張海青，楊滄宇

（1. 唐山市第十二中學 數(shù)學教研室，河北 唐山 063000；2. 唐山市第三十五中學 數(shù)學教研室，河北 唐山 063000）

在日常教學中，學生作業(yè)出錯是不可避免的，而在考試中更是如此。在評卷過程中，收集、整理錯例，可以了解學生的真實思維，不斷積累的錯例，形成豐富的教學資源，啟發(fā)教師不斷探索更加高效教學方式。筆者參與了 2017年唐山市中考閱卷工作，在此就其中一道綜合解答題論述錯例對于教學的指導意義。

1 試題呈現(xiàn)

1.1 試題

（2017，河北中考，第25題）平面內，如圖 1，在□ABCD 中，AB＝10，AD＝15，tanA=3/4。點P為AD邊上任意一點，連接PB，將PB繞點P逆時針旋轉90°得到線段PQ。

圖1 2017年河北中考第25題圖

（1）當∠DPQ＝10°時，求∠APB的大??；

（2）當 tan∠ABP：tanA＝3：2 時，求點Q與點B間的距離（結果保留根號）；

（3）若點Q恰好落在□ABCD的邊所在的直線上，直接寫出PB旋轉到PQ所掃過的面積（結果保留π）。

1.2 試題參考答案

（1）當點Q與B在PD異側時，

由∠DPQ＝10°，∠BPQ＝90°，得

∠BPD＝80°

∴∠APB＝180°－∠BPD＝100°。

當點Q與B在PD同側時，

∠APB＝180°－∠BPQ－∠DPQ＝80°

∴∠APB是 80°或 100°．

圖2 第1問參考答案用圖

（2）解法1

如圖 3，過點P作PH⊥AB于點H，連接BQ。

∴AH：HB＝3：2

圖3 第2問參考答案用圖

而AB＝10，∴AH＝6，HB＝4．

在RtΔPHA中，PH＝AH·tanA＝8．

如圖 3，過點P作PH⊥AB于點H，連接PQ。

2 典型錯解和原因分析

2.1 第一問錯解及分析

∵∠DPQ＝10°，∠BPQ＝90°

∴∠BPD＝80°

∴∠APB＝180°－∠BPD＝100°．

已知條件中對點P的敘述看似為靜態(tài)描述，實際上點P是線段AD上的一個動點．考生若在審題時深刻理解“點P為AD邊上任意一點”這句話，就能夠抓住點P的動點本質，明確分析這是一個動態(tài)數(shù)學問題，知道要仔細考察數(shù)學情境中變化的整個過程，進而就會想到利用分類討論對不同情況進行分析。反之，學生若沒有深刻認識到點P的任意性，則會直接利用題目呈現(xiàn)的圖，片面分析問題，得到如上錯解。

2.2 第二問錯解及分析

圖4 第2問錯解情況1用圖

如圖 4，過點 P作 PH⊥AB于點 H，連接BQ。

已知中 tan∠ABP：tanA＝3：2，由于比值固定，動態(tài)情境轉化為靜態(tài)問題，初中數(shù)學中，只在直角三角形中應用銳角三角函數(shù)知識解決問題，因此，容易想到構造直角三角形。利用三角函數(shù)的概念，將比例式化簡，可以求得 AH：HB的比值為 3：2，然而錯解 1中由于學生沒有動手畫出合理的圖形，而是直接在圖1中作輔助線，而該圖中，線段AH看起來要比線段BH短一些，同時也沒有認真計算比例式，于是將結果想當然地寫成了“AH：HB＝2：3”。

第二問的另一種錯解如圖5，過點A作AE⊥PB于點E，連接QE，QB．

圖5 第2問錯解情況2用圖

錯解2過程中學生在缺少條件的情況下判定四邊形APQE為平行四邊形，體現(xiàn)出對平行四邊形判定定理掌握得不牢靠。知識是能力的基礎，沒有知識的支撐，能力就是空中樓閣。數(shù)學的基礎知識包括概念、定理、公式等。錯例2呈現(xiàn)的過程可以顯示，學生從“未知”轉向“已知”的猜想是有的，也是合理的。但由于沒有掌握好平行四邊形的判定方法，“無解”思路被認為是正確思路，導致失分。

3 錯例分析對教學的啟示

3.1 教師應了解學生真實的思維過程

有一定教學經(jīng)驗的教師，在為學生設計作業(yè)，或進行考試命題時，對學生可能出現(xiàn)的錯誤提前做出預想。然而，學生實際作業(yè)或考試出錯的原因超出預設的情況也有不少，筆者在評卷前夕并沒有預想到上述解答題的第二問的典型錯解。因此，教師切忌想當然，而是要真正摸清學生的錯解思路，這樣有助于學生全面客觀地了解學情，以便教師能及時調整課堂教學內容和能力培養(yǎng)策略。

3.2 教師要找準學生的薄弱知識點

如從本題第（2）問的錯解 1中，發(fā)現(xiàn)學生對三角函數(shù)的認識還不夠透徹。因此要反思關于銳角三角函數(shù)，還可以讓學生探索點什么？

關于銳角三角函數(shù)，教師在教學中常常強化的內容是各銳角三角函數(shù)的概念和函數(shù)值的求法，掌握特殊角的三角函數(shù)值并會利用這些函數(shù)值求對應銳角，這本無可非議，無論課程標準還是考試說明，這些內容都是明確列為重點必會的內容。但是銳角三角函數(shù)作為比較特殊的一類函數(shù)，它的函數(shù)本質是否也應由教師來幫助學生探究一下呢？從函數(shù)定義的角度出發(fā)來看三角函數(shù)，對于每一個確定的角度，都有唯一確定的函數(shù)值與其對應。因此，學生就不難理解三角函數(shù)值不隨角所處圖形的形狀大小變化而變化，而是由角度決定其大小。

初中階段，我們只研究函數(shù)的一種特性——增減性。那么教師是否可以進一步引導學生了解銳角三角函數(shù)的增減性呢？探索過程并不復雜，教師只需在講授使用計算器求已知銳角的三角函數(shù)值時，多列幾組數(shù)據(jù)，觀察即可猜想結論，再借助“幾何畫板”軟件進行驗證即可。

銳角三角函數(shù)的增減性，雖不是課標和考試說明所要求的內容，但對銳角三角函數(shù)的探索是很有意義的，探索的過程可以加深學生對函數(shù)概念的理解，增減性的結論也有助于學生畫出符合題意的輔助圖形來準確分析問題。如本題，當看到條件“tan∠ABP：tanA＝3：2”，可以知道，∠ABP應比∠A度數(shù)更大，學生應該意識到第一個圖形不符合題意，而是利用備用圖（圖2）作輔助線分析問題，這樣可以避免出錯。

3.3 教師要加強學生審題能力的培養(yǎng)

學生在考卷中出現(xiàn)的錯誤，除了反映知識上存在的漏洞，也是學生審題能力較差的體現(xiàn)。例如本題的第（1）問的錯解，若想避免諸如此類問題發(fā)生，應重視做題的最基本環(huán)節(jié)——審題。審題是解題的前提和基礎，認真審題，能幫助學生深刻理解題意，理清條件與問題，明確條件與問題的各種聯(lián)系，使要解決的問題在頭腦中有一個比較清晰的印象，為解題作良好的鋪墊。這就要求教師在日常教學中，向學生出示問題后，給足教學等待，給學生足夠的時間審題和思考，重視對學生審題習慣與能力的培養(yǎng)，而非片面注重解題能力方面的培養(yǎng)。

3.3.1 “讀準”是審題的基礎

不同年齡段的學生，有不同的心理特點。教師在審題教學中，要根據(jù)所教年齡段學生的心理特點，向他們明確規(guī)定讀題的方法，注意培養(yǎng)學生良好的讀題習慣。例如，在做題前，默讀已知，完整讀題，不多字，不漏字，否則可能會導致理解成完全相反的意思，從而得到錯解。有些復雜的概念或反映數(shù)量關系的重點詞語，可以用符號批注表示出來，重點理解。

3.3.2 “讀懂”是審題的關鍵

初中學生在審題中，由于受到知識面狹窄的限制，難免會遇到某些不易理解的詞句，教師應提醒學生反復讀，反復理解，必要時教師應進行提點，從而掃清理解題意過程中的障礙。日積月累，難懂的詞句逐漸減少，考試中學生能準確把握題意，則可保證審題過程的有效性。

3.3.3 “讀透”是審題的保證

想要做到對題目意思的正確了解，需要我們對題目本身進行正確全面的觀察要“讀透”題目。在實際情況下，觀察力與思維是密切聯(lián)系在一起的。在我們觀察事物的過程中，思維活動也一直存在。像本題一樣，初中數(shù)學題目大多以圖片文字結合的形式呈現(xiàn)，所以，在初中數(shù)學教學中，想要提高學生的審題能力，教師還需要引導學生進行觀察，提高他們的觀察能力和審題能力[1]。

3.3.4 “讀活”是審題的靈魂

在解決動點問題時，常常是要伴隨圖形來分析問題，因此對此類題目已知條件一定要在審題中“讀活”，再結合畫圖，全面分析。例如，教學中在探究“同弧所對的圓周角等于圓心角的一半”時，要求學生要在同一個圓中畫出一個圓心角和其同弧所對的任意一個圓周角，學生畫完以后，可以分小組組內展示自己所畫的圖，在展示過程中，學生會發(fā)現(xiàn)學生所畫的全部圖形可以歸為三類，如圖6所示。

圖6 同弧所對的圓周角等于圓心角的一半示意圖

教師應提示學生，出現(xiàn)三種情況的根本原因就是圓周角的任意性，諸如此類“任意點”問題（即動點問題）要在審題過程中動筆畫圖，為后續(xù)嚴密的分析打好基礎。整個過程應以學生為主體，要給學生留足夠的時間去思考、展示、討論，其間教師適時引導點撥，讓學生深刻體會遇動點問題審題要靈活把握，并將之與畫圖結合。

3.4 教師要提升對學生畫圖能力的培養(yǎng)

本題第（2）問的錯解1，體現(xiàn)學生在分析問題過程中，畫圖意識薄弱，畫圖能力低下。在利用數(shù)形結合思想分析問題和解決幾何探究問題時，畫圖可能會成為分析問題的關鍵。教師針對此問題可以在日常教學中有針對性地思考解決措施，有意識、有目的、有計劃地培養(yǎng)學生的畫圖能力。

3.4.1 形成畫圖意識

有些題目的文字敘述中并未提到圖，需要在理解的基礎上根據(jù)需要畫圖，如在給出圖形的幾何題中作輔助線，或是沒有給出圖形的幾何題，或是需要畫出若干個不同狀態(tài)圖形的動點問題，都屬于此類情況。教師應在課堂中鼓勵學生動筆畫圖，也要給學生足夠的畫圖時間。在課堂教學中，學生在解題中的每一個環(huán)節(jié)——思考、分析、計算等，都應有充足時間的保證，通過讓學生動手實踐來體驗知識生成，獲得數(shù)學的思想方法。

3.4.2 根據(jù)所學知識正確畫圖

學生應熟知每種圖形的名稱，實現(xiàn)從文字到圖形的正確轉換。這就要求教師重視概念教學，和學生對概念的掌握，幫助學生對說法相近的概念進行辨析，如中線和中位線、內心和外心等。利用圖形理解概念，直觀形象，印象深刻，是一種有效的方法[2]。設計一些相關的練習，減少學生畫不出圖和畫錯圖的情況。

3.4.3 培養(yǎng)圖感

教師在課堂教學實踐中發(fā)現(xiàn)，很少有學生把示意圖畫得相對準確，主要原因是學生對角度、線段、距離大小的感知不準確。不準確的圖又對解題思維形成干擾，影響速度，甚至導致錯誤。培養(yǎng)圖感，可以從簡單圖形的位置、數(shù)量關系著手，訓練學生目測圖形的能力和畫出一定條件的圖形的能力，兩相結合，提高圖感[3]。

3.4.4 多圖分析，全面解題

沒有給出圖形的題目，往往存在多種情況，學生需要畫出多種符合題意的圖形全面分析問題。這就要求教師引導學生準確把握題目敘述中不確定的因素，不確定因素分類討論，從而畫出每種情況具有代表性的一般圖形，逐個分析。幾何動點問題屬于此類問題的典型，教學中可以專題研究此類問題。

3.5 提醒教師切忌盲目“刷題”，違背學生心理發(fā)展規(guī)律

學生出現(xiàn)的錯例，常常是沒有扎實掌握基礎知識所致，如本題的第（2）問的錯解2，若學生熟知平行四邊形判定方法，當條件不足時，則會果斷放棄本錯解思路，選擇其他途徑解題。所以，在平時的教學中，教師應強化基礎知識重要性，不要讓學生基礎尚且薄弱，就盲目鉆入題海，舍本逐末。數(shù)學知識不要求學生死記硬背，但也應要求學生在理解的基礎上進行合理記憶，利用所掌握的基礎知識，強化練習，加深對知識的理解。同時還應認識到，雄厚的知識功底是能力提高的前提，沒有知識基礎，提高能力如若空中樓閣。

4 結語

以學生發(fā)展為本，讀懂學生是前提，錯例分析就是研究學生的起點。網(wǎng)評試卷方式為教師收集錯例帶來便利，錯例分析得以更加方便地進行，只要教師能夠細心觀察、思考和積累，錯例所蘊藏的豐富資源就會得以挖掘，其所具備的教學價值不可估量。

[1] 曹文翰.對學生的初中數(shù)學審題能力培養(yǎng)方案的探討[J].新課程(中學),2017,(5)：211.

[2] 苗志蘭.運用心理規(guī)律,優(yōu)化課堂教學[J].唐山師專學報,2000,22(2)：48-49.

[3] 張良軍.初中數(shù)學畫圖解題能力的培養(yǎng)初探[J].教育教學論壇,2010,(17)：108-109,65.