李瀅,陳明劍,左宗,王建光

(1.信息工程大學(xué) 地理空間信息學(xué)院,河南 鄭州 450001; 2.北斗導(dǎo)航應(yīng)用技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新,河南 鄭州 450001)

0 引 言

網(wǎng)絡(luò)RTK技術(shù)作為一種基于連續(xù)運(yùn)行參考站網(wǎng)(CORS)的網(wǎng)絡(luò)差分定位技術(shù),解決了常規(guī)RTK技術(shù)由于作用范圍有限而導(dǎo)致的應(yīng)用受限問(wèn)題,是對(duì)傳統(tǒng)差分定位模式的一次重要革新[1-2]。在網(wǎng)絡(luò)RTK中,流動(dòng)站大氣延遲的準(zhǔn)確估計(jì)和改正關(guān)系到用戶最終定位精度和可靠性[3],是網(wǎng)絡(luò)RTK技術(shù)研究的重點(diǎn)問(wèn)題。研究表明內(nèi)插模型滿足網(wǎng)絡(luò)RTK大氣改正需求[4],常用的網(wǎng)絡(luò)RTK內(nèi)插模型包括距離相關(guān)誤差模型(DIM)、線性內(nèi)插模型(LIM)、線性組合模型(LCM)、低趨勢(shì)面模型(LSM)、最小二乘配置模型(LSC)和克里金插值模型(KRG)[5-9]。目前,對(duì)于網(wǎng)絡(luò)RTK內(nèi)插模型的研究主要集中在對(duì)模型內(nèi)插精度的比較分析和對(duì)模型的精化改進(jìn)兩個(gè)方面[4,9]。流動(dòng)站大氣延遲估計(jì)精度除了與模型固有內(nèi)插精度有關(guān),還主要受實(shí)時(shí)解算的參考站間大氣延遲準(zhǔn)確性的影響。文獻(xiàn)[3]提出不同內(nèi)插模型抵抗參考站間大氣延遲偏差影響的能力不同,即模型的抗差性不同?，F(xiàn)有關(guān)于網(wǎng)絡(luò)RTK內(nèi)插模型抗差性的研究較少,文獻(xiàn)[3]簡(jiǎn)要分析了DIM模型和LIM模型的抗差性,結(jié)果表明模型抗差性隨內(nèi)插點(diǎn)位的不同而變化,LIM模型較DIM模型抗差性隨點(diǎn)位變化波動(dòng)較大。

本文基于以上研究基礎(chǔ),以常用內(nèi)插模型為研究對(duì)象,根據(jù)誤差傳播定律提出誤差影響因子的概念以評(píng)價(jià)內(nèi)插模型的抗差性,在推導(dǎo)模型誤差影響因子幾何意義的基礎(chǔ)上通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析探究不同內(nèi)插模型抗差性的空間分布特征,對(duì)網(wǎng)絡(luò)RTK內(nèi)插模型的選擇和優(yōu)化具有重要意義。

1 網(wǎng)絡(luò)RTK內(nèi)插模型

在實(shí)際應(yīng)用中一般以三角形為解算單元,即基于三角形解算單元實(shí)時(shí)解算的參考站間大氣延遲內(nèi)插出流動(dòng)站與主參考站間的大氣延遲。參考站A、B、C構(gòu)成三角形解算單元,選擇距離流動(dòng)站u最近的參考站A為主參考站。網(wǎng)絡(luò)RTK內(nèi)插模型都是基于空間相關(guān)性原理,可通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)建立其統(tǒng)一模型[4]:

Vu,A=α1VB,A+α2VC,A,

(1)

式中:VB,A、VC,A分別為基線AB、基線AC上的雙差大氣延遲;Vu,A為流動(dòng)站u與主參考站A間的雙差大氣延遲;α1、α2為模型內(nèi)插系數(shù)。

對(duì)于三角形解算單元,LIM模型和LCM模型的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)相同,LSM模型由于在解算中需要至少4個(gè)參考站,不適用于三角形解算單元[11]。 因此,本文主要介紹DIM模型、LIM模型、LSC模型和KRG模型,并基于三角形解算單元推導(dǎo)其內(nèi)插系數(shù),內(nèi)插系數(shù)的推導(dǎo)是在東北天坐標(biāo)系下進(jìn)行。

1.1 LIM模型

V=aΔE+bΔN.

(2)

基于三角形解算單元,基線AB、基線AC上的雙差大氣延遲均滿足式(2),得到

(3)

擬合函數(shù)的系數(shù)a、b有唯一解,流動(dòng)站u與主參考站A間的雙差大氣延遲也滿足式(2),則LIM模型的內(nèi)插系數(shù)為

(4)

1.2 DIM模型

DIM模型早在1997年由Gao提出用于網(wǎng)絡(luò)RTK電離層延遲建模[6],該模型以流動(dòng)站與參考站的距離為參數(shù),通過(guò)距離倒數(shù)所占的比值確定內(nèi)插系數(shù),適用于小區(qū)域空間相關(guān)誤差建模[1]?；谌切谓馑銌卧?其內(nèi)插系數(shù)為

(5)

式中,duB、duC分別為流動(dòng)站u到參考站B和參考站C的距離,其計(jì)算公式為

(6)

1.3 LSC模型

LSC模型最早被用于地球重力場(chǎng)的插值,Raquet等將其用于內(nèi)插網(wǎng)絡(luò)RTK用戶位置的電離層延遲和對(duì)流層延遲[8]。LSC模型通過(guò)參考站與流動(dòng)站空間相關(guān)誤差之間的方差與協(xié)方矩陣,在最小均方差原則下由實(shí)時(shí)解算的參考站間空間相關(guān)誤差估算流動(dòng)站與主參考站間的空間相關(guān)誤差?；谌切谓馑銌卧?LSC模型描述為

(7)

則LSC模型內(nèi)插系數(shù)為

(8)

(9)

式中:cmn為參考站m和n之間的相關(guān)函數(shù); odijk(2000)定義其為距離線性函數(shù)cmn=dmax-dmn.dmn為參考站m和n之間的距離;dmax為最大距離,需大于參考站間最長(zhǎng)距離,本文中取值為150 km.

1.4 KRG模型

KRG模型最早由南非礦業(yè)工程師Krige提出并以其名字命名,是一種空間自協(xié)方差最佳差值方法,充分考慮了樣本數(shù)據(jù)在空間和時(shí)間上的相互關(guān)系[9]。KRG模型與LSC模型相似,但其內(nèi)插系數(shù)需滿足和為1的約束條件,添加到式(7)的參數(shù)求解中得到:

(10)

(11)

其中:

(12)

2 內(nèi)插模型抗差性理論分析

2.1 誤差影響因子

(13)

式(13)變化可得:

(14)

(15)

誤差影響因子e可由內(nèi)插系數(shù)的平方和計(jì)算,用于評(píng)價(jià)內(nèi)插模型的抗差性。誤差影響因子越小,則模型抗差性越好。當(dāng)誤差影響因子e≤1時(shí),結(jié)合式(14)、式(15)可得:

(16)

式(16)表示流動(dòng)站大氣延遲內(nèi)插精度小于等于參考站大氣延遲解算精度,沒(méi)有放大估計(jì)誤差對(duì)內(nèi)插精度的影響,可認(rèn)為模型抗差性較好。本文將誤差影響因子e≤1作為評(píng)價(jià)模型抗差性較好的標(biāo)準(zhǔn)。

2.2 誤差影響因子幾何意義

對(duì)于不同內(nèi)插模型,可推導(dǎo)其誤差影響因子的具體表達(dá)式。LSC模型、KRG模型誤差影響因子的表達(dá)式較為復(fù)雜,難以用簡(jiǎn)單的幾何意義描述。 因此,本文主要推導(dǎo)LIM模型、DIM模型誤差影響因子幾何意義,并從理論上分析其空間分布特征。

1) LIM誤差影響因子幾何意義

將式(4)計(jì)算的LIM內(nèi)插系數(shù)α1和α2代入式(15)中,可得LIM模型誤差影響因子eLIM:

(17)

式(17)的向量表達(dá)形式為:

(18)

式中:Au=(ΔEu,A,ΔNu,A);AB=(ΔEB,A,ΔNB,A);AC=(ΔEC,A,ΔNC,A); ×表示向量的叉乘運(yùn)算符號(hào)。為從幾何層面描述eLIM的含義,將向量Au、AB、AC在二維直角坐標(biāo)系中用有向線段表示,如圖1所示。

在二維平面中,向量叉乘的幾何意義描述為有向面積,即向量叉乘的模為以這兩向量為鄰邊組成的平行四邊形的面積。|AB×AC|表示為圖1中所示平行四邊形ABA'C的面積,其大小為三角形ABC面積的2倍。同樣的,|Au×AC|和|Au×AB|所表示平行四邊形面積的大小分別為三角形ACu和三角形ABu面積的2倍。

則式(18)可以表示為

(19)

式中,S、S1、S2分別為三角形ABC、三角形ACu和三角形ABu的面積,如圖1所示。

由式(19)結(jié)合圖1可以看出,LIM模型誤差影響因子eLIM的幾何意義為流動(dòng)站u、主參考站A以及參考站(B或C)所構(gòu)成三角形面積與三角形解算單元面積比的平方和。通常更為關(guān)注三角形解算單元內(nèi)的模型抗差性,即圖1所示流動(dòng)站u在三角形ABC內(nèi)的情況下的模型誤差影響因子的大小,從圖中可以看出三角形ACu和三角形ABu的面積之和小于或等于三角形ABC面積,即S、S1、S2滿足以下關(guān)系式:

S1+S2≤S.

(20)

可以變化為

(21)

結(jié)合式(20)、式(21)可以得出eLIM<1,即理論上三角形解算單元內(nèi)LIM模型誤差影響因子eLIM小于1,LIM模型抗差性較好。

2) DIM誤差影響因子幾何意義

將式(5)計(jì)算的DIM內(nèi)插系數(shù)α1和α2代入式(15)中,變化可得DIM模型誤差影響因子eDIM:

(22)

式中:duB為參考站B與流動(dòng)站u之間的距離;duC為參考站C與流動(dòng)站u之間的距離,如圖2所示。

基于DIM模型的原理,結(jié)合圖2可以看出,DIM模型誤差影響因子eDIM的幾何意義是流動(dòng)站u到參考站(B或C)的距離所占比例的平方和。可以得出0.5≤eDIM<1,即理論上DIM模型誤差影響因子eDIM小于1,DIM模型抗差性較好。

3 實(shí)驗(yàn)分析

基于三角形解算單元探究?jī)?nèi)插模型的抗差性空間分布特征。以正三角形為例,基線距離為100 km,以解算單元中心坐標(biāo)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立局域東北天坐標(biāo)系,LIM、DIM、LSC、KRG誤差影響因子變化情況如圖3所示。圖中標(biāo)注出三角形解算單元,其中“五角星”表示主參考站位置,“三角形”表示其他兩個(gè)參考站(下文中簡(jiǎn)稱輔參考站)位置。其他形狀三角形實(shí)驗(yàn)結(jié)果類似,文中不再列出。

從圖3(a)可以看出,LIM模型的誤差影響因子隨流動(dòng)站與主參考站相對(duì)位置的變化而產(chǎn)生較大波動(dòng)(其值在0～4范圍內(nèi)波動(dòng)),在主參考站夾角及其反方向變化較慢,即LIM模型抗差性空間分布不均,主參考站夾角及其反方向模型的抗差性優(yōu)于其它方向。從圖3 (b)顯示DIM模型誤差影響因子變化比較平穩(wěn)(其值集中在0.5～0.7范圍內(nèi)),即DIM模型抗差性空間分布較為均勻。DIM模型誤差影響因子與流動(dòng)站與主參考站的相對(duì)位置無(wú)關(guān),而是隨流動(dòng)站與輔參考站相對(duì)位置的變化而變化,表現(xiàn)為流動(dòng)站到兩輔參考站的距離相差越大誤差影響因子越大。從圖3(c),圖3(d)可以看出LSC模型和KRG模型誤差影響因子變化特征較為相似,誤差影響因子與流動(dòng)站和三角解算單元(主參考站、輔參考站)的相對(duì)位置有關(guān)。KRG模型誤差影響因子空間分布有明顯的方向性,在主參考站夾角反方向誤差影響因子較小,參考站夾角反方向誤差影響因子較大。LCS模型誤差影響因子空間變化規(guī)律較為復(fù)雜,主要呈現(xiàn)為分塊特征,主參考站區(qū)域誤差影響因子較大,參考站區(qū)域誤差影響因子較小,且誤差影響因子隨流動(dòng)站與主參考站、參考站距離的增大而增大。

從圖3中可以看出三角形解算內(nèi)誤差影響因子均小于1,即流動(dòng)站位于三角形解算單元內(nèi),四種內(nèi)插模型抗差性均滿足要求。三角形解算單元外誤差影響因子的變化范圍較大,主參考站夾角反方向誤差影響因子較小,即流動(dòng)站位于三角形解算單元外,主參考站夾角反方向模型抗差性較優(yōu)。

4 結(jié)束語(yǔ)

網(wǎng)絡(luò)內(nèi)插模型抗差性隨流動(dòng)站位置變化而呈現(xiàn)空間變化,定量分析模型抗差性的空間特征對(duì)選擇和優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)RTK內(nèi)插模型具有重要意義。本文提出誤差影響因子用于評(píng)價(jià)模型抗差性,在數(shù)學(xué)推導(dǎo)的基礎(chǔ)上,通過(guò)實(shí)驗(yàn)比較探究不同內(nèi)插模型抗差性的空間分布特征,得到如下結(jié)論:

1) 不同內(nèi)插模型抗差性空間分布有較大差異,LIM模型抗差性呈現(xiàn)以主參考站為中心的橢圓曲線分布,DIM模型抗差性空間變化比較平穩(wěn),LCS模型抗差性空間分布呈現(xiàn)為分塊特征,KRG模型抗差性空間分布有明顯的方向性?？傮w而言,LIM模型抗差性空間變化最大,DIM模型抗差性空間分布較為均勻。

2) 流動(dòng)站位于三角形解算單元內(nèi),不同內(nèi)插模型的抗差性均滿足本文抗差性評(píng)價(jià)要求。

3) 流動(dòng)站位于三角形解算單元外,模型抗差性與其方向具有密切相關(guān)性,主參考站夾角反方向模型抗差性較優(yōu)。

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