王向磊

(北京衛(wèi)星導(dǎo)航中心,北京 100094)

0 引 言

時(shí)間是衛(wèi)星導(dǎo)航定位的基礎(chǔ),對(duì)位置的精確測(cè)量實(shí)際上是對(duì)時(shí)間的精確測(cè)量。衛(wèi)星在空間軌道飛行時(shí),衛(wèi)星鐘與地面時(shí)間基準(zhǔn)的比對(duì)不可能是連續(xù)進(jìn)行的,也就是說(shuō),在地面監(jiān)測(cè)站觀測(cè)不到的弧段內(nèi),衛(wèi)星鐘與系統(tǒng)時(shí)間之間的同步只能靠衛(wèi)星鐘自己來(lái)維持。這就需要根據(jù)衛(wèi)星鐘的運(yùn)行性能,建立準(zhǔn)確的衛(wèi)星鐘預(yù)報(bào)模型。

導(dǎo)航衛(wèi)星在軌原子鐘的預(yù)報(bào)精度決定了星歷更新頻度,決定了地面運(yùn)控系統(tǒng)的復(fù)雜性和工作量,其預(yù)報(bào)精度不僅與頻標(biāo)特性有關(guān),還會(huì)受到預(yù)報(bào)算法復(fù)雜性的限制。

文獻(xiàn)[1]和[2]中,作者對(duì)一、二階多項(xiàng)式模型的鐘差預(yù)報(bào)精度進(jìn)行了分析和比較;文獻(xiàn)[3]和[4]對(duì)一、二階多項(xiàng)式模型和灰色系統(tǒng)模型的鐘差預(yù)報(bào)精度進(jìn)行了分析和比較;本文針對(duì)GPSBLOCK IIR-M衛(wèi)星的衛(wèi)星鐘,利用IGS提供的精密鐘差數(shù)據(jù),對(duì)文獻(xiàn)[1]和[5]及[6]中的多項(xiàng)式模型、切比雪夫多項(xiàng)式模型以及灰色系統(tǒng)模型的鐘差預(yù)報(bào)精度進(jìn)行綜合分析和比較,最后得出了一些初步結(jié)論。

1 多項(xiàng)式模型

衛(wèi)星鐘讀數(shù)T與系統(tǒng)時(shí)間t之間的關(guān)系可以用一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)表示[1],有

T-t=a0+a1(t-t0)+a2(t-t0)2+

…+am(t-t0)m,

(1)

式中:a0、a1,…,am是鐘差模型的擬合系數(shù);m為多項(xiàng)式階次,本文中,m=1,2,3.

設(shè)相對(duì)于時(shí)間ti的鐘差為xi,觀測(cè)誤差為vi,可以建立誤差方程：

xi+vi=a0+a1(ti-t0)+a2(ti-t0)2+

…+am(ti-t0)m,

(2)

(3)

(4)

其中：n為鐘差數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)； Δti=ti-t0.預(yù)報(bào)殘差均方根可按下式計(jì)算

(5)

2 切比雪夫多項(xiàng)式模型

設(shè)x(t)為采樣間隔為τ0的鐘差序列:{x(t0),x(t1),…,x(tN-1)},且ti=iτ0.經(jīng)典的最小二乘二次擬合函數(shù)可表示為

x(t)=C0+C1t+C2t2+e(t),

(6)

式中:{C0,C1,C2}為擬合參數(shù);e(t)為x(t)的隨機(jī)變化分量。

為了簡(jiǎn)化參數(shù)估計(jì),引入了切比雪夫多項(xiàng)式前三項(xiàng)作為內(nèi)插函數(shù)來(lái)描述原子鐘的確定性變化分量:

(7)

于是,二次內(nèi)插函數(shù)可表示為

x(t)=q0Φ0(t)+q1Φ1(t)+q2Φ2(t)+e(t),

(8)

式中,擬合參數(shù){q0,q1,q2}的單位與x(t)的單位相同,都為時(shí)間單位;而切比雪夫多項(xiàng)式Φi(t)(i=0,1,2)為無(wú)量綱的量。

(9)

而切比雪夫多項(xiàng)式各項(xiàng)組成的矢量滿足標(biāo)準(zhǔn)化正交特性,即ΦTΦ=[I3],其中,[I3]為(3×3)的單位陣。利用切比雪夫多項(xiàng)式的這一特性,可以簡(jiǎn)化參數(shù)估計(jì),并可提高參數(shù)估值精度。根據(jù)式(8)可列出誤差方程

V=Φq-L,

(10)

式中:Φ為N×3的系數(shù)陣;q為未知參數(shù)向量;L為鐘差觀測(cè)量x(ti)組成的列向量;V表示L的殘差向量,有

(11)

假設(shè)鐘差序列x(ti)獨(dú)立等精度,那么未知參數(shù)向量q的最小二乘估值為

(12)

結(jié)合ΦTΦ=[I3],參數(shù)估值可表示為

(13)

(14)

結(jié)合式(6)、式(8),擬合參數(shù){C0,C1,C2}可表示為

(15)

參數(shù){C0,C1,C2}與參數(shù){q0,q1,q2}之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系是很嚴(yán)格的,唯一的差異應(yīng)歸于截?cái)嗾`差?？紤]到切比雪夫多項(xiàng)式的協(xié)方差矩陣是最優(yōu)的,最小化了這種截?cái)嗾`差,因此,由上面的間接方法得到的參數(shù){C0,C1,C2}估值精度高于用式(6)直接計(jì)算的參數(shù)估值精度。

3 灰色系統(tǒng)模型

灰色系統(tǒng)模型的實(shí)質(zhì)是用指數(shù)函數(shù)作為擬合函數(shù)對(duì)時(shí)間間隔相等的鐘差時(shí)間序列進(jìn)行擬合,通過(guò)對(duì)原始鐘差數(shù)據(jù)實(shí)行累加或累減使之成為具有較強(qiáng)規(guī)律的新數(shù)列,然后對(duì)此生成數(shù)列進(jìn)行建模。具體過(guò)程如下:

設(shè)原始鐘差數(shù)列為

x0(k)={x0(1),x0(2),…,x0(n)}.

(16)

對(duì)x0(k)作一次累加生成新數(shù)列

x1(k)={x1(1),x1(2),…,x1(n)}.

(17)

(18)

若將上式在區(qū)間[k,k+1]上積分,有

k=1,2,…,n-1,

(19)

而x1(k+1)-x1(k)=x0(k+1),因此,式(19)可以表示為

x0(k+1)=-aZ1(k+1)+u,

k=1,2…n-1,

(20)

式中,Z1(k+1)是x1(k),x1(k+1)兩點(diǎn)的平均值:

k=1,2,…,n-1.

(21)

將式(20)用矩陣表示,有

(22)

(23)

(24)

對(duì)于一次累加生成數(shù)列x1(k),則有

(25)

式(25)是x1的預(yù)測(cè)函數(shù),則原始鐘差數(shù)據(jù)序列的預(yù)測(cè)值為

(26)

4 計(jì)算分析

為了分析不同預(yù)報(bào)模型的預(yù)報(bào)性能,分別利用4種鐘差預(yù)報(bào)方法對(duì)BLOCK IIR-M衛(wèi)星鐘同一段數(shù)據(jù)預(yù)報(bào)1天和14天的鐘差,IGS精密星歷鐘差精度優(yōu)于1 ns,可作為真值,用于檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念A(yù)報(bào)效果。根據(jù)最小二乘法擬合多項(xiàng)式模型、切比雪夫多項(xiàng)式模型以及灰色系統(tǒng)模型的模型參數(shù),建立相應(yīng)的預(yù)報(bào)模型。

4.1 BLOCK IIR-M衛(wèi)星鐘預(yù)報(bào)1天結(jié)果與分析

對(duì)BLOCK IIR-M PRN17衛(wèi)星鐘1天的預(yù)報(bào)能力進(jìn)行計(jì)算分析。PRN17的星載鐘是Rb3原子鐘。具體方案如下:

分別取1、7、14、21、35、42天的觀測(cè)數(shù)據(jù),來(lái)預(yù)報(bào)1天的鐘差,計(jì)算結(jié)果如圖1～6所示。

對(duì)于預(yù)報(bào)1天的情況,由上圖1～圖5、可以看出:

對(duì)于BLOCK IIR-M PRN17衛(wèi)星鐘,一階多項(xiàng)式模型和切比雪夫一階多項(xiàng)式模型除了14、35天的觀測(cè)數(shù)據(jù)能取得優(yōu)于20 ns的預(yù)報(bào)效果以外,其它天數(shù)觀測(cè)數(shù)據(jù)均能取得優(yōu)于5 ns的預(yù)報(bào)效果;二階多項(xiàng)式模型和切比雪夫二階多項(xiàng)式模型采用1天左右的觀測(cè)數(shù)據(jù)能夠達(dá)到約2 ns的預(yù)報(bào)效果,采用7天左右的觀測(cè)數(shù)據(jù)能夠達(dá)到約10 ns的預(yù)報(bào)效果;灰色系統(tǒng)模型采用1天左右的觀測(cè)數(shù)據(jù)能取得約80 ns的預(yù)報(bào)效果。

4.2 BLOCK IIR-M衛(wèi)星鐘預(yù)報(bào)14天結(jié)果與分析

對(duì)PRN17衛(wèi)星鐘,根據(jù)不同天數(shù)的觀測(cè)數(shù)據(jù)采用最小二乘法對(duì)鐘差預(yù)報(bào)模型進(jìn)行鐘參數(shù)擬合,接著將預(yù)報(bào)了14天的鐘差數(shù)據(jù)與真實(shí)值作差,計(jì)算結(jié)果如圖7～圖12所示。

對(duì)于預(yù)報(bào)14天的情況,由圖7～圖12可以看出:

對(duì)于BLOCK IIR-M PRN17衛(wèi)星鐘,一階多項(xiàng)式模型和切比雪夫一階多項(xiàng)式模型采用1天左右的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報(bào)時(shí)能夠達(dá)到約10 ns的預(yù)報(bào)效果,采用7～42天左右的觀測(cè)數(shù)據(jù)只能取得優(yōu)于100 ns的預(yù)報(bào)效果;二階多項(xiàng)式模型和切比雪夫二階多項(xiàng)式模型采用7天左右的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報(bào)時(shí)能夠達(dá)到約10 ns的預(yù)報(bào)效果,采用1天、14～35天左右的觀測(cè)數(shù)據(jù)只能取得優(yōu)于200 ns的預(yù)報(bào)效果;灰色系統(tǒng)模型采用1天左右的觀測(cè)數(shù)據(jù)能取得約70 ns的預(yù)報(bào)效果。

5 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)以上的分析,對(duì)于BLOCK IIR-M衛(wèi)星鐘初步得出以下結(jié)論:

1) 利用多項(xiàng)式模型、切比雪夫多項(xiàng)式模型進(jìn)行預(yù)報(bào)時(shí),隨著采用的觀測(cè)數(shù)據(jù)量的增大,無(wú)論1天預(yù)報(bào)還是14天預(yù)報(bào),預(yù)報(bào)效果不一定會(huì)好。

2) 在衛(wèi)星鐘差的1天預(yù)報(bào)中,一、二階多項(xiàng)式模型和切比雪夫多項(xiàng)式模型比灰色系統(tǒng)模型能取得更好的預(yù)報(bào)效果,并且一階多項(xiàng)式模型和切比雪夫一階多項(xiàng)式模型的預(yù)報(bào)效果要稍微優(yōu)于二階多項(xiàng)式模型和切比雪夫二階多項(xiàng)式模型的預(yù)報(bào)效果。

3) 在衛(wèi)星鐘差的14天期預(yù)報(bào)中,一、二階多項(xiàng)式模型,切比雪夫多項(xiàng)式模型,灰色系統(tǒng)模型的預(yù)報(bào)效果相當(dāng);而且,在采用少量觀測(cè)數(shù)據(jù)(1天左右)進(jìn)行預(yù)報(bào)時(shí),一階多項(xiàng)式模型和切比雪夫一階多項(xiàng)式模型的預(yù)報(bào)效果要明顯優(yōu)于灰色系統(tǒng)模型的預(yù)報(bào)效果;而灰色系統(tǒng)模型的預(yù)報(bào)效果要稍微優(yōu)于二階多項(xiàng)式模型和切比雪夫二階多項(xiàng)式模型的預(yù)報(bào)效果。隨著預(yù)報(bào)時(shí)采用的觀測(cè)數(shù)據(jù)量的增加(7～42天左右),一、二階多項(xiàng)式模型和切比雪夫多項(xiàng)式模型的預(yù)報(bào)效果要明顯優(yōu)于灰色系統(tǒng)模型的預(yù)報(bào)效果。

4) 灰色系統(tǒng)模型只需要采用少量的觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)建模,從而減少了數(shù)據(jù)量,提高了建模速度,而且所建立的模型在預(yù)報(bào)衛(wèi)星鐘差時(shí),其精度有顯著的提高。因此,該模型對(duì)于那些觀測(cè)數(shù)據(jù)少,預(yù)報(bào)周期長(zhǎng)的衛(wèi)星,具有明顯的優(yōu)勢(shì)。

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