陳長坤,焦寶文,喬方,石長偉,肖明,蘇迪

(1.安徽理工大學(xué) 測繪學(xué)院,安徽 淮南 232001； 2.廣東省重工建筑設(shè)計(jì)院有限公司,廣東 廣州 510700)

0 引 言

卡爾曼濾波通過建立狀態(tài)方程和量測方程描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程,依據(jù)濾波增益矩陣的變化,從量測數(shù)據(jù)中定量識(shí)別和提取有效信息,修正狀態(tài)參量,無須存儲(chǔ)各個(gè)不同時(shí)刻的觀測數(shù)據(jù),便于實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)處理以及預(yù)報(bào)[1-2]。因此,卡爾曼濾波廣泛應(yīng)用于各種工程變形、滑坡監(jiān)測、大壩監(jiān)測等動(dòng)態(tài)測量系統(tǒng)中[3-8]?？柭鼮V波的應(yīng)用需要?jiǎng)討B(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和噪聲的先驗(yàn)知識(shí),但在許多條件下,它們是未知的或近似已知的,即需研究動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和系統(tǒng)中相關(guān)噪聲的統(tǒng)計(jì)學(xué)特性。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)字模型和相關(guān)噪聲統(tǒng)計(jì)特性兩者的先驗(yàn)信息一般總是存在各種誤差,自適應(yīng)卡爾曼濾波正是為了克服這一缺點(diǎn)而提出的。它可以解決濾波的發(fā)散問題,從而減弱模型誤差的影響,使濾波結(jié)果更接近于真實(shí)值[9-10],從而更好地預(yù)報(bào)各種工程變形例如地表移動(dòng)變形監(jiān)測[11]。

本文利用GNSS CORS地表移動(dòng)自動(dòng)化監(jiān)測系統(tǒng)[12]對(duì)地表移動(dòng)變形進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測和分析。GNSS CORS在變形監(jiān)測中具有實(shí)時(shí)、高效、高精度、自動(dòng)化程度高的優(yōu)點(diǎn),現(xiàn)在已經(jīng)廣泛應(yīng)用在地鐵、大壩、橋梁以及滑坡監(jiān)測、礦山開采沉陷等不同領(lǐng)域。對(duì)GNSS CORS連續(xù)運(yùn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測站監(jiān)測點(diǎn)的位置坐標(biāo)序列進(jìn)行實(shí)時(shí)濾波預(yù)報(bào)，并對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波預(yù)報(bào)值、自適應(yīng)卡爾曼濾波預(yù)報(bào)值、實(shí)測值，對(duì)GNSS CORS地表移動(dòng)實(shí)時(shí)監(jiān)測進(jìn)行實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)分析。

1 標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波模型

1.1 卡爾曼濾波狀態(tài)方程

設(shè)某一GNSS CORS連續(xù)運(yùn)行監(jiān)測網(wǎng)由n個(gè)監(jiān)測站構(gòu)成,可測量得到監(jiān)測站監(jiān)測點(diǎn)的3維位置坐標(biāo)序列(本文直接得到3維位置坐標(biāo)序列是適用于礦區(qū)的BJ-54坐標(biāo)系下的高斯平面直角坐標(biāo)和正常高),將t時(shí)刻(歷元)的3維位置坐標(biāo)及其速率構(gòu)成狀態(tài)向量。GNSS CORS連續(xù)運(yùn)行監(jiān)測站i在時(shí)刻(歷元)t的位置坐標(biāo)為ξi(t),瞬時(shí)速率為λi(t),瞬時(shí)加速率為Ωi(t),可將瞬時(shí)加速率看作一種隨機(jī)干擾,則ξi(t)、λi(t)、Ωi(t)有以下微分關(guān)系:

(1)

記i點(diǎn)的狀態(tài)向量為

=Xi(t)Yi(t)Zi(t)

則該監(jiān)測點(diǎn)的狀態(tài)方程為

(2)

把n個(gè)監(jiān)測點(diǎn)的狀態(tài)方程組合可得全網(wǎng)的狀態(tài)方程為

Xk+1=Φk+1,kXk+Γk+1,kΩk.

(3)

1.2 卡爾曼濾波觀測方程

測量獲得第i個(gè)GNSS CORS監(jiān)測站監(jiān)測點(diǎn)的3維位置序列Li,k+1為觀測值,某一監(jiān)測站監(jiān)測點(diǎn)在第k+1歷元的觀測方程為

Li,k+1=ξi,k+1+Δti,k+1λi,k+1+Δi,k+1,

(4)

式中:Δti,k+1=ti,k+1-tk+1,ti,k+1為Lij的觀測時(shí)刻;tk+1為本次k+1歷元觀測的中心時(shí)刻,在地表移動(dòng)變形觀測的過程中,短時(shí)間內(nèi)(數(shù)個(gè)歷元,在本文中可以忽略不計(jì))地表的移動(dòng)變形速率可以忽略不計(jì),可得全網(wǎng)的觀測方程為

Lk+1=Bk+1Xk+1+Δk+1.

(5)

狀態(tài)方程和觀測方程兩者共同組成GNSS CORS連續(xù)運(yùn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測網(wǎng)的卡爾曼濾波模型:

Xk=Φk,k-1Xk-1+Γk,k-1Ωk-1,

Lk=BkXk+Δk,

(6)

式中:Φk,k-1為k-1到k歷元的系統(tǒng)一步轉(zhuǎn)移矩陣;Γk,k-1為系統(tǒng)噪聲矩陣;Ωk-1為k-1歷元的系統(tǒng)噪聲;Bk為k歷元系統(tǒng)的觀測矩陣;Δk為k歷元系統(tǒng)的觀測噪聲;Xk為k歷元系統(tǒng)待估狀態(tài)參數(shù);Lk為k歷元系統(tǒng)觀測向量矩陣。Xk,Lk均為GNSS監(jiān)測站監(jiān)測點(diǎn)的3維位置和速度向量。

1.3 卡爾曼濾波算法

卡爾曼濾波的函數(shù)模型由式(6)給出,其隨機(jī)模型為

E(Ωk)=0,

E(Δk)=0,

Cov(Ωk,Ωj)=DΩ(k)δkj,

Cov(Δj,Δj)=DΔ(k)δkj,

其中:DΩ(k)為系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)噪聲方差陣,是非負(fù)定方差陣;DΔ(k)為系統(tǒng)的觀測噪聲方差陣,Δ為正定方差陣;δkj為Kronecker函數(shù):

動(dòng)態(tài)噪聲與觀測噪聲完全不相關(guān),即:

Cov(Ωk,Δj)=0

用標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波方程處理GNSS監(jiān)測站各歷元位置序列,其濾波方程為

X(k/k)=X(k/(k-1))+Jk

[Lk-BkX(k/(k-1))] ,

(7)

DX(k/k)=(I-JkBk)DX(k/(k-1)) .

(8)

X(k/k)為狀態(tài)濾波方程;DX(k/k)濾波誤差協(xié)方差陣,其中:

X(k/(k-1))=Φk,k-1X((k-1)/(k-1))

(9)

(10)

(11)

式中:X(k/(k-1))為一步預(yù)測值;Jk為濾波增益矩陣;Lk-BkX(k/(k-1))為預(yù)測殘差;X(k/(k-1))為預(yù)測方差陣;DX(k/(k-1))為預(yù)報(bào)誤差協(xié)方差陣。

式(7)和式(8)即是GNSS CORS連續(xù)運(yùn)行監(jiān)測站監(jiān)測點(diǎn)的三維位置序列的標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波的遞推計(jì)算公式,在確定初始狀態(tài)后即可求得監(jiān)測點(diǎn)三維位置的濾波值,X(k/k)即預(yù)報(bào)值。

2 方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波模型

自適應(yīng)卡爾曼濾波就是在對(duì)觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行遞推濾波的同時(shí),不斷地對(duì)未知的或不確定的模型參數(shù)和噪聲的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行適當(dāng)?shù)墓烙?jì)和修正,以減小模型誤差,使濾波結(jié)果更接近于真實(shí)值[11]。方差補(bǔ)償自適應(yīng)卡爾曼濾波是利用預(yù)測殘差對(duì)動(dòng)態(tài)噪聲的協(xié)方差向量進(jìn)行修正,計(jì)算出更接近實(shí)際的狀態(tài)向量。它的公式推導(dǎo)過程如下:

由第1章中標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波方程式(7)～(11)

假定{Ωk}和{Δk}為正態(tài)序列,X0為正態(tài)向量,{Ωk}和{Δk}為互不相關(guān)的零均值白噪聲序列。

定義i步的預(yù)測殘差為

Vk+i=Lk+i-L(k+i)/k,

(12)

式中:Lk+i、L(k+i)/k為第k+i歷元的觀測值和它的最佳預(yù)測值;Vk+i為預(yù)測殘差。

Lk+i=Bk+iΦ(k+i)/kXk+Δk+i,

則Vi+1的方差陣Dvv為

(13)

記

Bk+iΦ(k+i)/kΓγ/(γ-1)=A(k+i,γ)=[ahj(k+i,γ)],

式中,r=1,…,N;k=1,…,n,上標(biāo)k+i,r表示與k+i,r有關(guān)。假定DΩr-1Ωr-1在觀測時(shí)間段tk+1,tk+2,…,tk+N上為常值對(duì)角陣,即

(14)

并記

有

記

(15)

其中ηk+i為零均值隨機(jī)變量,r=1,…,N.

令

(16)

又記

E=[Ek+1,…,Ek+N]T,

η=[ηk+1,…,ηk+N]T,

(17)

則有

E=AdiagDΩΩ+η.

(18)

式(18)為關(guān)于diagDΩΩ的線性方程組。當(dāng)N≥r時(shí),有唯一解。記diagDΩΩ的LS估計(jì)為

diagDΩΩ=(ATA)-1ATE.

(19)

根據(jù)上述各式求得任意時(shí)間段長度的DΩΩ,并作為動(dòng)態(tài)噪聲協(xié)方差陣的實(shí)時(shí)估計(jì)。

由此得出的協(xié)方差可以對(duì)模型進(jìn)行實(shí)時(shí)改正。自適應(yīng)卡爾曼濾波在進(jìn)行濾波的同時(shí),能夠?qū)崟r(shí)地按照相應(yīng)的自適應(yīng)方法對(duì)模型進(jìn)行修改,有效地降低濾波過程中出現(xiàn)的發(fā)散現(xiàn)象。

3 算例分析

3.1 試驗(yàn)簡介

為了驗(yàn)證本文提出的自適應(yīng)卡爾曼濾波預(yù)報(bào)的正確性,以淮南礦區(qū)朱集東礦1222(1)工作面上的GNSS CORS自動(dòng)化監(jiān)測系統(tǒng)進(jìn)行試驗(yàn)。該系統(tǒng)由1個(gè)基準(zhǔn)站(CZJDM)和2個(gè)連續(xù)運(yùn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測站(CORS1和CORS2)組成。

本文選用GNSS CORS1、CORS2連續(xù)運(yùn)行監(jiān)測站在2017年6月的監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行橫向分析,選取兩個(gè)實(shí)時(shí)監(jiān)測站每天1:00～2:00時(shí)段各歷元的標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波預(yù)報(bào)值和自適應(yīng)卡爾曼濾波預(yù)報(bào)值(共60組數(shù)據(jù),每組數(shù)據(jù)3600個(gè)歷元)進(jìn)行濾波預(yù)報(bào)精度評(píng)價(jià)。

選取GNSS CORS1連續(xù)運(yùn)行監(jiān)測站2017年6月18日凌晨1:00～2:00的數(shù)據(jù)(觀測數(shù)據(jù)采樣率為1 s,共3600個(gè)歷元)進(jìn)行縱向分析,分別采用標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波算法和自適應(yīng)卡爾曼濾波算法對(duì)監(jiān)測點(diǎn)的3維位置序列進(jìn)行濾波預(yù)報(bào),并獲取該實(shí)時(shí)監(jiān)測站的實(shí)測3維位置序列,然后分別對(duì)比分析標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波、自適應(yīng)卡爾曼濾波預(yù)報(bào)值與實(shí)測值的偏差。

選取GNSS CORS1、CORS2連續(xù)運(yùn)行監(jiān)測站2017年6月每周第一天1:00～5:00的監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行內(nèi)符合精度分析(共8組數(shù)據(jù),即選取8個(gè)時(shí)間段,每組數(shù)據(jù)14400個(gè)歷元),分別采用標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波算法和自適應(yīng)卡爾曼濾波算法對(duì)監(jiān)測點(diǎn)的3維位置序列進(jìn)行濾波預(yù)報(bào),分別求出相應(yīng)濾波值的內(nèi)符合精度,并對(duì)比分析標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波、自適應(yīng)卡爾曼濾波預(yù)報(bào)值的內(nèi)符合精度。

3.2 數(shù)值結(jié)果與分析

橫向數(shù)據(jù)分析中,對(duì)各個(gè)預(yù)報(bào)時(shí)段所有觀測歷元的平面坐標(biāo)中誤差和高程中誤差進(jìn)行精度評(píng)定;通過該時(shí)段中每個(gè)歷元3維位置序列的預(yù)報(bào)偏差m求得該預(yù)報(bào)時(shí)段i整體的預(yù)報(bào)中誤差。

(20)

式中:mP為濾波預(yù)報(bào)的平面坐標(biāo)中誤差；mH為濾波預(yù)報(bào)的高程中誤差；k為該預(yù)報(bào)時(shí)段的歷元個(gè)數(shù)；mx、my、mH分別為該預(yù)報(bào)時(shí)段歷元k的預(yù)報(bào)偏差。

表1 濾波預(yù)報(bào)平面精度信息統(tǒng)計(jì)

表2 濾波預(yù)報(bào)高程精度信息統(tǒng)計(jì)

從表1和表2中可以看出:對(duì)60個(gè)時(shí)段預(yù)報(bào)的精度進(jìn)行對(duì)比分析,自適應(yīng)卡爾曼濾波預(yù)報(bào)相較于標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波,其平面位置精度和高程位置精度得到大幅度提升(大約提高了2倍左右),同時(shí)精度分布得更為均勻,即自適應(yīng)卡爾曼濾波預(yù)報(bào)后的成果更為穩(wěn)定可靠。

縱向數(shù)據(jù)分析中,表3～表5以及圖1～圖3給出了本次試驗(yàn)中標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波和自適應(yīng)卡爾曼濾波在GNSS CORS連續(xù)運(yùn)行監(jiān)測站一個(gè)預(yù)報(bào)時(shí)段的平面X、Y坐標(biāo)序列偏差和高程序列偏差信息。

表3 X坐標(biāo)濾波預(yù)報(bào)偏差統(tǒng)計(jì)信息

從表3可以看出，對(duì)于平面位置X坐標(biāo)序列，標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波預(yù)報(bào)最大偏差值3.21 mm，平均偏差值0.53 mm，偏差值小于0.5 mm的比率占57.67%；自適應(yīng)卡爾曼濾波預(yù)報(bào)最大偏差值為0.80 mm，平均偏差值0.18 mm，預(yù)報(bào)偏差值相較于標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波平均縮減四分之一，偏差值小于0.5 mm的比率為99.94%.

表4 Y坐標(biāo)濾波預(yù)報(bào)偏差統(tǒng)計(jì)信息

從表4可以看出，對(duì)于平面位置Y坐標(biāo)序列。標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波預(yù)報(bào)最大偏差值為1.83 mm，平均偏差值0.33 mm，偏差值小于0.4 mm的比率占67.81%；自適應(yīng)卡爾曼濾波預(yù)報(bào)最大值為0.80 mm，平均偏差值0.18 mm，預(yù)報(bào)偏差值相比較于標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波平均縮減四分之一，偏差值小于0.4 mm的比率為99.97%.

表5 高程濾波預(yù)報(bào)偏差統(tǒng)計(jì)信息

從表5看出，對(duì)于高程序列。標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波預(yù)報(bào)最大偏差值為8.27 mm，平均偏差值1.45 mm，偏差值小于1 mm的比率占43.39%；自適應(yīng)卡爾曼濾波預(yù)報(bào)最大偏差值為1.29 mm，平均偏差值0.58 mm，預(yù)報(bào)偏差值相比較于標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波平均縮減四分之一，偏差值小于1 mm的比率為99.94%.由圖3可知高程序列偏差值分布更為均勻，用自適應(yīng)卡爾曼濾波預(yù)報(bào)的成果穩(wěn)定性更高。

3.3 內(nèi)符合精度分析

對(duì)于某一時(shí)段,若觀測了k個(gè)歷元,取各歷元觀測值的平均值,即可求得該監(jiān)測站的平均位置,并根據(jù)各觀測值與平均值之差,對(duì)該監(jiān)測站的內(nèi)符合精度進(jìn)行評(píng)定,即

(21)

(22)

從表6可以看出2個(gè)GNSS CORS 連續(xù)運(yùn)行監(jiān)測站(共8個(gè)時(shí)段)的標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波預(yù)報(bào)值的平面內(nèi)符合精度在4.3 ～6.2 mm之間,平均值5.4 mm,高程內(nèi)符合精度在7.0 ～9.1 mm之間平均值為8.3 mm;從內(nèi)符合精度可知,GNSS CORS連續(xù)運(yùn)行監(jiān)測站的平面位置精度滿足開采沉陷精度要求(根據(jù)《煤礦測量規(guī)程》,為了保證解算的開采沉陷的關(guān)鍵參數(shù)的精度,要求相鄰兩期間平面點(diǎn)位中誤差≤±20 mm,最弱的高程中誤差≤±10 mm,這就要求一次測量平面點(diǎn)位相對(duì)中誤差≤±14 mm,最弱點(diǎn)高程中誤差≤±7 mm),但是高程內(nèi)符合精度比平面位置測量精度低一倍,標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波預(yù)報(bào)值大于7 mm,不滿足開采沉陷的精度要求。而自適應(yīng)卡爾曼濾波預(yù)報(bào)值的平面內(nèi)符合精度在3.2 ～4.3 mm之間,平均值為3.9 mm,高程內(nèi)符合精度在5.9 ～7.4 mm之間,平均值6.6 mm;從內(nèi)符合精度可知,GNSS CORS連續(xù)運(yùn)行監(jiān)測站的平面位置精度完全滿足開采沉陷精度要求,高程方向均基本滿足開采沉陷精度要求。且自適應(yīng)卡爾曼濾波預(yù)報(bào)值相比較于標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波預(yù)報(bào)值,平面位置精度最低提高14.0%,最高提高37.9%,平均提高26.6%,高程方向精度最低提高10.0%,最高提高33%,平均提高20.1%.

從以上分析中可以看出在GNSS CORS連續(xù)運(yùn)行監(jiān)測站的位置坐標(biāo)序列的預(yù)報(bào)中,其自適應(yīng)卡爾曼濾波預(yù)報(bào)值相較標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波預(yù)報(bào)精度得到大幅提高,自適應(yīng)卡爾曼濾波更能真實(shí)體現(xiàn)地表移動(dòng)變形動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)的實(shí)時(shí)性;對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波預(yù)報(bào)偏離實(shí)測值大,并且分布不均勻,自適應(yīng)卡爾曼濾波預(yù)報(bào)偏差大幅度降低,預(yù)報(bào)偏差分布更為均勻,內(nèi)符合精度也得到提高,使濾波過后的每個(gè)歷元的測量成果更為穩(wěn)定和可靠,這為更進(jìn)一步獲得穩(wěn)定的移動(dòng)變形量提供了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

表6 濾波內(nèi)符合精度

4 結(jié)束語

本文中的自適應(yīng)卡爾曼濾波算法,對(duì)GNSS CORS連續(xù)運(yùn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測站各測點(diǎn)的3維位置序列進(jìn)行預(yù)報(bào),根據(jù)該研究區(qū)域的實(shí)測數(shù)據(jù)表明,相比于標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波算法,其預(yù)報(bào)值相較于實(shí)測值的偏差值縮小約四分之一,預(yù)報(bào)精度提高了約2倍,同時(shí)分布更為均勻,表明本文采用的自適應(yīng)卡爾曼濾波對(duì)GNSS變形監(jiān)測具有很好的剔除噪聲作用;平面位置內(nèi)符合精度和高程內(nèi)符合精度均提高了20%左右,自適應(yīng)卡爾曼濾波預(yù)報(bào)的成果更為穩(wěn)定和可靠,為獲得準(zhǔn)確的實(shí)時(shí)變形量提供基礎(chǔ)。

但是本文中的自適應(yīng)卡爾曼算法存在一定問題,還有待進(jìn)一步改進(jìn)。由圖3可知雖然自適應(yīng)卡爾曼濾波預(yù)報(bào)偏差值相比與標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波偏差值明顯減小,但是自適應(yīng)卡爾曼濾波預(yù)報(bào)偏差值最終趨近于某一值,而不是隨著歷元增加預(yù)報(bào)偏差值變更小。在某些歷元標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波的預(yù)報(bào)偏差值會(huì)小于自適應(yīng)卡爾曼濾波,這正是標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波預(yù)報(bào)的隨機(jī)性導(dǎo)致的。本文的自適應(yīng)卡爾曼濾波算法對(duì)于GNSS CORS連續(xù)運(yùn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測站監(jiān)測的地表移動(dòng)變形監(jiān)測的精度是足夠了。

另外,由于該自適應(yīng)卡爾曼濾波算法通過建立狀態(tài)方程和量測方程來描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程,依據(jù)濾波增益矩陣的變化,從測量數(shù)據(jù)中定量識(shí)別和提取有效信息,修正狀態(tài)參量,以此對(duì)實(shí)時(shí)監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行處理及預(yù)報(bào)。但由于GNSS CORS連續(xù)運(yùn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測站本身存在系統(tǒng)誤差,或者是其他因素導(dǎo)致的粗差,該模型并不能探測并剔除粗差,這也是后續(xù)需要考慮的問題。

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