劉俊同，劉 越

（1. 阜陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 阜陽 236041；2. 阜南縣 第五小學(xué)，安徽 阜南 236000）

奇異值不等式和奇異值分解是矩陣?yán)碚摰囊粋€(gè)重要研究領(lǐng)域，在科學(xué)計(jì)算、優(yōu)化問題、最佳逼近等實(shí)際應(yīng)用中有著重要應(yīng)用。關(guān)于矩陣酉不變范數(shù)不等式和奇異值不等式問題是矩陣不等式的研究熱點(diǎn)之一，近年來受到國內(nèi)外專家學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-10]。Zou證明了如下奇異值不等式[5]

對n階半正定矩陣A和B成立。

本文嘗試對奇異值不等式(1)進(jìn)行推廣，我們將證明如下奇異值不等式

對n階半正定矩陣A和B成立。

1 預(yù)備知識

為了敘述方便，對符號作如下約定：Mn表示復(fù)數(shù)域上n× n矩陣的集合，A*表示A的共軛轉(zhuǎn)置矩陣，A的奇異值記為

對于兩個(gè)正定矩陣

通過矩陣函數(shù)的連續(xù)性，兩個(gè)矩陣A與B的幾何平均可以推廣到對任意兩個(gè)半正定矩陣。

為了證明奇異值不等式(2)，需要如下幾個(gè)引理。其中引理1和引理2是矩陣分析的兩個(gè)經(jīng)典結(jié)果，而引理 3描述的是復(fù)合矩陣的兩個(gè)重要性質(zhì)。

引理 1[11,p94]設(shè) ,n A B∈M，且矩陣A和B是半正定的，對任意的

引理 2[11,eoremIX2.1]設(shè)A,B∈M，且矩陣An和B是半正定的，對任意的

引理3[12,p123]設(shè)A,B∈M，則有

n

2 定理及證明

定理1設(shè)A,B∈Mn，且矩陣A和B是半正定的，則有

證明首先假定矩陣A和B是正定的，一般情形可以通過連續(xù)性論證證明。從文獻(xiàn)可知

設(shè)Ck(X)是矩陣X∈Mn的第k個(gè)復(fù)合矩陣，

于是，有

當(dāng)m=2時(shí)，得到不等式(1)，即推論1。

推論1設(shè)A,B∈Mn，且矩陣A和B是半正定的，則有

由于弱Log-majorization蘊(yùn)含弱majorization，

通過推論1，有推論2。

推論2設(shè) A, B ∈Mn，且矩陣A和B是半正定矩陣，則有

特別的，當(dāng)m=2時(shí)，有推論3。

推論3設(shè) A, B ∈Mn，且矩陣A和B是半正定矩陣，則有

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