215。從表3還可以看出，其他指標如RMSE、MAE、MAPE在深度學習算法下也比傳統(tǒng)B-S Monte Carlo方法表現(xiàn)更加優(yōu)越。另外，在同樣條件下，看跌期權(quán)定價預測結(jié)果見表4。

表4 看跌期權(quán)B-S、LSTM模型比較表

和表4可以看出，對于ETF50看跌期權(quán)，LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的MSE、RMSE、MAE、MAPE值均優(yōu)于B-S Monte Carlo方法。

四、結(jié) 論

目前，人工智能在金融領(lǐng)域的應(yīng)用已經(jīng)成為研究的熱點，機器學習方法下的金融衍生品定價問題尤其值得關(guān)注。然而，已有的研究主要集中在利用傳統(tǒng)的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行期權(quán)定價研究，而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由于計算黑箱和泛化能力差的問題，使得算法模型在期權(quán)定價研究中并沒有得到廣泛的應(yīng)用。而深度學習算法具有很好的模型泛化能力，且根據(jù)最近的研究文獻也能發(fā)現(xiàn)，深度學習在金融資產(chǎn)價格預測方面的準確性已經(jīng)超越了傳統(tǒng)的金融計量模型。基于此，本文研究了循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在期權(quán)定價中的應(yīng)用，并通過同傳統(tǒng)的B-S蒙特卡洛算法進行對比，得出了以下結(jié)論：

第一，模型的預測精度與深度學習訓練次數(shù)有關(guān)。從LSTM網(wǎng)絡(luò)本身來看，隨著模型訓練的次數(shù)的增加，損失函數(shù)逐漸下降并趨于收斂，預測準確度開始上升。從實驗結(jié)果也能發(fā)現(xiàn)，無論對看漲期權(quán)還是看跌期權(quán)來說，經(jīng)過100次訓練的模型的預測效果已經(jīng)遠遠高于經(jīng)過10次訓練的模型。

第二，基于深度學習算法的期權(quán)定價方法實驗結(jié)果要優(yōu)于傳統(tǒng)B-S Monte Carlo期權(quán)定價法。首先，從LSTM與B-S Monte Carlo預測結(jié)果的對比來看，250 000次蒙特卡洛模擬的B-S 模型得到的MSE值為 0.001 638，而在100次迭代的條件下的LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預測的看漲期權(quán)的MSE為0.000 251。其次，看跌期權(quán)LSTM預測值 MSE為0.000 617，也小于B-S Monte Carlo方法0.015 105的值。其他誤差評價標準仍然是LSTM算法結(jié)果優(yōu)于B-S Monte Carlo方法。

第三，深度學習在金融領(lǐng)域的應(yīng)用還需要進行更深入的研究。雖然從實驗結(jié)果可以看出，在金融資產(chǎn)價格預測方面，深度學習算法可以比傳統(tǒng)統(tǒng)計模型更加準確。然而，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)面臨的“黑箱”問題依然無法避免，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建的金融資產(chǎn)價格預測模型，既無法從數(shù)學上進行嚴格的推理證明，也不能通過傳統(tǒng)的金融理論進行解釋，這使得機器學習方法在金融資產(chǎn)價格預測方面的能力備受質(zhì)疑。

第四，傳統(tǒng)的期權(quán)定價模型依然存在改進的空間。從本文的研究可以看出，在采用相同的變量參數(shù)的條件下，深度學習的預測準確率已經(jīng)超越傳統(tǒng)期權(quán)定價模型，而且深度學習并不關(guān)注輸入變量之間的具體意義，這使得該方法可以不斷嘗試通過輸入不同的變量組合來提高期權(quán)定價的預測精度。而且從傳統(tǒng)期權(quán)定價理論來看，在同樣變量條件下，要構(gòu)建一個新的期權(quán)定價微分方程將是一個及其復雜的過程。

第五，人工智能在金融領(lǐng)域?qū)⒂芯薮蟮膽?yīng)用價值。由于金融數(shù)據(jù)具有高維、復雜等特征，這使得金融資產(chǎn)價格的預測難度極大，然而基于深度學習方法的算法模型，無需構(gòu)建復雜的數(shù)學模型，也無需建立在嚴格統(tǒng)計假設(shè)條件下，并且預測效果更加準確。雖然從理論上很難證明機器學習方法的優(yōu)越性，但是隨著大數(shù)據(jù)的時代的到來，人工智能特別是深度學習在金融領(lǐng)域的應(yīng)用價值已經(jīng)越來越被當今社會認可。如何將最前沿的人工智能方法應(yīng)用在金融投資領(lǐng)域，將是未來值得重點研究的問題。

參考文獻：

[1] Black F，Scholes M.The Pricing of Optionsand Corporate Liabilities[J].Journal of Political Economy .1973,81(3).

[2] Merton R C.Theory of Rational Option Pricing[J].Bell Journal of Economics，1973，4(1).

[3] Stoll H R.The Relationship Between Put and Call Option Prices[J].The Journal of Finance，1973，24(1).

[4] Malliaris M，Salchenberger L.A Neural Network Model for Estimating Option Prices[J].Applied Intelligence，1993，3(3).

[5] Guidolin M，Timmermann A.Option Prices under Bayesian Learning：Implied Volatility Dynamics and Predictive Densities[J].Journal of Economic Dynamics & Control，2001，27(5).

[6] Dugas C,Bengio Y，Belisle F，Nadeau C，Garcia R.Incorporating Second-order Functional Knowledgefor Better Option Pricing[C].In Neural Information Processing Systems(NIPS),2000.

[7] Gradojevic N，Gen?ay R，Kukolj D.Option Pricing With Modular Neural Networks[J].IEEE Transactions on Neural Networks，2009，20(4).

[8] Hahn T.Option Pricing Using Artificial Neural Networks ：An Australian Perspective[J].Bond University Computational Finance Research Group，2013,12(1).

[9] Tang S.American-style Option Pricing and Improvement of Regression-based Monte Carlo Methods by Machine Learning Techniques[J].2015,23(2).

[10] Bengio Y，Lamblin P，Popovici D，et al.Greedy Layer-wise Training of Deep Networks[J].Advances in Neural Information Processing Systems，2007,23(4).

[11] Hinton G，Deng L，Yu D，et al.Deep Neural Networks for Acoustic Modeling in Speech Recognition：The Shared Views of Four Research Groups[J].IEEE Signal Processing Magazine，2012，29(6).

[12] Heaton J B，Polson N G，Witte J H.Deep Learning for Finance：Deep Portfolios[J].Applied Stochastic Models in Business & Industry，2017，33(1).

[13] Yang Y，Zheng Y，Hospedales T M.Gated Neural Networks for Option Pricing：Rationality by Design[J].Papers，2016.

[14] 譚朵朵.基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的S&P 500指數(shù)期權(quán)定價[J].統(tǒng)計信息論壇，2008,23(11).